ALGEBRAISCHE ZYKLEN AUF HILBERT-BLUMENTHAL-FLÄCHEN^{∗}

Von G. Harder in Bonn, R.P. Langlands in Princeton und M. Rapoport in Heidelberg

EINLEITUNG

Es sei K ein endlicher algebraischer Zahlkörper und X eine glatte projektive algebraische Fläche, die über K definiert ist. Es sei K̄ ein algebraischer Abschluß von K und K′ ein in K̄ enthaltener endlicher Erweiterungskörper von K. Die Fundamentalklassenabbildung ordnet jedem über K′ definierten algebraischen Zykel der Dimension 1 ein Element aus H^{2}(X_{× K}K̄, Q_{l}(1)) zu. Es sei 𝒵(K′) der so erzeugte Q_{l}-Untervektorraum. Die erste der beiden uns hier interessierenden von Tate [32] ausgesprochenen Vermutungen lautet:

𝒵(K′) = H^{2}(X_{× K}K̄, Q_{l}(1))^{Gal(K̄/K′)}.

Hier operiert die Galoisgruppe durch Strukturtransport auf der l-adischen Kohomologie. Die zweite Vermutung von Tate postuliert die Gleichheit der Dimension von 𝒵(K′) und der Polordnung der Zetafunction von X über K′ im Punkte s = 2:

L_{Q}^{2}(X/K′, s) = ∏_{𝔭∉Q} det(1 − N𝔭^{−s}Φ_{𝔭}^{−1}|H^{2}(X_{× K}K̄, Q_{l}))^{−1}.

Hier bezeichnet Φ_{𝔭} die Frobeniussubstitution in der Primstelle 𝔭 von K′. Die Polordnung in s = 2 ist unabhängig von der genügend großen endlichen Menge von Primstellen Q, die in diesem Produkt weggelassen werden.

∗ Appeared in Jour. für die reine und ang. Math., Bd. 366 (1986)

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit diesen Vermutungen im Fall der Hilbert-Blumenthal-Flächen. Es sei F ein reellquadratischer Zahlkörper und 𝒪_{F} der Ring der ganzen Zahlen. Die Gruppe SL(2, 𝒪_{F}) operiert auf dem Produkt ℌ × ℌ von zwei oberen Halbebenen. Der Quotient ist eine nichtkompakte algebraische Fläche. Falls wir den Quotienten nach einer genügend kleinen Kongruenzuntergruppe Γ von SL(2, 𝒪_{F}) bilden, ist diese Fläche glatt. Für arithmetische Untersuchungen ist es vorteilhaft, eine endliche Vereinigung von solchen Flächen zu bilden, die dann in natürlicher Weise über Q definiert ist. Wir untersuchen nichtsinguläre Kompaktifizierungen dieser Flächen, deren Ort im Unendlichen ein Divisor mit normalen Schnitten ist. Unser Hauptergebnis ist der Beweis der beiden Vermutungen von Tate für diese Flächen über einer abelschen Erweiterung von Q. Eine Zusammenfassung unserer Ergebnisse findet sich im §2. Dort erläutern wir auch, wie man die Tate’schen Vermutungen für nichtkompakte Flächen zu formulieren hat und warum die von uns bewiesenen Behauptungen die obige Aussage zur Folge hat. In dieser Einleitung wollen wir lediglich herausarbeiten, wo die Günde für unseren Teilerfolg liegen.

Ein Hauptgrund liegt in der Tatsache, daß wir über eine große Menge von algebraischen Zyklen verfügen, die Hirzebruch-Zagier-Zyklen [17]. Diese Zyklen entstehen grob gesagt in der folgenden Weise. Die obere Halbebene ℌ kann diagonal in ℌ × ℌ eingebettet werden. Ein Element g ∈ GL(2, F) mit total positiver Determinante operiert auf ℌ × ℌ und die Projektion von g · ℌ auf Γ\ℌ × ℌ, isomorph zu Δ\ℌ mit Δ = g^{−1} · Γg ∩ SL(2, Q), ist eine algebraische Kurve. Eine leichte Modifikation dieser Konstruktion liefert eine noch größere Gruppe von algebraischen Zyklen, die über abelschen Erweiterungen von Q definiert sind. (Man wichtet zusammenhängende Kurven mit zyklotomischen Charakteren.) Hirzebruch und Zagier betrachten zusätzliche Kurven auf Γ\ℌ × ℌ, die mittels Quaternionendivisionsalgebren über Q konstruiert werden; es stellt sich aber heraus, daß diese keine größere Gruppe von algebraischen Zyklen leifern. Wir zeigen, daß die Hirzebruch-Zagier-Zyklen zusammen mit gewissen universellen Chernklassen die Gruppe aller algebraischen Zyklen über einer abelschen Erweiterung von Q erzeugen. Über nichtabelschen auflösbaren Erweiterungen sagen mitunter die Tate’schen Vermutungen die Existenz von zusätzlichen algebraischen Zyklen voraus. Weil wir diese algebraischen Zyklen nicht zu konstruieren versucht haben, müssen wir uns auf abelsche Erweiterungen von Q beschränken. Eine genauere Beschreibung dieser Sachlage findet sich am Ende des §4.

Der zweite wichtige Punkt im Beweis der Vermutungen liegt in der Berechnung der Zetafunktion von Hilbert-Blumenthal-Flächen (in den guten Primstellen) als Produkt von automorphen L-Funktionen. Ein ähnlicher Satz ist gleichzeitig von Brylinski und Labesse [8] bewiesen worden.

Weil die Grundideen der beiden Beweise identisch sind und weil wir mit dem von ihnen formulierten Satz hier auskommen können, haben wir darauf verzichtet, unseren Beweis ausführlich darzulegen. Weil andererseits unser Beweis in gewisser Hinsicht vielleicht nicht ohne Vorteile ist, haben wir doch den Teil unseres Beweises, der von den ihrigen abweicht, wenigstens andeuten wollen. Die prinzipielle Methode ist natürlich die übliche: ein Vergleich der Lefschetz’schen Fixpunktformel mit der Selberg’schen Spurformel. Die hier gegenüber dem kompakten Fall [23] neu auftretende Schwierigkeit ist es nachzuweisen, daß der Beitrag der Spitzen zur Lefschetz’schen Fixpunktformel verschwindet.

Um weiterzukommen, ist eine Untersuchung der auftretenden automorphen L-Funktionen, insbesondere ihrer Nullstellen und Polstellen, nötig. Hier liefern die Theorie des Basiswechsels [24] und die Arbeiten [12], [20], [18] und [31] die gebrauchten Informationen.

Um die Invarianten unter der Galoisgruppe in der Kohomologie zu bestimmen, verwenden wir Tricks, die von Ribet [28] und Serre [29] stammen. Daß wir diese Methoden überhaupt anwenden können, liegt an einer schlagend einfachen, aber wichtigen Bemerkung von Oda. Oda hat seine Entdeckung selbst verwendet, um die Vermutungen von Tate für einige Hilbert-Blumenthal-Flächen zu beweisen [26].

Wir haben die Bestimmung der Zetafunktion und der Galoisinvarianten für lokale Systeme durchgeführt. Für den Beweis der Vermutungen von Tate ist die Betrachtung der konstanten Garbe ausreichend.

Zum Abschluß dieser Einleitung möchten wir erwähnen, daß diese Arbeit ihren Ursprung in einer Arbeitsgemeinschaft in Oberwolfach hat, bei der insbesondere Tunnell’s Beweis der Tate’schen Vermutungen für das Produkt von zwei modularen Kurven vorgetragen wurde. Überhaupt wurde uns die Idee, die Tate’schen Vermutungen für Shimuravarietäten zu betrachten, von Tunnell nahegebracht. Es ist sehr zu bedauern, daß er seine Ergebnisse über die von ihm gelösten Fälle nicht veröffentlicht hat. Unsere Ergebnisse wurden in vorläufiger Form während des Sommersemesters 1981 im Seminar über automorphe Formen in Bonn vorgetragen. Wir bedanken uns bei den Seminarteilnehmern für ihr Interesse, insbesondere bei L. Clozel, dessen Vorschläge uns sehr nützlich waren. Der SFB Reine Mathematik der Universität Bonn ermöglichte uns ein Jahr angenehmer Zusammenarbeit.

§1. HINTERGRUND

1.1. Es sei G die über Q definierte reduktive Gruppe R_{F/Q}GL(2). Dann ist G(R) = GL(2, R) × GL(2, R), wobei jeder Faktor einer Einbettung von F in R entspricht. Wir fixieren den Homomorphismus h : C^{×} → G(R)

h : a + i · b → ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

Jede offene kompakte Untergruppe K von G(A_{f}) bestimmt eine quasiprojektive Varietät S = S_{K} = S_{K}(G, h), die in natürlicher Weise über Q definiert ist. Wir bemerken, daß wir in der Wahl des kanonischen Modells (=Wahl des Reziprozitätshomomorphismus des Modells) den Konventionen von Deligne in [11] folgen. Inbesondere ist der Isomorphismus der Klassenkörpertheorie so gewählt, daß er die Frobeniussubstitution in das Inverse einer lokalen Uniformisierenden überführt. Wir nennen diese spezielle Shimuravarietät eine Hilbert-Blumenthal-Fläche. Die Menge ihrer komplexen Punkte kann mit G(Q)\G(A)/K_{∞}K identifiziert werden, wobei

K_{∞} = \{( \begin{matrix}a_{1} & −b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}a_{2} & −b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix} )\} ⊂ G(R).

Wir werden K immer genügend klein voraussetzen, beispielsweise in einer Hauptkongruenzgruppe vom Niveau N ≧ 3. Unsere Hauptergebnisse lassen sich im Fall einer beliebigen Untergruppe K aus den hier bewiesenen Sätzen herleiten. 1.2. Wir werden zwei Kompaktifizierungen des Schemas S beschreiben. Das plurikanonische lineare System definiert eine offene Einbettung von S in eine normale projektive Varietät S̄ über Q, die Satake-Baily-Borel-Kompaktifizierung. Die Differenz S̄\S besteht aus endlich vielen Punkten, die wir Spitzen nennen. Da wir mit einer größeren Gruppe als in [27] arbeiten, muß die Beschreibung der Spitzen entsprechend modifiziert werden. Das soll jetzt geschehen.

Eine Positivität auf einem eindimensionalen F -Vektorraum P ist die Vorgabe einer Ordnung auf dem R-Vektorraum

P_{{⊗ \atop F,σ}}R

für jede reelle Einbettung σ von F. Die Menge der Spitzen kann mit der Menge der Isomorphieklassen folgender Tripel identifiziert werden. Ein Tripel besteht aus:

a) Einer exakten Sequenz von F -Vektorräumen

0 → H′ → H → H′′ → 0

mit dim H′ = dim H′′ = 1. b) Einer Positivität auf Λ_{F}^{2} H.

c) Einer Klasse von Isomorphismen modulo K

ϕ : H_{⊗ F}A_{f}(F) → A_{f}(F) ⊕ A_{f}(F).

Hierbei ist A_{f}(F) = A_{f} ⊗ F. Wir gewinnen aus a) eine exakte Sequenz von 𝒪_{F} -Moduln

0 → M′ → M → M′′ → 0,

mittels

ϕ(M) = ϕ(H) ∩ (Z_{f}(F) ⊕ Z_{f}(F)), M′ = H′ ∩ M.

Dabei ist Z_{f}(F) = Z_{f} Z^{⊗}𝒪_{F}.

Die Automorphismengruppe eines Tripels besteht aus denjenigen linearen Abbildungen A von H, die H′ stabilisieren, deren Determinante total positiv ist und so daß ϕAϕ^{−1} in K liegt. Bis auf Isomorphie hängt diese Gruppe nur von der Spitze s ab. Sie wird mit B(s) bezeichnet. Es sei N(s) die Untergruppe der Elemente, die trivial auf H′ und H′′ operieren. Dann liegt N(s) in

Z(s) = Hom_{F} (H′′, H′) = Hom_{F} (H′′_{⊗ F}H′′, H′_{⊗ F}H′′) = Hom_{F} (H′′_{⊗ F}H′′, Λ_{F}^{2} H),

einem F -Vektorraum mit natürlicher Positivität. Somit liefert eine Spitze einen Q-Vektorraum Z(s), der ein Gitter N(s) enthält, und den Kegel der positiven Elemente C(s) in dem 2-dimen-sionalen Vektorraum H(s) ⊗ R. Die Operation der Gruppe M(s) = B(s)/N(s) auf Z(s) erhält N(s) und C(s). 1.3. Die Galoisgruppe Gal(Q̄/Q) operiert auf der Menge der Spitzen, diese Operation faktorisiert über den maximal abelschen Quotienten, kann also nach der Klassenkörpertheorie durch eine Operation der Idelegruppe I_{Q} beschrieben werden. Es sei s eine Spitze und a ∈ I_{Q}. Wir wählen uns eine beliebige Zerfällung der exakten Folge a)

H ≅ H′ ⊕ H′′,

und definieren die lineare Abbildung ψ(a) auf H_{⊗ F}A_{f}(F) durch die Gleichung

ψ(a) : h′ ⊕ h′′ → a · h′ ⊕ h′′.

Wir erhalten eine neue Spitze, indem wir die exakte Sequenz a) beibehalten, die Positivität mittels des Vorzeichens von a im Unendlichen abändern, und ϕ durch ϕ ∘ ψ(a) ersetzen. Man prüft leicht nach, daß diese Spitze in der Tat nur von s und a abhängt, und sogar nur von der Ideleklasse von a. Sie wird mit a · s bezeichnet.

Es sei τ : I_{Q} → Gal(Q̄_{ab}/Q) die durch die Klassenkörpertheorie gegebene Abbildung. Dann gilt:

τ(a)s = a · s für alle a ∈ I_{Q}.

1.4. Die Seiten des Kegels C(s) sind nicht rational. Wir können ihn aber so zerlegen, daß er eine Vereinigung von Kegeln σ_{α} mit rationalen Seiten und inneren Punkten ist. (Dabei ist σ_{α} abgeschlossen in C(s).) Eine Zerlegung heißt zulässig, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

a) Falls α ≠ β, so ist σ_{α} ∩ σ_{β} eine Halbgerade oder leer.

b) Die Zerlegung ist invariant bezüglich M(s) und die Anzahl der Bahnen ist endlich.

c) Für jedes α ist N(s) ∩ σ_{α} eine kommutative Halbgruppe, die von zwei Elementen λ_{α}, μ_{α} frei erzeugt wird.

d) mσ_{α} ∩ σ_{β} = ∅, falls mσ_{α} ≠ σ_{β} und m ∈ M(s) nichttrivial auf N(s) operiert.

Wir machen auf zwei Unterschiede zu der Definition in [25] aufmerksam. Dort enthalten die rationalen Kegel σ_{α} den Ursprung und enthalten überdies nicht notwendigerweise eine offene Menge. Andererseits werden dort keine c) und d) entsprechenden Bedingungen gestellt; diese beiden Bedingungen werden Singularitäten der noch zu beschreibenden toroidalen Kompaktifizierungen von S und Selbstüberschneidungen des Divisors im Unendlichen verhindern.

Wenn wir die Abhängigkeit dieser Definitionen von der Gruppe K hervorheben wollen, sprechen wir von K-Spitzen und K-zulässigen Zerlegungen. Die folgenden Aussagen sind bekannt.

(I) Für jede Spitze gibt es zulässige Zerlegungen.

(II) Jede rationale Zerlegung besitzt eine zulässige Verfeinerung.

Wenn b die rationale Zahl mit demselben Vorzeichen und dem gleichen Absolutbetrag in den endlichen Primstellen wie das Idele a ist, dann ist C(as) = bC(s) und N(as) = bN(s). Zulässige Zerlegung Σ(s) = {σ_{α}(s)} und Σ(as) = {σ_{β}(as)} heißen verträglich, falls Σ(as) = {bσ_{α}(s)}. Eine Zerlegung Σ = {Σ(s)} sämtlicher Spitzen heißt zulässig, falls Σ(s) und Σ(as) für jedes a und jedes s verträglich sind. Mittels einer zulässigen Zerlegung Σ kann man eine nicht-singuläre über Q definierte Kompaktifizierung S̃ = S̃_{K} = S̃_{Σ} = S̃_{K,Σ} der Varietät S konstruieren (siehe 1.6). 1.5 Definition. Eine Primzahl p heißt unverzweigt (bezüglich K), falls:

(a) p in F unverzweigt ist.

(b) K = K_{p} · K^{p}, wobei K^{p} ⊂ G(A_{f}^{p}) und K_{p} ⊂ G(Q_{p}) die durch das Gitter (𝒪_{F} ⊕ 𝒪_{F}) ⊗ Z_{p} definierte maximal kompakte Untergruppe ist.

Im folgenden wird angenommen, daß p unverzweigt ist. 1.6. Es sei Z_{(p)} der Unterring von Q, in dem alle Primzahlen außer p invertierbar sind. Der Vorzug von S̃ im Gegensatz zu S̄ ist, daß S̃ als eigentliches glattes Schema über Z_{(p)} definiert werden kann, dessen Ort im Unendlichen ein relativer Divisor mit normalen Schnitten ist. Da eine ganz ähnliche Behauptung in [27] bewiesen ist, verzichten wir auf die Angabe des Beweises und begnügen uns mit der Beschreibung der uns nützlichen Eigenschaften.

Es gibt ein kommutatives Diagramm über Q.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} S̃^{j} S̄  S _{ j̄}

Es sei S^{∞} = S_{Σ}^{∞} = S̃_{Σ}\S. Wir wollen die Komplettierung T von S̃_{Σ} längs S^{∞} beschreiben. Da p unverzweigt ist, können wir einen in p unverzweigten endlichen Kreiskörper E wählen, so daß alle Spitzen über E definiert sind. Es sei R der ganze Abschluß von Z_{(p)} in E. Dann ist

(1.6.1)  T ⊗_{Z_{(p)}} R = ∐_{s} T (s).

Will man nun T beschreiben, so beschreibt man zunächst die T (s) und anschließend konstruiert man ein Abstiegsdatum für die Operation von Gal(E/Q) auf ∐_{s} T (s). D.h., man konstruiert Isomorphismen

ϕ_{τ} : ∐_{s} T (s) → ( ∐_{s} T (s))^{τ}

für τ ∈ Gal(E/Q), so daß stets ϕ_{ττ_{1}} = ϕ_{τ}^{τ_{1}} ∘ ϕ_{τ_{1}}. Weil R/Z_{(p)} unverzweigt ist, liefert uns dies dann T/Z_{(p)}, indem wir einfach auf den affinen Ringen die Galoisinvarianten betrachten.

Das in 1.2 definierte Gitter N(s) wird als Gitter der einparametrigen Untergruppen eines Torus H/Spec(R) interpretiert. Die Zerlegung des Kegels C(s) liefert eine unendliche toroidale Einbettung ([2], Chap. I) von H in H_{{σ_{α}}}.

Auf der Komplettierung von H_{{σ_{α}}} längs H_{{σ_{α}}}\H operiert die unendlich zyklische Einheitengruppe, und T (s) ist der Quotient dieser Komplettierung nach dieser Einheitengruppe.

Wenn man die Vorschriften aus [2], Chap. I auf unsere Situation übersetzt, so liefert uns dies das folgende Bild. Zu jedem σ_{α} haben wir Erzeugende λ_{α}, μ_{α} des Kegels σ_{α} und wir führen zwei Variable x_{λ_{α}}, x_{μ_{α}} ein. Wenn σ_{β} ein benachbarter Kegel ist und σ_{α} ∩ σ_{β} = Nμ_{α} = N · λ_{β}, dann ist

μ_{β} = mμ_{α} − λ_{α}.

Nun betrachten wir die folgende Identifizierungsvorschrift

R[x_{λ_{α}}, x_{μ_{α}}] R[x_{λ_{β}}, x_{μ_{β}}]
∩ ∩
R[x_{μ_{α}}, x_{λ_{α}}, x_{λ_{α}}^{−1}] = R[x_{λ_{β}}, x_{μ_{β}}, x_{μ_{β}}^{−1}],

wobei die Identifizierung durch x_{λ_{β}} = x_{μ_{α}} · x_{λ_{α}}^{m} und x_{μ_{β}} = x_{λ_{α}}^{−1} gegeben ist. Dann können wir die affinen Räume Spec(R[x_{λ_{α}}, x_{μ_{α}}]) und Spec(R[x_{λ_{β}}, x_{μ_{β}}]) über die obige Identifizierung zusammenkleben und wenn wir dann in beiden affinen Ebenen längs der Koordinatenachsen komplettieren, erhalten wir als Bild

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  x_{λ_{β}} = x_{μ_{α}} = 0  x^{λ_{β}} = x^{μ_{β}} = 0. x^{λ_{α}} = x^{μ_{α}} = 0

D.h., die beiden Doppelpunkte, die den offenen Kegeln σ_{α}, σ_{β} entsprechen, werden durch die projektive Gerade verbunden, die der Seite σ_{α} ∩ σ_{β} entspricht und auf der x_{μ_{β}}, x_{λ_{α}} die Koordinaten sind.

Setzt man diese Konstruktion nach beiden Seiten fort, so erhält man die unendliche toroidale Einbettung, und T (s) ist der Quotient davon durch die Einheitengruppe.

Ist nun τ ein Element aus der Galoisgruppe Gal(E/Q) und ist a ∈ I_{Q} ein Element, das τ über den Reziprozitätsisomorphismus entspricht, dann ist T (s)^{τ} = T (s^{τ}) = T (a · s). Das Idele a vermittelt eine Abbildung zwischen den Zerlegungen von C(s) und C(a · s), weil wir von einer zulässigen Zerlegung ausgehen. Wenn σ′_{α}, σ′_{β} zwei benachbarte Kegel in C(as) sind, die gerade die Bilder von σ_{α}, σ_{β} in C(s) unter a sind, dann bekommen wir Isomorphismen

R[x_{λ_{α}}, x_{μ_{α}}] → R[x_{λ′_{α}}, x_{μ′_{α}}], f(x_{λ_{α}}, x_{μ_{α}}) → f^{τ} (x_{λ′_{α}}, x_{μ′_{α}})

und entsprechend für die β-Variablen, und das liefert einen Isomorphismus zwichen den toroidalen Einbettungen, die oben beschrieben worden sind. Er wird von a unabhängig, wenn wir zum Quotienten übergehen, und das liefert uns

ϕ_{τ} : ∐_{s} T (s) → ( ∐_{s} T (s))^{τ} .

Damit ist das Abstiegsdatum und somit auch T/Z_{(p)} konstruiert. 1.7. Wenn K′ in K enthalten ist, so gibt es einen natürlichen endlichen étalen Morphismus S_{K′} → S_{K}, der sich in einen endlichen flachen Morphismus S̄_{K′} → S̄_{K} erweitert. Beide Morphismen werden mit R(1) bezeichnet. Allgemeiner sei g ∈ G(A_{f}) und K′ ⊂ K ∩ g · Kg^{−1}. Dann ist die auf den komplexen Punkten durch x → x · g definierte Abbildung

G(Q)\G(A)/K_{∞} · K′ → G(Q)\G(A)/K_{∞} · K

von einem über Q definierten Morphismus R(g) : S_{K′} → S_{K}, der sich in S̄_{K′} → S̄_{K} erweitert, induziert. Wir erhalten eine Heckekorrespondenz

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}S̄_{K} S̄_{K}^{R(1)}  ^{R(g)} S̄_{K′}

1.8. Es gibt gute Gründe, die Schnittkohomologie von Goresky-MacPherson und Deligne [7] ins Spiel zu bringen. Es sei μ eine endlich-dimensionale über Q definierte Darstellung der Gruppe G in einem Vektorraum V = V_{μ}. Wir nehmen an, daß μ absolut irreduzibel ist. Dieser Darstellung ordnet man ein lokales System 𝒱 = 𝒱_{μ} von Q-Vektorräumen über der komplexen Mannigfaltigkeit S(C) und von Q_{l}-Vektorräumen über dem Schema S zu. Die intermediäre Erweiterung von 𝒱 auf S̄ [7], 2.2 bezeichnen wir mit demselben Symbol. Wir interessieren uns für die Schnittkohomologiegruppen H^{p}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱). In diesem speziellen Fall sieht man leicht ein [7], 2.2, daß

H^{i}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) = H^{i}(S ×_{Q} Q̄, 𝒱), i = 0, 1;

H^{2}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) = Im (H_{c}^{2}(S_{Q^{×}} Q̄, 𝒱) → H^{2}(S_{Q^{×}} Q̄, 𝒱));

H^{i}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) = H_{c}^{i}(S_{Q^{×}} Q̄, 𝒱), i = 3, 4.

Wir betten Q̄ in Q̄_{l} und diesen Raum in C ein. Dann kann man auf Grund allgemeiner Prinzipien und der Benutzung der Zucker’schen Vermutung (siehe [8], 1.3.6 und 1.3.7) die Kohomologie H.(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) nach der Operation der Heckealgebra zerlegen. Das sieht dann so aus: ist π eine irreduzible Darstellung der Adelegruppe G(A) = GL_{2}(A_{F}), die in L^{2}(G(Q)\G(A)) auftaucht, so sagen wir, daß

π ∈ Coh(μ) ⇔ H.(𝔤_{∞}, K_{∞}, π_{∞} ⊗ 𝒱_{μ}) ≠ 0.

Dabei ist π_{∞} die unendliche Komponente in der Zerlegung von π = π_{∞} × π_{f}, die der Zerlegung G(A) = G(R)×G(A_{f}) = G_{∞}×G(A_{f}) entspricht. Die Menge Coh(μ) kann man in einen “trivialen” und einen “interessanten” Anteil zerlegen

Coh(μ) = Coh_{e}(μ) ∪ Coh_{0}(μ),

wobei Coh_{e}(μ) = {π ∈ Coh(μ)| dim π = 1}. Es ist Coh_{e}(μ) = ∅, falls dim 𝒱_{μ} > 1, und sonst ist

Coh_{e}(μ) = {π| dim π = 1, π_{∞}|G^{0}(R) = μ^{−1}|G^{0}(R)}.

Die Elemente in Coh_{e}(μ) sind natürlich Größencharaktere, wie wir weiter unten erläutern werden.

Die Menge Coh_{0}(μ) besteht aus cuspidalen Kohomologieklassen, und zwar aus solchen π, bei denen π_{∞} das μ entsprechende Mitglied der diskreten Serie ist.

Dann gilt: Satz 1.9. a) H^{1}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) = H^{3}(S̄×_{Q}, Q̄, 𝒱) = 0.

b) H^{0}(S̄ ×_{Q} Q̄, 𝒱) = _{{⊗ \atop π∈Coh_{e}(μ)}}H_{∞}^{0}(π) ⊗ π_{f}^{K},

c) H^{4}(S̄ ×_{Q} Q, 𝒱) = _{{⊗ \atop π∈Coh_{e}(μ)}}H_{∞}^{4}(π) ⊗ π_{f}^{K},
d) H^{2}(S̄ ×_{Q} Q, 𝒱) = {⊗ \atop π∈Coh(μ)}H_{∞}^{2}(π) ⊗ π_{f}^{K}.

Dabei sind die rechten Seiten wie folgt zu verstehen: es sei H_{π,∞} der Raum der C^{∞}-Vektoren in dem Raum der automorphen Formen H_{π} ⊂ L^{2}(G(Q)\G(A)). Dann ist die Kohomologie

H.(𝔤_{∞}, K_{∞}, H_{π,∞}) =^{Def} H._{∞}(π) ⊗ H_{π_{f}} ,

und es ist π_{f}^{K} der Modul unter der Heckealgebra, der aus den K-invarianten Elementen aus H_{π_{f}} besteht, d.h. π_{f}^{K} = H_{π_{f}}^{K}. Wir bemerken, daß in diesem Fall π_{f}^{K} über Q̄ realisiert werden kann. Für π ∈ Coh_{e}(μ) ist

H.(π_{∞}) = H^{0}(π_{∞}) ⊕ H^{2}(π_{∞}) ⊕ H^{4}(π_{∞}) = C ⊕ (C ⊕ C) ⊕ C.

Für π ∈ Coh_{0}(μ) ist nur Kohomologie in der Dimension 2 vorhanden, und es ist

dim H_{∞}^{2}(π) = 4.

Die Zerlegung 1.9 wird mit Hilfe der Heckeoperatoren definiert. Das übliche Verfahren läßt sich in der Tat anwenden, weil die Schnittkohomologie funktoriell unter endlichen Morphismen ist [7]. Somit ist sie, wenn es sich um l-adische Kohomologie handelt, mit der Wirkung von Gal(Q̄/Q) verträglich, und die Räume H_{∞}^{i}(π) erweisen sich als Galoismoduln, die aber durch π und nicht allein durch π_{∞} bestimmt werden. Da die Wirkung der Galoisgruppe auf der Menge der Zusammenhangskomponenten bekannt ist, lassen sich die Moduln H_{∞}^{0}(π) unschwer beschreiben. Dazu erinnern wir, wie man gewissen Größencharakteren l-adische Galoisdarstellungen zuordnet.

Mittels des Artin’schen Reziprozitätsgesetzes können wir Ideleklassencharaktere endlicher Ordnung mit Charakteren endlicher Ordnung der Galoisgruppe identifizieren. Es entspricht ferner dem komplexen Charakter α : x → |x| der Ideleklassengruppe die zyklotomische ein-dimensionale l-adische Darstellung (siehe Konvention aus 1.1)

α : Gal(Q̄/Q) → Gal(Q( ^{ell ∞} \sqrt{1})/Q) = Z_{l}^{×}.

Man kann daher jedem π aus Coh_{e}(μ) eine l-adische Darstellung χ_{π} der Galoisgruppe zuordnen, indem man π(g) = ν(det g) schreibt und ν auf I_{Q} einschränkt und dann zur entsprechenden Galoisdarstellung übergeht.

1.10 Proposition.

(a) Die Galoisdarstellung auf H_{∞}^{0}(π) ist χ_{π}.

(b) Die Galoisdarstellung auf H_{∞}^{4}(π) ist α^{−2}χ_{π}.

Von wesentlicher Bedeutung für diese Arbeit ist die Bestimmung der Darstellungen auf H_{∞}^{2}(π), zumindest ihrer Einschränkung auf die Zerlegungsgruppe in einer unverzweigten Primstelle. 1.11. Wir hätten, statt mit der Gruppe G zu beginnen, auch mit der Gruppe H = GL_{2}/Q und dem Homomorphismus C^{×} → H(R)

a + i · b → ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} )

beginnen können. Zu einer offenen kompakten Untergruppe L ⊂ H(A_{f}) erhalten wir eine über Q definierte Kurve J_{L}. Die Diagonaleinbettung H → G definiert einen über Qdefinierten Morphismus J_{L} → S_{K}, falls L ⊂ K. Es sei J̄_{L} die kanonische Kompaktifizierung der Kurve J_{L}. Der obige Morphismus erweitert sich in einen Morphismus J̄_{L} → S̃_{K}. Insbesondere liegt der durch J_{L} definierte Zykel in H^{2}(S_{K} ×_{Q} Q̄, Q_{l}(1)) im Bild der Restriktionsabbildung

H^{2}(S̃_{K} ×_{Q} Q̄, Q_{l}(1)) → H^{2}(S_{K} ×_{Q} Q̄, Q_{l}(1)).

(Beachte, daß dieser Zykel beim Abändern von L in eine kleinere offene kompakte Untergruppe durch ein Vielfaches ersetzt wird.)

§2. ZUSAMMENSTELLUNG DER ERGEBNISSE

Wir erläutern zunächst, wie die Vermutungen von Tate für nichtkompakte Flächen zu formulieren sind (vgl. Einleitung). Es sei X eine glatte algebraische Fläche über dem Zahlkörper E und es sei X̃ eine über E definierte glatte Kompaktifizierung von X, so daß der Ort im Unendlichen ein Divisor Y mit normalen Schnitten ist. Einem Resultat von Grothendieck zufolge ist das Bild H̃^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) der Restriktionsabbildung

H^{2}(X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) → H^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1))

unabhängig von der Wahl von X̃. Weil sich jeder algebraische Zykel auf X in einen algebraischen Zykel auf X̃ erweitert, ist die Gruppe der algebraischen Kohomologieklassen 𝒵(E) in H̃^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) enthalten. Die erste Vermutung von Tate lautet wie im projektiven Fall

𝒵(E) = H^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1))^{Gal(Ē/E)} = H̃^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1))^{Gal(Ē/E)}.

Die letzte Gleichheit folgt aus der Tatsache, daß H̃^{2} gerade der reine Anteil in H^{2} ist (vergleiche den Beweis von Lemma 2.1 und die Diskussion in §5.) Die zweite Vermutung setzt die Dimension von 𝒵(E) gleich der Polordnung der Zetafunktion von X in s = 2, wobei die Zetafunktion mit dem Galoismodul H̃^{2} gebildet wird (vgl. Einleitung)

L_{Q}^{2}(X/E, s) = ∏_{𝔭∉Q} det(1 − N𝔭^{−s}.Φ_{𝔭}^{−1}|H̃^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}))^{−1}.

2.1 Lemma. Falls die Tate’schen Vermutungen für X gelten, so auch für X̃.

Beweis. Wir setzen Ȳ = Y ×_{E} Ē und betrachten die lange exakte Kohomologiefolge

H2 ; Ȳ (X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) → H^{2}(X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) → H^{2}(X ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) → H3 ; Ȳ (X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1))

(SGA 4, 2, V, 6.7). Die relativen Kohomologiegruppen berechnen sich als Limes einer Spektralfolge

H.(Ȳ , ℋ._{Ȳ}) ⇒ H._{Ȳ} (X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1))

(SGA 4, 2, loc.cit.). Nun kann man zeigen (siehe SGA 4, 1/2, [Cycle]), daß das Bild von H2 ; Ȳ (X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) in H^{2}(X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) gerade von den Bildern der Zyklen in dem Divisor Y erzeugt wird. Damit ist Lemma 2.1 bewiesen. Um die oben formulierte Behauptung einzusehen, muß man zeigen, daß H3 ; Ȳ (X̃ ×_{E} Ē, Q_{l}(1)) nach Reduktion mod irgendeiner Primstelle nicht rein vom Gewicht 0 ist. Das folgt aus den fundamentalen Sätzen in [10], angewandt auf die Terme vom Grad

3 in H(Ȳ , ℋ._{Ȳ}).

Wir kehren jetzt zu dem uns interessierenden Spezialfall zurück. Das nächste Lemma stellt die Verbindung zwichen den eben eingeführten Kohomologiegruppen und den im vorhergehenden Abschnitt betrachteten Schnittkohomologiegruppen her.

2.2 Lemma. Die beiden Untergruppen H̃^{2}(S_{K} ×_{Q}Q̄, Q_{l}) und H^{2}(S̄_{K} ×_{Q}Q̄, Q_{l}) von H^{2}(S_{K} ×_{Q}Q̄, Q_{l}) sind identisch.

Beweis. Wir betrachten das folgende Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten (alles Kohomologie mit konstanten Koeffizienten). Wir setzen S̄^{∞} = S^{∞} ×_{Q} Q̄.

H^{2}(S̄^{∞})
↑
H_{S^{∞}}^{2}(S̃ ×_{Q} Q̄) ⟶ H^{2}(S̃ ×_{Q} Q̄) ⟶^{(1)} H^{2}(S ×_{Q} Q̄)
↑  ↑_{(2)}
H_{c}^{2}(S ×_{Q} Q̄)  =  H_{c}^{2}(S ×_{Q} Q̄).

Daß die Pfeile (1) und (2) das gleiche Bild haben, resultiert aus dem folgenden Hilfssatz, von dem wir in 5.3 eine Verallgemeinerung beweisen werden.

2.3 Hilfssatz. Der Homomorphismus

H_{S^{∞}}^{2}(S̃ ×_{Q} Q̄) → H^{2}(S̄^{∞})

ist ein Isomrophismus.

Beweis. Siehe 5.3. Es folgt aber auch sofort daraus, daß die Schnittmatrix negativ definit ist, vgl. 5.4.

Wir betrachten nicht nur die konstante Garbe, sondern allgemeiner ein durch eine Q-rationale Darstellung von G/Q definiertes lokales System. Dies liefert uns auch ein System l-adischer Kohomologiegruppen. Wie in §1 fixieren wir Einbettungen τ : Q̄ → Q̄_{l} → C, und mit H^{i}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱) bezeichnen wir die Tensorprodukte der l-adischen Kohomologie mit Q̄_{l}. Auf dieser Kohomologie operiert nun die Algebra ℋ_{K} der K-biinvarianten Funktionen mit kompakten Trägern auf G(A_{f}) und die Galoisgruppe Gal(Q̄/Q). Wir bekommen dann eine Zerlegung in isotypische Komponenten

H^{i}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱) = {⊕ \atop π∈Coh(μ)}H^{i}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱)(π_{f}^{K}),

und jeder der Q̄_{l}-Vektorräume in der Summe rechts ist ein Tensorprodukt

H^{i}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱)(π_{f}^{K}) = W (π_{f}) ⊗ X^{(i)}(π_{f}),

wobei W (π_{f}) ein irreduzibler ℋ_{K}-Modul ist, auf dem ℋ_{K} durch π_{f}^{K} operiert und wobei X^{(i)}(π_{f}^{K}) ein endlichdimensionaler Q̄_{l}-Vektorraum ist, auf dem die Galoisgruppe operiert

ρ^{i}(π) : Gal(Q̄/Q) → GL(X^{(i)}(π_{f}^{K})).

Uns interessiert besonders der Fall i = 2, dann wollen wir für X^{(i)}(π_{f}^{K}) (bzw. ρ^{i}(π)) einfach X(π_{f}) (bzw. ρ(π)) schreiben. Nach 1.9 ist

dim X(π_{f}) = 4 falls π ∈ Coh_{0}(μ),
dim X(π_{f}) = 2 falls π ∈ Coh_{e}(μ).

An den unverzweigten Stellen p definiert ρ(π) einen lokalen Eulerfaktor

L_{p}(s, ρ(π)) = det(1 − ρ(π)(Φ_{p}^{−1})p^{−s})^{−1},

wobei Φ_{p} der arithmetische Frobenius ist.

Der nächste Satz beschreibt diesen lokalen L-Faktor in Termen, die der automorphen Form π zugeordnet sind. Dazu erinnern wir zunächst an die Definition der L-Gruppe. (Siehe [4], vergl. auch den Artikel von Casselman im gleichen Band.) In unserem Fall ist die L-Gruppe ^{L}G von G/Q gleich

LG = (GL_{2}(C) × GL_{2}(C)) × Gal(Q̄/Q),

wobei Gal(Q̄/Q) auf dem Produkt über die Faktorisierung Gal(Q̄/Q) → Gal(F/Q) auf GL_{2}(C) × GL_{2}(C) operiert und wobei das nichttriviale Element die Faktoren vertauscht.

Wir betrachten die natürliche Darstellung

r : GL_{2}(C) × GL_{2}(C) → GL(C^{2} ⊗ C^{2}),

wobei die Faktoren jeweils auf den entsprechenden Faktoren des Tensorproduktes natürlich operieren. Diese Darstellung wird zu einer Darstellung

r : ^{L}G → GL(C^{2} ⊗ C^{2})

forgesetzt, wobei

r(Id × Id × σ) (x ⊗ y) = \{ \begin{matrix}x ⊗ y  σ|F = 1, \\ y ⊗ x  σ|F ≠ 1. \end{matrix}

Man ordnet nun dem Paar π, r eine lokale L-Funktion zu, die an den unverzweigten Stellen durch die folgende Formel ([4], 7.2) gegeben ist:

L_{p}(s, π, r) = det (1 − r(A(π_{p}))p^{−s})^{−1},

wobei A(π_{p}) die zu π_{p} gehörige Konjugationsklasse in ^{L}G ist. Wenn man wie üblich eine lokale Darstellung in der unverzweigten Hauptserie mit

π_{𝔭}(μ_{𝔭}, ν_{𝔭}) = π_{𝔭}(α_{𝔭}, β_{𝔭})

notiert, wobei α_{𝔭}, β_{𝔭} die Werte der Quasicharaktere auf einem uniformisierenden Element sind, dann gilt

r(A(π_{p})) ∼ ( \begin{matrix}α_{𝔭}α_{𝔭′} \\ & β_{𝔭}α_{𝔭′} \\ & & α_{𝔭}β_{𝔭′} \\ & & & β_{𝔭}β_{𝔭′} \end{matrix} )

falls p = 𝔭𝔭′. Falls p𝒪 = 𝔓 ein träges Primideal ist, dann ist

r(A(π_{p})) = ( \begin{matrix}α_{𝔓} \\ & 0 & α_{𝔓} \\ & β_{𝔓} & 0 \\ & & & β_{𝔓} \end{matrix} ) = r [( \begin{matrix}α_{𝔓} & 0 \\ 0 & β_{𝔓} \end{matrix} ) × Id × Φ_{p}] .

Es sei im folgenden ε sets der zu F/Q gehörige Charakter. Dann gilt:

2.4 Satz. Es sei p unverzweigt und π_{f}^{K} ≠ 0.

a) Wenn π ∈ Coh_{e}(μ), dann ist

L_{p}(s, ρ^{0}(π)) = (1 − \frac{χ_{π}(p)}{p^{s}})^{−1},

L_{p}(s, ρ^{2}(π)) = (1 − \frac{pχ_{π}(p)}{p^{s}})^{−1} (1 − \frac{p · ε(p)χ_{π}(p)}{p^{s}})^{−1},

L_{p}(s, ρ^{4}(π)) = (1 − \frac{p^{2}χ_{π}(p)}{p^{s}})^{−1}.

b) Wenn π ∈ Coh_{0}(μ), dann ist

L_{p}(s, ρ(π)) = L_{p}(s − 1, π, r).

Das Product der drei lokalen Faktoren in a) ist gerade L_{p}(s − 1, π, r). Somit können wir 2.4 umformulieren, indem wir das Verfahren in [22] nachahmen. Falls π in p unverzweigt ist, sei A(π_{p}) ∈ ^{L}G die entsprechende Konjugationsklasse (siehe [4], 7).

2.4′ Satz. Es sei p unverzweigt (bezüglich K). Für jedes i ist die Galoisdarstellung ρ^{i} unverzweigt in p. Es sei Φ_{p} die Frobeniussubstitution in p und g ∈ G(A_{f}^{p}). Dann gilt für jede positive ganze Zahl n

∑_{i=0}^{4}(−1)^{i} Spur (ρ^{i}(Φ_{p}^{−n}) · T (g)) = ∑_{π∈Coh(μ)} p^{n} · Spur r(A^{n}(π_{p})) Spur π_{f}(KgK).

Hierbei bezeichnet T (g) den durch die Heckekorrespondenz g^{−1} vermittelten Endomorphismus von H^{i}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱). Auf der rechten Seite steht die Spur des Operators

π_{f}(KgK) = {∫_{K} dx}^{−1} · ∫_{KgK} π_{f}(x) · dx.

Der Beweis dieses Satzes wird in §6 skizziert werden. Im Gegensatz zu [8], die die Lefschetz’sche Fixpunktformel auf S̄_{K} verwenden, arbeiten wir auf S̃_{K}.

Wir definieren wie folgt die ganze Zahl n = n(μ):

μ(z) = z^{2n} für z ∈ Q^{×} ⊂ GL(2, F).

Es sei ω ein Charakter endlicher Ordnung von Gal(Q̄/Q). Wir betrachten die globale L-Funktion, die zu der l-adischen Darstellung ω · ρ(π) gehört:

L_{Q}(s, ω · ρ(π)) = ∏_{p∉Q} L_{p}(s, ω · ρ(π)).

2.4.1 Bemerkung. Wenn wir ω über den Reziprozitätsisomorphismus als Charakter auf I_{Q}/Q^{×} interpretieren und diesen Charakter zu einem Galoischarakter ω′ auf I_{F} /F^{×} fortsetzen, dann wird

L_{p}(s, ω · ρ(π)) = L_{p}(s, ρ(π ⊗ ω′)).

2.5 Satz. Die Funktion L_{Q}(s, ω · ρ(π)) ist fortsetzbar in eine Umgebung von s = n + 2. Es sei pol(π, ω) die Polordnung im Punkte s = n + 2. Es sei t(π, ω) die Dimension des Vektorraums der Tate-Klassen

𝒯(π, ω) = {x ∈ X(π_{f})|ρ(π)(σ) · x = α^{−n−1}(σ) · ω^{−1}(σ) · x, σ ∈ Gal(Q̄/Q)}.

Dann gilt: pol(π, ω) = t(π, ω).

Nach 1.9 ist die von dem H^{2} herrührende L-Funktion gleich

L(s, ω · ρ) = ∏_{π∈Coh(μ)} L(s, ω · ρ(π)),

und es gilt

2.6 Korollar. Die Funktion L(s, ω · ρ) ist fortsetzbar in eine Umgebung von s = n + 2. Ihre Polordning pol(ω) in s = n + 2 ist gleich der Dimension t(ω) des Vektorraums

𝒯(ω) = {x ∈ H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱)|ρ(σ) · x = α^{−n−1}(σ) · ω^{−1}(α) · x, σ ∈ Gal(Q̄/Q)}.

Wir bemerken, daß für π ∈ Coh_{e}(μ) aus 2.4 folgt, daß pol(π, ω) = t(π, ω) entweder 0 oder 1 ist und daß diese Zahl 1 ist genau dann, wenn χ_{n} gleich α^{−n} · ω^{−1} oder ε · α^{−n} · ω^{−1} ist. Somit ist der Satz 2.5 für π ∈ Coh_{e}(μ) trivial. Für unendlichdimensionale π wird 2.5 aus einer präziseren Aussage folgen. 2.7 Definition. Eine unendlich-dimensionale Form π auf G(A) heißt ausgezeichnet bezüglich α^{−n}ω^{−1}, wenn sie von der Form

π = (πQ^{0} × F) ⊗ (ν′ ⊗ ω′)^{−1}

ist, wobei die folgenden Forderungen gestellt sind:

1) πQ^{0} ist eine automorphe Form auf GL_{2}(A_{Q}) und πQ^{0} × F ist ihre Liftung nach F.

2) ν′ und ω′ sind Galoischaraktere auf I_{F} /F^{×}, und für ihre Einschränkungen auf I_{Q} gilt

ω′|I_{Q} = ω; ω_{πQ^{0}} = αQ^{−n} · ν · ε

mit ν′|I_{Q} = ν und ω_{πQ^{0}} = zentraler Charakter von πQ^{0}.

Wir wollen zwei kleine Bemerkungen anschließen. 2.7.1. Die automorphe Form π ist genau dann ausgezeichnet bezüglich α^{−n}ω^{−1}, wenn π ⊗ ω′ ausgezeichnet bezüglich α^{−n} ist. 2.7.2. Wenn π ausgezeichnet bezüglich α^{−n}ω^{−1} ist, dann ist ω_{π}|I_{Q} = ω^{−2}αQ^{−2n}.

2.8 Satz. Es sei π ∈ Coh_{0}(μ)

(a) Die Zahl pol (π, ω) ist entweder 0 oder 1. Sie ist genau dann gleich 1, wenn π ausgezeichnet (bezüglich α^{−n}ω^{−1}) ist.

b) Die Zahl t(π, ω) ist entweder 0 oder 1. Sie ist 1 genau dann, wenn π ausgezeichnet (bezüglich α^{−n}ω^{−1}) ist.

Jetzt sei 𝒱 die konstante Garbe. Es sei 𝒵 der von den über einem Zahlkörper definierten algebraischen Zyklen aufgespannte Unterraum von

H̃^{2}(S_{K} _{Q^{⊗}} Q̄, Q_{l}) = H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, Q_{l}).

Wir bezeichnen mit 𝒵(ω) (bzw. 𝒵(π, ω)) den Durchschnitt von 𝒵 mit 𝒯(ω) (bzw. 𝒯(π, ω)). Wir erhalten eine Zerlegung

𝒵(ω) = _{{⊕ \atop π∈Coh(1)}}𝒵(π, ω) ⊗ π_{f}^{K}.

Unser Hauptresultat lautet:

2.9 Satz. Es sei z(π, ω) die Dimension von 𝒵(π, ω). Es gilt

z(π, ω) = pol(π, ω) = t(π, ω).

In der Tat hat dieser Satz die Richtingkeit der Vermutungen von Tate für S_{K}, so wie sie am Anfang dieses Paragraphen formuliert sind, über einer abelschen Erweiterung von Q zur Folge. Was eindimensionale π betrifft, folgt aus der Bemerkung nach 2.6, daß man die Behauptung von 2.9 aus folgender Aussage erhält.

2.10 Proposition. Es sei π ∈ Coh_{e}(1). Dann ist z(π, ω) gleich 0 oder 1, und zwar 1 genau dann, wenn χ_{π} = ω^{−1} oder χ_{π} = ε · ω^{−1}.

Aus 1.11 erhält man mit Hilfe von 2.2 eine Abbildung

H^{0}(J_{L}) → H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄).

Ihr Bild liegt in 𝒵. Es sei 𝒟 der durch die Wirkung der Heckeoperatoren von dem Bild von H^{0}(J_{L}) erzeugte Unterraum von H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄). Offenbar ist 𝒟 ⊂ z. Wir nennen die Elemente von 𝒟 Hirzebruch-Zagier-Zyklen. Wir erhalten eine Zerlegung von

\begin{aligned}𝒟(ω) & =_{Df.} 𝒟 ∩ 𝒵(ω), \\ 𝒟(ω) & = _{{⊕ \atop π∈Coh(1)}}𝒟(π, ω) ⊗ π_{f}^{K}. \end{aligned}

Es sei d(π, ω) die Dimension von 𝒟(π, ω). Offenbar ist d(π, ω) ≦ z(π, ω). Somit ist der Satz 2.9 eine Folgerung aus 2.10, 2.8 und dem folgenden Satz.

2.11 Satz. Die Zahl d(π, ω) ist gleich 0 oder 1. Falls π ∈ Coh_{e}(μ), so ist sie genau dann 1, wenn χ_{π} = ω^{−1}. Falls π ∈ Coh_{0}(1) ausgezeichnet ist, so ist d(π, ω) gleich 1.

In den nächsten beiden Abschnitten nehmen wir die Gültigkeit von Satz 2.4 an und beweisen diejenigen Aussagen dieses Paragraphen, die nicht Folge anderer sind, allerdings nicht in der Reihenfolge, in der sie hier formuliert wurden.

§3. HIRZEBRUCH-ZAGIER-ZYKLEN

Es seien 𝔤 und 𝔨 die Liealgebren von G(R) und K_{∞}. Für π ∈ Coh(1), wenn es sich um komplexe Kohomologie handelt, kann der Raum H_{∞}^{2}(π) ⊗ π_{f}^{K} mit

(3.1)  Hom_{K_{∞}}(Λ^{2}(𝔤/𝔨), π^{K}) = Hom_{K_{∞}}(Λ^{2}(𝔤/𝔨), π_{∞}) ⊗ π_{f}^{K}

identifiziert werden. Hier bezeichnet π sowohl die Darstellung als auch den entsprechenden Raum der automorphen Formen. Es sei ω_{i}, 1 ≦ i ≦ 6, eine Basis des dualen Raums von Λ^{2}(𝔤/𝔨). Dann schreibt sich ein Element aus (3.1) als ∑_{i=1}^{6} f_{i} · ω_{i}, wobei f_{i} eine quadratintegrierbare automorphe Form auf G(Q)\G(A)/K ist. Die ω_{i} sind als linksinvariante Differentialformen auf G(R) und somit auf G(R)/K_{∞} aufzufassen. Mittels der Einbettung H(R) → G(R) aus 1.11 liefert ω_{i} eine Form ω_{i}^{H} auf H(R) oder H(A)/L. Es sei

L_{∞} = \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} )\} ⊂ H(R).

Die Form ∑ f_{i}ω_{i} ist invariant bezüglich K_{∞} und ∑ f_{i} · ω_{i}^{H} ist bezüglich L_{∞} invariant. Wir erhalten somit eine Form auf der orientierten Mannigfaltigkeit H(A)/L_{∞} · L.

Wir haben eine natürliche Paarung auf H^{2}(S_{K} ×_{Q} Q̄). Unter der Identifikation von H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄) mit der L^{2}-Kohomologie in der Zucker’schen Vermutung gilt dabei in naheliegender Weise:

(3.2)  ⟨∑ f_{i} · ω_{i}, ∑ f′_{i} · ω_{j}⟩ = ∑_{i,j} ∫_{G(Q)Z(R)\G(A)/K_{∞}·K} f_{i} · f′_{j} · ω_{i} ∧ ω_{j}.

Insbesondere gilt für die Aktion der Heckeoperatoren

(3.3)  ⟨T (g)x, x′⟩ = ⟨x, T (g^{−1})x′⟩.

Wir identifizieren dem Raum H^{0}(J_{L}) mit dem Raum der lokal konstanten Funktionen auf H(Q)\H(A)/L_{∞}L. Die in 1.11 definierte Zykelabbildung definiert wegen 2.2 eine Paarung zwischen dem Raum (3.1) und H^{0}(J_{L}).

3.5 Hilfssatz. Der Wert der Paarung auf dem Paar ∑ f_{i} · ω_{i}, und μ ∈ H^{0}(J_{L}) ist bis auf eine nichtverschwindende Konstante gleich

∫_{H(Q)\H(A/L_{∞}·L} μ · ∑_{i} f_{i} · ω_{i}^{H}.

Beweis. Dies ist ein sehr technischer Hilfssatz, zu dem es mehrere Beweise gibt. Wir wollen im folgenden einen möglichen Beweis skizzieren. Der weise Leser wird die nachstehenden Zeilen bis zum nächsten Auftauchen der Zeichenfolge q.e.d. überschlagen.

Wir arbeiten mit der Borel-Serre Kompaktifizierung, genauer gesagt, wir schneiden die Spitzen ab und schieben dann die Ränder ins Unendliche. Die durch H definierten Zykeln sind dann als relative Homologieklassen in H_{2}(S, ∂S(c), C) zu interpretieren, dabei ist c das Niveau, an dem wir die Spitzen abschneiden; wenn c → ∞ geht, dann erreichen wir den Rand der Borel-Serre Kompaktifizierung. Der Durchschnitt von ∂S(c) mit dem Zykel ist dann eine Vereinigung von Kreisen, die als Randkomponenten auftreten, wenn wir den Modulkurven die Spitze abschneiden. Das sind Kreise, die in der Beschreibung aus [14], §1 (siehe auch [8], §1) in der durch den unipotenten Teil gegebenen Faser der Faserung liegen, sie sind also nullhomolog. (Siehe [14], Proposition 1.1; es ist aber auch so klar, daß die Matrizen der Form ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) mit u ∈ 𝒪 Torsionsklassen in der Faktorkommutatorgruppe von der Boreluntergruppe B(𝒪) sind.) Also ist der Zykel im Bild der Abbildung

H_{2}(S, C) → H_{2}(S, ∂S(c), C)

und damit wird klar, daß die Auswertung einer Klasse aus H^{2}(S, C) auf dem Zykel sinnvoll ist. (Das haben wir vorher mit Hilfe der nichtsingulären Kompaktifizierung und 2.2 auch schon eingesehen.) Ist nun ω eine unsere cuspidale Kohomologieklasse repräsentierende automorphie Form, so können wir schreiben

ω = ω̃ + dϕ,

wobei ω̃ kompakten Träger hat. Nach Definition ist die Auswertung der Klasse auf dem Zykel durch das Integral von ω̃ über dem Zykel gegeben. Man kann nun aber dϕ nach Borel [5], Theorem 7.4 so wählen, daß ϕ logarithmisch wächst, d.h. wie ein Polynom in log c. Das Volumen des Randkreises geht aber mit c^{−1} nach Null und dann folgt

∫ dϕ = lim_{c→∞} ∫_{∂S(c)∩Zykel} ϕ = 0.  q.e.d.

Die Menge der Zusammenhangskomponenten von J_{L} kann mit Q^{×}\I_{Q}/R_{+}^{×} · det L identifiziert werden [11]. Falls ω ein Größencharakter endlicher Ordnung auf I_{Q} ist, der nicht trivial auf det L ist, wo L = H(A_{f}) ∩ K, ist H^{0}(J_{L})(ω) trivial. Sonst ist H^{0}(J_{L})(ω) vom Bild der Funktion ω^{−1} auf den Zusammenhangskomponenten erzeugt.

Wir können die Basis {ω_{i}|1 ≦ i ≦ 6} = {ω_{±,±}, ω_{1}, ω_{2}} so wählen, daß

\begin{aligned}ω_{±,±} & = (dx_{1} ± idy_{1}) ∧ (dx_{2} ± idy_{2}), \\ ω_{j} & = (dx_{j} + idy_{j}) ∧ (dx_{j} − idy_{j}). \end{aligned}

Dann ist ω_{+,+}^{H} = ω_{−,−}^{H} = 0 und ω_{+,−}^{H}, ω_{−,+}^{H}, ω_{1}^{H} und ω_{2}^{H} sind invariant unter L_{∞} und liefern die invariante 2-Form auf H(R)/L_{∞}. Da wir f_{+,−}, und f_{−,+} oder f_{1} und f_{2} unabhängig voneinander wählen können und da wegen (3.3) die Algebra der Heckeoperatoren selbstadjungiert ist, erhalten wir die folgende Aussage. In ihr bezeichnet Z das Zentrum von H.

3.6 Lemma. Es sei H^{2}(π)^{K} = H_{∞}^{2}(π) ⊗ π_{f}^{K} ≠ 0. Dann ist dieser Raum genau dann nicht orthogonal zu 𝒟(ω), wenn es ein f im Raum von π und ein g ∈ G(A) gibt, so daß

∫_{H(Q)Z(R)\H(A)} ω(det h) · f(h · g)dh ≠ 0.

Dieses Lemma ist genau genommen – im Gegensatz zu der vorangehenden Bermerkung – noch nicht vollständig bewiesen. Wir wissen nur, daß wir, um die behauptete Nichtorthogonalität zu zeigen, die obige Ungleichung für ein g ∈ G(A_{f}) (d.h. g_{∞} = 1) und ein f ∈ π zeigen müssen, das die folgende Bedingung erfüllt (dies gilt für den Fall π ∈ Coh_{0}, im anderen Fall ist das Lemma klar):

a) f ist K-invariant.

b) Für

k = ( \begin{matrix}a_{1} & −b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}a_{2} & −b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix} ) ∈ K_{∞}

gilt

k · f = (\frac{a_{1} + i · b_{1}}{a_{1} − i · b_{1}} · \frac{a_{2} − i · b_{2}}{a_{2} + i · b_{2}} )^{±1} · f.

Wir werden aber bald einsehen, daß diese zusätzlichen Bedingungen unnötig sind. Wir schließen wegen (3.2) aus 3.6.

3.7 Lemma. a) Es sei π̃ die zu π kontragrediente Darstellung. Dann ist die π̃-Komponente 𝒟(π̃, ω) genau dann nicht Null, wenn für π der Bedingung in 3.6 gilt.

b) Es sei π ∈ Coh_{e}(1). Dann ist 𝒟(π, ω) nur dann nicht Null, wenn χ_{π} = ω^{−1}. Dann ist d(π, ω) = 1.

Wir untersuchen jetzt die in 3.6 auftretende Bedingung. Wir bemerken, daß 3.6 genau dann bezüglich des Charakters ω gilt, wenn für π ⊗ ω′ die Bedingung bezüglich des trivialen Charakters gilt; hier ist ω′ natürlich wieder eine Fortsetzung von ω. Wir bemerken, daß diese Verträglichkeit mit Twisten genau mit der in 2.7.1 notierten Verträglichkeit zusammenpaßt. Diese Verträglichkeit erlaubt uns Reduktionen, die wir in den folgenden Beweisen oft stillschweigend vornehmen werden.

Es sei

I = Ind_{H(A)}^{G(A)}ω^{−1}.

Der Operator

T : f → f′ : g → ∫_{H(Q)Z(R)\H(A)} ω(det h) · f(hg)dh

ist, falls π auf Z(R), dem Zentrum von H(R), gleich ω^{−2} ist, ein Verkettungsoperator zwischen π und I. Wir wollen ihn für eine beliebige cuspidale Darstellung betrachten, wobei ω nicht mehr von einem Galoischarakter herkommen muß. Es sei I_{p} die entsprechende lokale Darstellung

I_{p} = Ind_{H(Q_{p})}^{G(Q_{p})}ω_{p}^{−1}.

Man sieht unschwer ein, daß T nur dann nicht Null sein kann, wenn

Hom_{G(Q_{p})}(π_{p}, I_{p}) ≠ 0

für jedes p.

In dem folgenden Satz übertragen wir in offensichtlicher Weise den Begriff einer ausgezeichneten automorphen Form (siehe 2.7) auf unendlich-dimensionale Darstellungen der lokalen Gruppe G(Q_{p}).

3.8 Satz. a) Für jede zulässige irreduzible unendlich-dimensionale Darstellung π_{p} gilt

d(π_{p})_{=_{Df.}} dim Hom_{G(Q_{p})}(π_{p}, I_{p}) ≦ 1.

b) Falls d(π_{p}) > 0, so ist die Einschränkung des Zentrumcharakters ω_{π_{p}} auf Q_{p} gleich ω_{p}^{−2}.

c) Falls p zerfällt oder falls π_{p} in der Hauptreihe liegt, ist d(π_{p}) nur dann gleich 1, falls π_{p} ausgezeichnet (bezüglich ω_{p}^{−1}) ist.

Die Behauptung b) ist trivial. Für den Beweis von c) werden wir einen Ansatz von L. Clozel verwenden. Es sei ω = 1. Falls p zerfällt, so ist π_{p} = π_{1} ⊗π_{2}, wobei π_{i} Darstellungen von GL(2, Q_{p}) sind. Da H(Q_{p}) diagonal eingebettet ist, ist nach dem Frobeniusreziprozitätsgesetz

Hom_{G(Q_{p})}(π_{p}, I_{p}) = Hom_{GL(2,Q_{p})}(π_{2}, π̃_{1}).

Daraus folgen a) und c) in diesem Fall. Im weiteren sei p nicht zerfallend, insbesondere ist p endlich. Bevor wir den ernsthaften Teil des Beweises von 3.8 beginnen, bemerken wir, daß die Behauptung a) es uns ermöglicht, die zusätzlichen Bedingungen auf f und g in 3.6 zu eliminieren. In der Tat, falls T f ≠ 0 für ein f ∈ π, so ist auch T f ≠ 0 für ein f, das die Bedingungen a) und b) nach 3.6 erfüllt. Weil d(π_{∞}) = 1, folgt jetzt T f|G(A_{f}) ≠ 0.

Beweis von 3.8, a). Aus dem Frobeniusreziprozitätsgesetz folgt

Hom_{G(Q_{p})}(π_{p}, I_{p}) ≅ Hom_{H(Q_{p})}(π_{p}, ω_{p}^{−1}).

Wir benutzen das Kirillovmodell der Darstellung π_{p} [19]. In diesem Modell operiert π_{p} auf einem Raum ℌ von Funktionen auf F_{p}, der den Raum 𝒮(F_{p}^{×}) der Schwartz-Bruhat-Funktionen mit endlicher Kodimension enthält. Das Modell ist bezüglich eines nichttrivialen Charakters ψ von F_{p} definiert. Wir nehmen an, daß ψ|Z_{p} trivial ist. Dann ist

π_{p}( ( \begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) )f(x) = ψ(nx) · f(x).

Es sei 0 ≠ L ∈ Hom_{H(Q_{p})}(π_{p}, ω_{p}^{−1}). Dann ist L|𝒮(F_{p}^{×}) ≠ 0. In der Tat wäre sonst L invariant under H(Q_{p}) und

N_{0}(F_{p}) = \{ ( \begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |n ∈ F_{p}\},

und somit unter SL(2, F_{p}). Das ist unmöglich.

Es sei

B_{0}(Q_{p}) = \{ ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(Q_{p})\}.

Es genügt zu zeigen:

Hom_{B_{0}(Q_{p})}(𝒮(F_{p}^{×}), 1) = C.

Falls x ∈ F_{p}, x ∉ Q_{p}, so gibt es ein n ∈ Q_{p}, so daß ψ(nx) ≠ 1. Folglich ist die Einschränkungsabbildung ein Isomorphismus

Hom_{B_{0}(Q_{p})}(𝒮(F_{p}^{×}), 1) ≅ Hom_{B_{0}(Q_{p})}(𝒮(Q_{p}^{×}), 1).

Die letzte Gruppe ist erzeugt durch

f → ∫_{Q_{p}^{×}} f ( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) d^{×}x.

Beweis von 3.8, c). Es sei π_{p} = π(μ, ν), wobei μ, ν einen Charakter der Boreluntergruppe B_{0}(F_{p}) definiert

( \begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix} ) → μ(a) · ν(c).

Die Darstellung π_{p} ist Bestandteil der induzierten Darstellung ρ(μ, ν). Die Gruppe GL(2, Q_{p}) operiert auf P^{1}(F_{p}) = B_{0}(F_{p})\GL(2, F_{p}). Es gibt zwei Bahnen:

{x ∈ P^{1}(F_{p})|x = x̄} = B_{0}(Q_{p})\GL(2, Q_{p})

und

{x ∈ P^{1}(F_{p})|x ≠ x̄} = T (Q_{p})\GL(2, Q_{p}).

Dabei ist

T = B ∩ B̄

ein über Q_{p} definierter nicht zerfallender Torus, und B ist eine über F_{p} definierte Boreluntergruppe mit B̄ ≠ B. Die erste Bahn ist abgeschlossen. Durch Einschränken der Funktionen aus ρ(μ, ν) auf diese Bahn erhalten wir eine exakte Sequenz von GL(2, Q_{p})-Moduln:

0 → ρ′(μ, ν) → ρ(μ, ν) → ρ(μ_{0} · α0^{\frac{1}{2}} , ν_{0} · α_{0}^{− \frac{1}{2}} ) → 0.

Dabei sind μ_{0}, ν_{0} die Einschränkungen von μ, ν auf Q_{p} und α_{0} der Absolutbetrag auf Q_{p}. Wir haben benutzt, daß für x ∈ Q_{p}, und falls α den Absolutbetrag auf F_{p} bezeichnet, α(x) = α_{0}^{2}(x). Da unter der Identifikation

T (Q_{p}) = {(t, t̄)|t ∈ F_{p}^{×}}

die Einschränkung des Charakters μ, ν aud T (Q_{p}) gleich χ : t ∈ F_{p}^{×} → μ(t) · ν̄(t) wird, können wir ρ′(μ, ν) mit einer induzierten Darstellung identifizieren:

ρ′(μ, ν) = Ind_{T (Q_{p})}^{GL(2,Q_{p})}χ.

Zunächst ist klar:

(3.8.1)  Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ(μ_{0}α0^{\frac{1}{2}} , ν_{0}α_{0}^{− \frac{1}{2}} ), 1) = \{ \begin{matrix}C, falls μ_{0} = ν_{0} = 1, \\ 0, sonst. \end{matrix}
(3.8.2)  Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ′(μ, ν), 1) = \{ \begin{matrix}C, falls μ · ν̃ = 1, \\ 0, sonst. \end{matrix}

Indem wir notfalls μ und ν vertauschen, dürfen wir annehmen, daß π_{p} ein Quotient von ρ(μ, ν) ist. Aus d(π_{p}) > 0 folgt somit

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ(μ, ν), 1) ≠ 0.

Folglich ist μ_{0} = ν_{0} = 1 oder μ · ν̄ = 1. Falls μ · ν̄ = 1, so sei π_{p}^{0} die Liftung von π(1, μ_{0}^{−1} · ε_{p}). Wegen ν(x) = μ(x) · μ_{0}^{−1}(x · x̄) ist π(μ, ν) = π_{p}^{0} ⊗ μ ausgezeichnet. Falls μ_{0} = ν_{0} = 1, so gibt es einen Charakter λ von F_{p}^{×}, so daß μ(x) · ν^{−1}(x̄) = λ ( x̄ ; x ), d.h.

μ · λ(x) = ν · λ(x̄).

Es sei θ = μ · λ und π(θ) die entsprechende Darstellung von GL(2, Q_{p}). Dann gilt, falls π_{p}^{0} die Liftung von π(θ) bezeichnet, π(μ, ν) = π_{p}^{0} ⊗ λ^{−1}. Das Produkt von ε_{p} und dem Zentrumscharakter von π(θ) ist gleich θ|_{Q}_{p}^{×} = λ|_{Q}_{p}^{×}, weil μ_{0} = 1. Folglich ist π_{p} ausgezeichnet. q.e.d.

Es it zu vermuten, daß die Behauptung c) für alle π_{p} gilt. In dieser Richtung haben wir folgendes Resultat. 3.9 Satz. Die Konklusion von 3.8 c) gilt auch, falls π_{p} speziell ist.

Es gilt auch die Umkehrung: 3.10 Satz. Wenn π_{p} ausgezeichnet ist, so ist d(π_{p}) = 1.

Weil wir diese beiden Behauptungen nicht im Beweis unserer Hauptsätze benutzen werden, verschieben wir die Beweise auf den Schluß dieses Abschnitts.

Wir kommen nun zu weiteren globalen Aussagen, aber zunächst wollen wir eine kleine Vorbemerkung machen. Wir haben als L-Gruppe ^{L}G die Gruppe

GL_{2}(C) × GL_{2}(C) × Gal(Q̄/Q).

Wir können also jeden Galoischarakter

ω : Gal(Q̄/Q)^{ab} → C^{×}

auch als eindimensionale Darstellung der L-Gruppe interpretieren, insbesondere können wir auch die L-Funktion L(s, π, r · ω) betrachten. Wir bemerken, daß für π ∈ Coh_{0}(μ) und im Hinblick auf Satz 2.4 gilt (siehe 2.4.1)

L(s, π, r · ω) = L(s, π ⊗ ω′, s) = L(s, ω · ρ(π)).

Die folgenden Sätze implizieren 2.8 a) und die Gleichheit der ersten beiden Zahlen in 2.9. Die Aussage 2.8 b) wird in §4 bewiesen. 3.11 Satz. Es sei ω ein Galoischarakter auf I_{Q}/Q^{×}. Es sei π eine cuspidale automorphe Darstellung, deren Zentrumscharakter auf Z(R) = R^{×} eingeschränkt gleich ω^{−2} ist. Der globale Verkettungsoperator

T : f → T f(g) = ∫_{H(Q)Z(R)\H(A)} ω(det h) · f(hg)dh

ist genau dann nicht Null, wenn π ausgezeichnet bezüglich ω^{−1} ist. 3.12 Satz. Es sei π eine cuspidale automorphe Darstellung, deren Zentrumscharakter auf I_{Q}/Q^{×} von der Form ω^{−2}αQ^{−2n} ist, mit einem Galoischarakter ω. Ferner liege π_{∞} in der diskreten Reihe. Es sei Q eine endliche Menge von Primstellen, die die unendlichen Primstellen und alle Verzweigungsstellen von π enthält. Die Funktion L_{Q}(s, π, r · ω) ist fortsetzbar auf eine Umgebung von s = n + 1. Sie hat dort einen Pol erster Ordnung, wenn π ausgezeichnet bezüglich α^{−n}ω^{−1} ist. Sonst ist s = n + 1 weder ein Pol noch eine Nullstelle.

Wenn wir π mit α^{\frac{n}{2}} twisten, verschieben wir in der L-Funktion s in s + n. Diese Bemerkung und die vorangehenden Überlegungen erlauben die Reduktion auf den Fall ω = 1, n = 0. Wir werden 3.11 und 3.12 aus dem folgenden Satz ableiten. 3.13 Satz. Es sei π eine cuspidale automorphe Darstellung, deren Zentrumscharakter trivial auf Z(A) ist. Ferner liege π_{∞} in der diskreten Reihe.

a) Die Funktion L_{Q}(s, π, r) ist analytisch fortsetzbar auf eine Umgebung von s = 1.

b) Sie hat dort einen Pol genau dann, wenn der Verkettungsoperator T (mit ω = 1) auf π nicht Null ist.

Ableitung von 3.11 und 3.12 aus 3.13. Falls T ≠ 0, so schließen wir aus der lokalen Untersuchung, daß π̄_{p} ≅ π̃_{p} für fast jedes p. Daher gilt π̄ ≅ π̃ = π ⨂ ω_{π}^{−1}. Es gibt einen Größencharakter ν′ von I_{F}, so daß

ω_{π}(x) = \frac{ν′(x̄)}{ν′(x)}.

Wir setzen π^{0} = π ⨂ ν′. Dann gilt π̄^{0} ≅ π^{0} und folglich [24] ist π^{0} die Liftung einer Darstellung

πQ^{0}.

Als L-Gruppe von H wählen wir das direkte Produkt

LH = GL(2, C) × Gal(F/Q).

Liftungen entsprechen im Sinn des Funktorialitätsprinzips dem Homomorphismus

ϕ : ^{L}H → ^{L}G : A × σ → A × A × σ.

Da r ∘ ϕ = r_{1} ⨁ r_{2} mit

r_{1}(A × σ) = ε(σ) · det A, r_{2}(A × σ) = Sym^{2}A,

ist

L_{Q}(s, π^{0}, r) = L_{Q}(s, ω_{πQ^{0}} · ε) · L_{Q}(s, πQ^{0}, r_{2}).

Wir setzen im folgenden ω_{πQ^{0}} = ωQ^{0}. Es sei ν die Einschränkung von ν′ auf I_{Q}. Dann gilt

L_{Q}(s, π, r) = L_{Q}(s, π^{0}, r · ν^{−1}) = L_{Q}(s, ωQ^{0} · ε · ν^{−1}) · L_{Q}(s, πQ^{0}, r_{2} · ν^{−1}).

Der zweite Faktor auf der rechten Seite tritt in der Arbeit [12] auf. Dort wird gezeigt, daß, falls πQ^{0} nicht von dem Größencharakter einer quadratischen Erweiterung herkommt, der zweite Faktor ganz ist. (Genau genommen steht in [12], Theorem 9.3 eine andere Bedingung; daß diese Bedingung äquivalent zu der hier genannten ist, folgt aus [21], Proposition 6.5.) Nun ist L_{Q}(s, πQ^{0}, r_{2} · ν^{−1}) die “gewöhnliche” L-Funktion einer automorphen Form auf GL(3), und nach den Resultaten in [20] hat sie bei s = 1 keine Nullstelle. Falls also T ≠ 0, so folgt aus 3.13 b), daß L_{Q}(s, ωQ^{0} · ε · ν^{−1}) einen Pol in s = 1 hat. Folglich ist ωQ^{0} · ε · ν^{−1} trivial und π ausgezeichnet. Ist umgekehrt π ausgezeichnet, d.h. π = (πQ^{0} × F) ⨂ ν^{′−1} und ist πQ^{0} nicht von der Form π(θ), dann zeigen unsere Formeln für die L-Funktion und die obigen Überlegungen, daß bei s = 1 ein Pol vorliegt.

Wir wollen nun voraussetzen, daß π ausgezeichnet ist, aber πQ^{0} = π(θ) ist, wobei θ ein Größencharakter einer quadratischen Erweiterung E von Q ist; dann entspricht π(θ) einem Homomorphismus der Weilgruppe nach ^{L}H. Falls es nur ein solches E gibt, so ist

L_{Q}(s, π, r) = L_{Q}(s, θ_{0}ε · η · ν^{−1}) · L(s, θ_{0}ν^{−1}) · L(s, r′),

wobei r′ eine irreduzible 2-dimensionale Darstellung der Weilgruppe ist, so daß L(1, r′) ≠ 0. Hier bezeichnet θ_{0} die Einschränkung von θ auf I_{Q} und η den der Erweiterung E entsprechenden Charakter. Falls E nicht eindeutig bestimmt ist, so gibt es zwei andere Erweiterungen E′, E′′, so daß

πQ^{0} = π(θ′) = π(θ′′). Es gilt

ωQ^{0} = θ_{0} · η = θ′_{0} · η′ = θ′′_{0} · η′′

und

L_{Q}(s, π, r) = L_{Q}(s, ωQ^{0} · ε · ν^{−1}) · L_{Q}(s, ωQ^{0} · η · ν^{−1}) · L_{Q}(s, ωQ^{0} · η′ · ν^{−1}) · L(s, ωQ^{0} · η′′ · ν^{−1}).

In beiden Fällen hat kein Faktor der rechten Seite eine Nullstelle in s = 1. Somit hat L_{Q}(s, π, r) einen Pol in s = 1, falls ωQ^{0} · ε · ν^{−1} = 1. Da π_{∞} in der diskreten Reihe liegt, ist keine der Erweiterungen E, E′, E′′ gleich F. Der Pol ist daher erster Ordnung. Die erste Aussage von 3.11 ist damit vollständig bewiesen. Wir müssen noch umgekehrt zeigen, daß π ausgezeichnet ist, wenn ein Pol vorliegt. Wir haben ν′ so gewählt, daß

\frac{ν′(x)}{ν′(x̄)} = ω_{π}(x) = ωQ^{0}(x · x̄) · ν′(x^{−2})

oder

ν′(x · x̄) = ωQ^{0}(x · x̄).

Folglich ist ν = ωQ^{0} · ε oder ν = ωQ^{0}. Im ersten Fall ist π ausgezeichnet, im zweiten Fall liegt kein Pol vor.

Es bleibt noch zu zeigen, daß L_{Q}(s, π, r) keine Nullstelle in s = 1 hat, wenn π nicht ausgezeichnet ist. Man sieht unschwer ein, daß

L_{Q}(s, π, r) · L(s, π, r · ε) = L(s, π × π̄).

Rechts steht hier die von Jacquet in [18] betrachtete L-Funktion. Weil ω = 1, ist π unitär. Folglich [12] hat diese Funktion genau dann einen Pol in s = 1, wenn π̄ ∼ π̃, und dieser Pol ist dann erster Ordnung. Sonst ist sie dort analytisch und nicht Null [31]. Es sei ε′ eine Erweiterung von ε auf F^{×}\I_{F}. Dann ist

L(s, π, r · ε) = L(s, π ⊗ ε′, r).

Wenn L(s, π, r) eine Nullstelle in s = 1 hat, so hat L(s, π ⨂ ε′, r) einen Pol in s = 1. Folglich ist π ⨂ ε′ ausgezeichnet, also π̄ ⨂ ε̄′ · ε′ ≅ π̃ und π̄ ∼ π̃, weil ε̄′ · ε′ = 1. Mit den oben erwähnten Tatsachen beendet man jetzt leicht den Beweis.

Beweis von 3.13. Die analytische Fortsetzbarkeit wird mit dem Rankin-Trick wie in [1] bewiesen. Daher werden wir im Beweis uns mehr auf b) konzentrieren.

Wir beginnen mit einer lokal konstanten Funktion G auf L_{∞} ∏_{p} L_{p} mit L_{p} = GL(2, Z_{p}) und setzen sie in eindeutig bestimmter Weise in eine Funktion G(h, s), s ∈ C, auf H(A) fort, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

(I) G(b · h, s) = |\frac{b_{1}}{b_{2}} |^{\frac{s+1}{2}} · G(h, s), falls b = ( \begin{matrix}b_{1} & u \\ 0 & b_{2} \end{matrix} ) ∈ B_{0}(A) und h ∈ L_{∞} ∏_{p} L_{p}.

(II) G(·, s) ist rechtsendlich bezüglich L_{∞} und ∏_{p} L_{p}.

Wir bilden die entsprechende Eisensteinreihe

E(h, 2s − 1) = ∑_{a∈B_{0}(Q)\H(Q)} G(a · h, 2s − 1).

Wenn sie einen Pol in s = 1 hat, ist dies ein Pol erster Ordnung und ihr Residuum eine konstante Funktion in der Variablen h.

Daher ist der Verkettungsoperator nichttrivial genau dann, wenn für ein f aus π die Funktion

Φ : s → ∫_{H(Q)Z(A)\H(A)} f(h) · E(h, 2s − 1)dh

einen Pol in s = 1 hat. Wir haben benutzt, daß π(g)f(h) = f(hg).

Wir führen die üblichen Umformungen durch. Zunächst liefert Vertauschen von Integration and Summation

Φ(s) = ∫_{B_{0}(Q)Z(A)\H(A)} f(h) · G(h, 2s − 1)dh.

Wir wählen einen nichttrivialen Charakter ψ auf F \A_{F} und somit auf N_{0}(F)\N_{0}(A_{F}), der trivial auf A_{Q} ist und entwickeln f in eine Fourierreihe. Weil π cuspidal ist, erhalten wir eine Summe über F^{×} ([13], §3, 5). Wir integrieren zunächst über N_{0}(Q)\N_{0}(A). Wegen der Wahl von ψ verschwinden alle Glieder, die zu einem Element a ∈ F \Q gehören. Den Rest können wir in der Form

(3.13.1)  ∫_{N_{0}(A)Z(A)\H(A)} W (h) · G(h, 2s − 1)dh.

schreiben, wobei W im Whittakermodell von π liegt. Das Integral (3.13.1) ist bei passender Wahl von f und G bis auf einen konstanten Faktor ein Produkt von lokalen Integralen.

(3.13.2)  Φ_{p}(s) =  ∫_{N_{0}(Q_{p})Z(Q_{p})\H(Q_{p})} W_{p}(h) · G_{p}(h, 2s − 1)dh.

Die unendliche Stelle ist zugelassen. Diese Integrale wollen wir einzeln untersuchen. Aus der Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der Funktion W_{p} ([13], §3, 4) folgt leicht, daß das Integral für Re s > 0 konvergiert. In diesem Gebiet ist Φ_{p} analytisch.

Mit der Iwasawazerlegung können wir schreiben

Φ_{p}(s) = ∫_{Q_{p}^{×}} |t|^{s−2} ∫_{L^{p}} W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · l) · G(l)dl dt.

Zunächst sei p unendlich, so daß π_{p} in der diskreten Reihe liegt. Das Whittakermodell von π_{p} ist das Tensorprodukt von zwei Whittakermodellen von GL(2, R). Folglich [13] gibt es eine Funktion W_{p}, die invariant under L_{∞} ist, und so daß

W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ) = \{ \begin{matrix}t_{1}^{k_{1}} · t_{2}^{k_{2}} · e^{−2π(t_{1}+t_{2})}, falls t = (t_{2}, t_{2}) mit t_{1} > 0, t_{2} > 0, \\ 0, sonst. \end{matrix}

Dabei ist k_{1} ≧ 1, k_{2} ≧ 1. Somit ist bis auf eine Konstante

Φ_{p}(s) = ∫_{0}^{∞}t^{k_{1}+k_{2}+s−2} · e^{−t}dt = Γ(k_{1} + k_{2} + s − 1).

Insbesondere ist Φ_{p}(1) ≠ 0. Wenn p endlich ist, können wir W_{p} so wählen, daß

W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) )

eine beliebige vorgegebene Schwartz-Bruhat-Funktion auf F_{p}^{×} ist. Weil W_{p} lokal konstant ist und G(l) eine beliebige Funktion auf B_{0}(Z_{p})\GL(2, Z_{p}), können wir annehmen

∫_{L_{p}} W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · l) · G(l)dl = W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ).

Bei zweckmäßiger Wahl von W_{p} ist Φ_{p}(1) ≠ 0. Das folgende Lemma beendet den Beweis.

3.14 Lemma. Es sei p endlich und π_{p} eine unverzweigte Darstellung mit ω_{π_{p}}|Q_{p}^{×} = 1. Es sei W_{p} unter GL(2, 𝒪_{F_{p}}) invariant und G(·, 2s − 1) unter L_{p} invariant. Dann ist bis auf eine nichtverschwindende Konstante

Φ_{p}(s) = \frac{L(s, π_{p}, r)}{L(2s, 1)}.

Die Konstanten sind belanglos, sie hängen zum Beispiel von der Wahl der Maße ab. Ihr Produkt konvergiert. Mit unseren Voraussetzungen ist, abgesehen von einer Konstanten,

Φ_{r}(s) = ∫_{Q_{p}^{×}} W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ) · |t|^{s−2}dt.

Wenn p nicht zerfällt, ist dieses Integral bis auf eine Konstante gleich

∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{p^{n(s−1)}} = \frac{1}{(1 − \frac{α}{p^{s}}) · (1 − \frac{β}{p^{s}})}, a_{n} = W_{p}( ( \begin{matrix}p^{n} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ),

wobei ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & β \end{matrix} ) ∈ GL(2, C) die der Darstellung π_{p} der Gruppe GL(2, F_{p}) entsprechende Konjugationsklasse ist. Die Gleichheit folgt aus der Hecketheorie ([19], S. 75, 106). Andererseits berechnet man leicht

L(s, π_{p}, r) = \frac{1}{(1 − \frac{α}{p_{s}}) · (1 − \frac{αβ}{p^{2s}}) · (1 − \frac{β}{p^{s}})}.

Die Behauptung folgt für diesen Fall, weil nach Voraussetzung αβ = 1.

Wenn p zerfällt, so ist

W_{p}( ( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ) = a′_{n_{1}} · a′′_{n_{2}},

falls t = (p^{n_{1}}, p^{n_{2}}), n_{1} ≧ 0, n_{2} ≧ 0. Das Integral ist gleich

(3.14.1)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{a′_{n} · a′′_{n}}{p^{n(s−1)}} .

Es sei π_{p} = π′_{𝔭′} ⊗ π′′_{𝔭′}, wobei π′_{𝔭′} ∼ ( \begin{matrix}α′ & 0 \\ 0 & β′ \end{matrix} ) und π′′_{𝔭′′} ∼ ( \begin{matrix}α′′ & 0 \\ 0 & β′′ \end{matrix} ). Die Hecketheorie liefert

wieder

\begin{matrix}∑_{n=0}^{∞} \frac{a′_{n}}{p^{n(s− \frac{1}{2} )}} = \frac{1}{(1 − \frac{α′}{p^{s}}) · (1 − \frac{β′}{p^{s}})}, \\ ∑_{n=0}^{∞} \frac{α′′_{n}}{p^{n(s− \frac{1}{2} )}} = \frac{1}{(1 − \frac{α′′}{p^{s}}) · (1 − \frac{β′′}{p^{s}})}. \end{matrix}

Aus der erfrischenden Übungsaufgabe auf S. 33 in [18] erhalten wir, daß (3.14.1) gleich ist zu

\frac{1 − \frac{α′α′′β′β′′}{p^{2s}}}{(1 − \frac{α′α′′}{p^{s}}) · (1 − \frac{α′β′′}{p^{s}}) · (1 − \frac{β′α′′}{p^{s}}) · (1 − \frac{β′β′′}{p^{s}})} = \frac{L(s, π_{p}, r)}{L(2s, 1)},

weil α′α′′β′β′′ = 1. q.e.d.

Wir beenden diesen Abschnitt mit den Beweisen der Sätze 3.9 und 3.10. Beide Sätze sind für zerfallendes p bereits bewiesen.

Beweis von 3.10. Falls π_{p} ausgezeichnet (bezüglich 1) ist, so folgt ω_{π_{p}}|Q_{p}^{×} = 1 und π̄_{p} ≅ π̃_{p}. Wir betrachten zunächst den Fall, daß π_{p} = π(μ, ν) in der Hauptreihe oder π_{p} = σ(μ, ν) speziell ist. Falls π_{p} in der Hauptreihe liegt, so haben obige Relationen die Gültigkeit einer der beiden folgenden Bedingungen zur Folge:

a) μ_{0} · ν_{0} = 1 und π(μ̄, ν̄) = π(μ^{−1}, ν^{−1}),

b) μ_{0} · ν_{0} = 1 und π(μ̄, ν̄) = π(ν^{−1}, μ^{−1}).

Falls π_{p} speziell ist, so gilt b). Wir nehmen zuhächst an, daß a), aber nicht b) gilt. Weil π_{p} ausgezeichnet ist, π_{p} = π_{p}^{0} ⊗ λ^{−1}, ist die Darstellung, deren Liftung π_{p}^{0} ist, von der Form π(μ^{0}, ν^{0}) oder π(θ), wobei im ersten Fall λ|Q_{p}^{×} = μ^{0}ν^{0}·ε_{p} und μ(x) = μ^{0}(x·x̄)·λ(x^{−1}), ν(x) = ν^{0}(x·x̄)·λ(x^{−1}), also μ · ν̄ = 1, was ausgeschlossen ist. Im zweiten Fall ist θ · λ^{−1}|Q_{p}^{×} = 1, also μ_{0} = ν_{0} = 1. Aber dann ist offensischtlich d(π_{p}) > 0.

Im weiteren dürfen wir also annehmen, daß b) gilt. Wir verwenden die im Beweis von 3.8 eingeführten Bezeichnungen. Wir müssen ein nichttriviales Element L aus

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ′(μ, ν), 1)

auf ρ(μ, ν) erweitern, und zwar so, daß diese Linearform unter GL(2, Q_{p}) invariant ist und, im Falle der speziellen Darstellung π_{p} = σ(μ, ν), die wir als Untermodul von ρ(μ, ν) auffassen, ein nichttriviales Element aus Hom_{GL(2,Q_{p})}(σ(μ, ν), 1) induziert. Wir deuten den Beweis nur an.

Wir teilen durch den Kern von L und erhalten eine exakte Sequenz

0 → 1 → ρ′′ → ρ(μ_{0}α0^{\frac{1}{2}} , ν_{0}α_{0}^{− \frac{1}{2}} ) → 0.

Wir wenden den Jacquet-Funktor an, der einer Darstellung von GL(2, Q_{P}) den größten Quotienten, auf dem N_{0}(Q_{p}) trivial operiert, zuordnet. Auf diesem Quotienten operiert M_{0}(Q_{p}) = B_{0}(Q_{p})/N_{0}(Q_{p}). Nach dem Reziprozitätsgesetz von Casselman [9] gilt

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ′′, ρ(α_{0}^{− \frac{1}{2}} , α0^{\frac{1}{2}} )) = Hom_{M_{0}(Q_{p})}(ρ′′_{N}, 1).

Die in ρ′′_{N} auftretenden Charaktere sind (1, 1), (μ_{0}·α_{0}, ν_{0}·α_{0}^{−1}), (μ_{0}, ν_{0}). Wir können annehmen, daß (μ_{0}, ν_{0}) ≠ (1, 1), sonst wären wir im eben erledigten Fall. Indem wir notfalls μ und ν vertauschen, können wir annehmen, daß (μ_{0}α_{0}, ν_{0}α_{0}^{−1}) ≠ (1, 1) und (μ_{0}α_{0}, ν_{0}α_{0}^{−1}) ≠ (α_{0}^{−1}, α_{0}). Wegen der ersten Ungleichheit gibt es genau ein Element L′′ aus

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ′′, ρ(α_{0}^{− \frac{1}{2}} , α0^{\frac{1}{2}} )),

das L induziert. Hier deuten wir den trivialen Modul als Untermodul von ρ(α_{0}^{− \frac{1}{2}} , α0^{\frac{1}{2}} ). Wegen der zweiten Ungleichung ist (α_{0}^{−1}, α_{0}) kein Charakter von ρ′′_{N}, und das Reziprozitätsgesetz liefert

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ′′, ρ(α0^{\frac{1}{2}} , α_{0}^{− \frac{1}{2}} )) = 0.

Daher liegt das Bild von L′′ im trivialen Untermodul. Damit ist die Behauptung für π_{p} = π(μ, ν) bewiesen.

Falls π_{p} = σ(μ, ν) ist, so ist L′′ genau dann auf σ(μ, ν) trivial, wenn es einen GL(2, Q_{p})- Homomorphismus des 1-dimensionalen Quotienten ρ(μ, ν)/σ(μ, ν) auf den trivialen Modul gibt. Das bedeutet μ_{0} = α_{0}. Aber π_{p} = π_{p}^{0} ⊗ λ^{−1} ist ausgezeichnet, und π_{p}^{0} ist die Liftung einer speziellen Darstellung σ(μ^{0}, ν^{0}). Dabei ist \frac{μ}{ν} = α, \frac{μ^{0}}{ν^{0}} = α_{0} und damit μ(x) = μ^{0}(x · x̄) · λ^{−1}(x). Folglich ist für x ∈ Q_{p}^{×}

μ_{0}(x) = μ^{0}(x^{2}) · μ^{0}(x^{−1}) · ν^{0}(x^{−1}) · ε_{p}(x) = α_{0}(x) · ε_{p}(x).

Um die Behauptung von 3.10 für supercuspidale π_{p} zu zeigen, genügt es wegen 3.11 nachzuweisen, daß π_{p} lokaler Bestandteil einer ausgezeichneten globalen cuspidalen Darstellung ist.

Der Einfachheit halber sei ω_{p} = 1. Es sei π_{p} = π_{p}^{0} ⊗ λ_{p}^{−1}, wobei die Einschränkung von λ_{p} auf Q_{p}^{×} das Produkt ist von ε_{p} und dem Zentrumscharakter der Darstellung πQ_{p}^{0}, deren Liftung π^{0} ist. Nach [24] existiert eine cuspidale Darstellung πQ^{0} mit lokaler Komponente πQ_{p}^{0}, die im Unendlichen in der diskreten Reihe liegt. Wir können einen Größencharakter λ finden, der auf I_{Q} gleich ωQ^{0} · ε ist und auf F_{p}^{×} gleich λ_{p}. Wir setzen π = π^{0} ⊗ λ^{−1}, wobei π^{0} die Liftung von πQ^{0} ist. q.e.d.

Beweis von 3.9. Wir nehmen an, daß π_{p} = σ(μ, ν) ein Quotient von ρ(μ, ν) ist. Dann folgt aus d(π_{p}) > 0, daß

Hom_{GL(2,Q_{p})}(ρ(μ, ν), 1) ≠ 0.

Somit ist μ_{0} = ν_{0} = 1 oder μ·ν̄ = 1, also μ·ν̄ = 1. Weil \frac{μ}{ν} = α folgt daher μ_{0} = α_{0} oder μ_{0} = α_{0}·ε_{p}. Aber aus dem vorletzen Absatz des vorhergehenden Beweises folgt, daß, falls d(σ(μ, ν)) > 0 notwendigerweise gilt, μ_{0} = α_{0} · ε_{p}. Somit existiert die Darstellung σ(1, μ_{0}^{−1} · ε_{p}), und falls π_{p}^{0} ihre Liftung ist, so ist σ(μ, ν) ≅ π_{p}^{0} ⊗ μ ausgezeichnet. q.e.d.

§4. TATE-KLASSEN

Die Hauptaufgabe dieses Abschnitts besteht in dem Beweis des folgenden Satzes, der dem Satz 2.8 b) entspricht. 4.1 Satz. Es sei π ∈ Coh_{0}(μ) und n = n(μ). Es sei ω ein Charakter endlicher Ordnung auf Gal(Q̄/Q). Dann ist t(π, ω) = 0 oder 1 und t(π, ω) = 1 genau dann, wenn π ausgezeichnet bezüglich α^{−n}ω^{−1} ist.

Die Bemerkungen 2.4.1 und 2.7.1 zeigen uns, daß wir uns auf den Fall ω = 1 zurückziehen können. Wir wollen daher annehmen, daß ω = 1 und setzen t(π) = t(π, 1).

Unser entscheidendes Instrument bei der Untersuchung der Galoisdarstellung

ρ(π) : Gal(Q̄/Q) → GL(X(π_{f}))

besteht in der auf Oda zurückgehenden Beobachtung, daß man mit Hilfe des Cup-Produktes auf der Kohomologie eine quadratische Form auf X(π_{f}) erhält, und daß man dann eine Reduktion der Operation der Galoisgruppe auf eine Gruppe von Ähnlichkeiten erhält. Auf diese Gruppe von Ähnlichkeiten lassen sich dann die Methoden von Ribet [28] und Serre [29] anwenden. 4.2. Um die oben genannte quadratische Form zu konstruieren, erinnern wir uns zunächst an die Konstruktion der l-adische Garben 𝒱 auf S̄_{K}. Wir gehen von einer über Q definierten rationalen Darstellung

μ : G/Q → GL(𝒱_{μ})

aus. Auf G/Q = R_{F/Q}(GL(F)) betrachten wir die eindimensionale Darstellung

𝒟(n) : G/Q → G_{m}/Q,

die auf den Q-rationalen Punkten durch

x → N_{F/Q}(det(x))^{n}

gegeben ist. Dann gibt es bekanntlich eine nichtentartete Paarung

𝒱_{μ} × 𝒱_{μ} → 𝒟(n)

zwischen unseren Darstellungsmoduln. Diese Paarung liefert uns natürlich eine Paarung zwischen den l-adischen Garben auf S̄_{K}/Q

𝒱 × 𝒱 → 𝒟(n).

Dabei sind 𝒱 und 𝒟(n) wieder die in 1.8 zitierten intermediären Erweiterungen der auf S_{K}/Q konstruierten Garben. Dann liefert uns das Cup-Produkt eine nichtentartete symmetrische Paarung

H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱) × H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒱) → H^{4}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄, 𝒟(n)).

(Bemerkung: Mit Hilfe der in 1.8 formulierten Resultate läßt sich diese Dualität auch leicht auf die Dualität

H^{2}(S_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒱) × H_{c}^{2}(S_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒱) → H_{c}^{4}(S_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒟(n))

zurückführen.)

Wir zerlegen nun die Kohomologie in isotypische Komponenten bezüglich der Operation von G(A_{f}), und wir bekommen dann eine nichtentartete Paarung

H^{2}(S̄_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒱)(π_{f}) × H^{2}(S̄_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒱)(π_{f}) → H^{4}(S̄_{K}_{Q^{×}}Q̄, 𝒟(n))(ω_{π_{f}} ∘ det).

Dabei ist natürlich ω_{π} der zentrale Charakter von π. Diese Behauptung ist eine ziemlich offensichtliche Konsequenz aus der Tatsache, daß H^{4}(S̄_{k} ×_{Q} Q̄, 𝒟(n)) unter G(A_{f}) in eindimensionale isotypische Komponenten der Form λ ∘ det zerfällt, der oben behaupteten Dualität zwischen den ganzen Moduln und der Formel π̃ = π ⊗ ω_{π}^{−1}. Nun operiert die Galoisgruppe Gal(Q̄/Q) auf dem Modul H^{4}(S̄_{k} ×_{Q} Q̄, 𝒟(n))(ω_{π_{f}} ∘ det). Diese Galoisgruppenoperation haben wir schon in 1.10 bestimmt; sie wird gegeben durch die Operation der Galoisgruppe Gal(Q̄/Q) auf den Komponenten von S_{K} Q^{×} Q̄, und diese Operation ist durch das folgende Diagramm bestimmt:

I_{Q}/Q^{×}  ⟶  I_{F} /F^{×}
↓  ↓
Gal(Q̄/Q)^{ab}  π_{0}(S_{K} Q^{×} Q̄).

Dann sieht man also, weil 𝒟(n) auf den Komponenten die triviale Garbe ist, daß als Galoismodul

H^{4}(S̄_{K} Q^{×} Q̄, 𝒟(n))(ω_{π_{f}} ∘ det) = Q̄_{l}(χ_{π} · α^{−2})

ist, wobei χ_{π} = ω_{π}|I_{Q}, interpretiert als Charakter der Galoisgruppe. Man sollte noch bemerken, daß auf Grund der Definition der Zahl n die Einschränkung von ω_{π} auf die Einskomponente Z(R)^{0} des Zentrums von G(R) gleich der Einschränkung von α_{F}^{−n} ist, also ist ω_{π} = α_{F}^{−n} · ω̃_{π} mit einem Dirichletcharakter ω̃_{π}, und entsprechend ist also χ_{π} = αQ^{−2n} · χ̃_{π}. Somit bekommen wir eine galoisinvariante Paarung

q : X(π_{f}) × X(π_{f}) → Q̄_{l}(α^{−2} · χ_{π}) = Q̄_{l}(α^{−2−2n} · χ̃_{π}).

Es gilt also für σ ∈ Gal(Q̄/Q), x, y ∈ X(π_{f})

q(ρ(π)(σ)x, ρ(π)(σ)y) = χ_{π}α^{−2}(σ)q(x, y),

d.h. has Bild der Galoisgruppe unter ρ(π) liegt in der algebraischen Untergruppe

GO(q) ⊂ GL_{4}

der Ähnlichkeiten. Dieser Gruppe wollen wir im nächsten Abschnitt ein wenig Aufmerksamkeit zuwenden. 4.3. Es sei im folgenden k ein algebraisch abgeschlossener Körper (der Charakteristik 0). Es sei E ein 4-dimensionaler Vektorraum mit einer nichtentarteten symmetrischen bilinearen Form q : E × E → k. Dann ist die Gruppe GO(E, q) die Gruppe der Ähnlichkeiten

GO(E, q) = {g ∈ GL(E)|q(gx, gy) = λ(g)q(x, y)}.

Die Gruppe GO(E, q) ist eine algebraische Gruppe, und λ : GO(E, q) → G_{m} ist ein Character auf GO(E, q); man nennt ihn den Multiplikator. Wir wollen die Gruppe GO(E, q) auf eine ganz bestimmte Weise realisieren. Wir wählen einen zweidimensionalen Raum Y/k, und darauf wählen wir eine Determinantenform

det : Y × Y → k.

Diese Form benutzen wir, um wie üblich zu identifizieren

Y ˜→Y̆ = Hom(Y, k), y → l_{y} : x → det(x, y)

und

\begin{matrix}Y ⊗ Y ˜→ Y ⊗ Y̆ = End (Y), \\ x ⊗ y → x ⊗ l_{y} → \{z → l_{y}(z) · x = det(z, y) · x\}. \end{matrix}

Mit ϕ → ^{T}ϕ bezeichnen wir die Transpositionsabbildung auf End(Y) bezüglich der Determinantenform. Es ist also ϕ^{T}ϕ = ^{T}ϕϕ = det(ϕ). Es gilt dann, daß diese Transposition auf Y ⊗ Y die Abbildung x ⊗ y → −y ⊗ x induziert. Wir setzen jetzt E = End(Y) und wählen darauf die symmetrische Form

q(ϕ, ψ) = Spur(ϕ^{T} ψ)

und betrachten dies als konkrete Realisierung unserer eingangs vorgegebenen Daten.

Die Gruppe GO(E, q) hat zwei Zusammenhangskomponenten, es sei SGO(E, q) die Einskomponente. Wir haben einen Morphismus d̃: GO(E, q) → μ_{2}, der durch g → det(g)/λ(g)^{2} gegeben ist. Dann ist SGO(E, q) = Ker(d̃).

Wir haben nun den bekannten Morphismus

Π : GL(Y) × GL(Y) → SGO(E, q), Π : (α, β) → {ϕ → α · ϕ ·^{T} β},

und dies liefert uns ein Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} SGO(E, q)  ^{λ}  ^{G^{m}} GL(Y) × GL(Y)^{Π}  ^{det×det} (4.3.1)

Der Kern von Π ist G_{m}, wobei G_{m} durch x → (x, x^{−1}) in GL(Y) × GL(Y) eingebettet ist, und die Abbildung Π ist surjektiv (in welchem Sinn man es auch immer verstehen möchte). Als Vertreter von GO(E, q)/SGO(E, q) wählen wir das Element

Θ : ϕ → −^{T} ϕ.

4.4. Wir wollen jetzt wieder k = Q̄_{l} wählen, und X(π_{f}) zusammen mit der Form q sei mit E = End(Y) und Spur(ϕ ·^{T} ψ) identifiziert.

Wir haben die Abbildung d̃∘ ρ(π) von Gal(Q̄/Q) nach μ_{2}. Den Morphismus d̃ haben wir als det · λ^{−2} beschrieben. Wir sehen dann auf Grund unserer Formeln für ρ(π)(Φ_{p}^{−1}) in §2, Satz 2.4, daß d̃∘ ρ(π) gerade die Abbildung

Gal(Q̄/Q) → Gal(F/Q) = μ_{2}

ist.

Es gilt nun

4.4.1 Lemma. Es gibt eine Liftung von ρ(π)|Gal(Q̄/F) nach GL(Y) × GL(Y), d.h. es gibt ein Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  μ_{2} GO(E, q) d̃ ∼ ρ(π) : Gal(Q̄/Q) Gal(F/Q)  ^{Π} SGO(E, q) GL(Y) × GL(Y),^{ρ_{1}(π)×ρ_{2}(π)} ρ(π)_{F} : Gal(Q̄/F)

wobei wir die zusätzliche Forderung stellen können, daß

\begin{aligned}detρ_{1}(π)(σ) & = α^{−n−1}(σ)η(σ), \\ detρ_{2}(π)(σ) & = α^{−n−1}(σ)η′(σ) \end{aligned}

mit Galoischarakteren η, η′ von endlicher Ordnung.

Beweis. Wir können die Galoisoperation auf dem Raum E mit α^{n+1} twisten. Dann bekommen wir eine getwistete Form

q̃: Ẽ × Ẽ → Q̄_{l}(χ̃_{π}),

wobei χ̃_{π} der oben eingeführte Galoischarakter endlicher Ordnung ist. Wenn wir die Operation ρ(π) nun auf eine offene Untergruppe Gal(Q̄/K) einschränken, dann landet das Bild in einer offenen Umgebung der 1 in der speziellen orthogonalen Gruppe SO(Ẽ, q̃). Nun ist aber

Π : SL(Ỹ) × SL(Ỹ) → SO(Ẽ, q̃)

lokal ein Isomorphismus. Das heißt also, daß wir die Einschränkung von ρ(π) auf Gal(Q̄/K) liften können. Dann folgt die Behauptung für die Operation auf Ẽ aus dem Satz von Tate über die Trivialität des Schurschen Multiplikators der Galoisgruppe (siehe [30], §6). Wenn wir wieder mit α^{−n−1} zurücktwisten, bekommen wir die Behauptung des Lemmas.

Es gibt einige formale Informationen über die Darstellungen ρ_{1}(π), ρ_{2}(π), die wir hier zusammenstellen wollen. 4.4.2. a) Die Darstellungen ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) sind zunächst durch die an sie gestellen Bedingungen nicht eindeutig bestimmt. Wir können beide mit einem Paar zueinander inverser Charaktere endlicher Ordnung twisten, d.h.

\begin{matrix}ρ_{1}(π) → ρ_{1}(π) ⊗ ν = ρ′_{1}(π), \\ ρ_{2}(π) → ρ_{2}(π) ⊗ ν^{−1} = ρ′_{2}(π) \end{matrix}

und bekommen ein zweites Diagramm wie in 4.4.1. Das ist aber auch die einzig mögliche Modifikation.

b) Der Multiplikator ist gleich λ∘ρ(π) = χ̃_{π} ∘α^{−2n−2}, wobei χ̃_{π} ∘α^{−2n} = ω_{π}|I_{Q}. Daraus folgt, daß für σ ∈ Gal(Q̄/F):

χ̃_{π}(σ) · α^{−2n−2}(σ) = α^{−1} ∘ ω_{π} ∘ N_{F/Q}(σ) = det ρ_{1}(π)(σ) · det ρ_{2}(π)(σ).

Dabei ist ω_{π} ∘N_{F/Q} der durch die Norm I_{F} ^{⟶^{N_{F/Q}}} I_{Q} und den Reziprozitätsisomorphismus induzierte l-adische Charakter auf Gal(Q̄/F), d.h. ω_{π}∘N_{F/Q}(σ) = ω_{π}(σ·θσθ^{−1}), wenn θ ∈ Gal(Q̄/Q), θ|F ≠ 1. 4.4.3. Wir schreiben für g ∈ SGO(E, q)

g ∼ g_{1} × g_{2},

falls Π(g_{1} × g_{2}) = g. Dann folgt durch einfache Rechnungen, daß für unser Element θ

ρ(π)(θ) = (1 × A) · Θ,

wobei Θ der oben gewählte Vertreter ist (nach Konjugation). Dann ist

ρ(π)(θ^{2}) ∼ (A × A) ∼ (ρ_{1}(π)(θ^{2}) × ρ_{2}(π)(θ^{2})).

Dann ist also

A = ζρ_{1}(π)(θ^{2}) = ζ^{−1}ρ_{2}(π)(θ^{2}).

Dadurch ist ζ aber nur bis auf ein Vorzeichen festgelegt. Eine leichte Rechnung, die auch die Wahl des Vorzeichens in der Definition von Θ erklärt, zeigt

Spur ρ(π)(θ) = Spur (A) = ζ Spur ρ_{1}(π)(θ^{2}).

4.4.4. Die Gleichung

ρ(π)(θσθ^{−1}) = ρ(π)(σ^{θ}) = ρ(π)(θ)ρ(π)(σ)ρ(π)(θ)^{−1}

liefert uns für σ ∈ Gal(Q̄/F) die Gleichung

ρ_{1}(π)(σ^{θ}) × ρ_{2}(π)(σ^{θ}) ∼ ρ_{2}(π)(σ) × Aρ_{1}(π)(σ)A^{−1}.

Es gibt also einen Galoischarakter ν auf Gal(Q̄/F) von endlicher Ordnung mit

\begin{matrix}ρ_{2}(π)(σ) = ρ_{1}(π)(σ^{θ}) · ν(σ), \\ ρ_{1}(π)(σ) = A^{−1}ρ_{2}(π)(σ^{θ})A · ν(σ)^{−1}. \end{matrix}

Wenn wir in diese Gleichung σ = θ^{2} einsetzen, bekommen wir

ρ_{2}(π)(θ^{2}) = ρ_{1}(π)(θ^{2}) · ν(θ)^{2}

und damit

A = ±ν(θ)ρ_{1}(π)(θ^{2}) = ±ν(θ)^{−1}ρ_{2}(π)(θ^{2}).

Außerdem können wir noch die eine Gleichung in die andere einsetzen und erhalten eine Bedingung an ν, nämlich

ν(σ^{θ}) = ν(σ).

Wenn wir dies über den Reziprozitätsisomorphismus auf der Ideleklassengruppe interpretieren und ausnutzen, daß die Elemente der Form x/x^{θ} gerade die Elemente der Norm 1 sind, so folgt, daß wir schreiben können

ν = η · η^{θ},

und wenn ρ′_{1} = ρ_{1} ⊗ η, ρ′_{2} = ρ_{1} ⊗ η^{−1}, dann bekommen wir

ρ_{1}(π)(σ) × ρ_{2}(π)(σ) ∼ ρ′_{1}(π)(σ) × ρ′_{2}(π)(σ)

und

ρ′_{2}(π)(σ) = ρ′_{1}(π)(σ^{θ}).

4.4.5. Wir wollen jetzt umgekehrt von einer Darstellung

ρ_{1} : Gal(Q̄/F) → GL(Y)

ausgehen und setzen

ρ_{2}(σ) = ρ_{1}(σ^{θ}).

Dann bekommen wir mit dem Ansatz

ρ(ρ_{1}, A)(σ) = Π · (ρ_{1}(σ) × ρ_{2}(σ))

und

ρ(ρ_{1}, A)(θ) = (1 × A) · Θ

eine Darstellung ρ(ρ_{1}, A) von Gal(Q̄/Q) in GO(E, q), so daß wir ein Diagramm wie in 4.4.1 erhalten. Dabei können wir A = ±ρ_{1}(θ^{2}) wählen, d.h. wir haben zwei Möglichkeiten, die Fortsetzung ρ zu konstruieren. Nun haben wir zwei Fälle:

1. Es ist für jede Wahl von θ

Spur (ρ_{1}(θ^{2})) = 0.

Dann liefern beide Fortsetzungen äquivalente Darstellungen.

2. Es gibt ein θ mit Spur (ρ_{1}(θ^{2})) ≠ 0, dann haben wir eine privilegierte Fortsetzung nämlich diejenige mit

Spur ρ((ρ_{1}, A)(θ)) = Spur (A) = Spur ρ_{1}(θ^{2}).

Dann gilt in beiden Fällen

Spur ρ((ρ_{1}, A)(θ)) = Spur (A) = Spur ρ_{1}(θ^{2}).

4.5. Wir kommen nun zu den weniger formalen Aspekten der vorliegenden Situation. Es ist eine allgemein akzeptierte Vermutung, daß es zu einer beliebigen cuspidalen Form π ∈ Coh_{0}(μ) eine λ-adische Darstellung

τ(π) : Gal(Q̄/F) → GL_{2}(Q̄_{l})

gibt, so daß für fast alle Primstellen von F gilt

L_{v}(s, τ(π)) = L_{v}(s − \frac{1}{2}, π),

wobei rechts die gewöhnliche L-Funktion zu der automorphen Form π steht (d.h. die zur natürlichen Darstellung der L-Gruppe GL_{2}(C) von GL_{2}/F gehörige L-Funktion). Es scheint ein sehr schwieriges und wichtiges Problem zu sein, die Existenz von τ(π) nachzuweisen. Natürlich zielt die in 4.4 durchgeführte Konstruktion in diese Richtung, aber sie ist viel zu formal, um einen entscheidenden Schritt darzustellen. Wir erwarten durchaus, daß τ(π) bis auf einen Twist gleich einer der beiden Darstellungen ρ_{1}(π) oder ρ_{2}(π) ist. Die Existenz von τ(π) würde den ganzen vorliegenden Abschnitt wesentlich vereinfachen. 4.5.1. Wir können die Darstellung von GO(E, q) auf der zweiten äußeren Potenz Λ^{2}E von E betrachten. Dann zerfällt bekanntlich Λ^{2}E in zwei dreidimensionale Vektorräume

Λ^{2}E = Y′ ⊕ Y′,

und wir erhalten ein Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} GL(Y′) × GL(Y′)^{Π} GL(Y) × GL(Y). SGO(E, q)  ^{Ψ}^{Λ^{2}}

Dabei ist Ψ die folgende Darstellung. Wir betrachten wieder die natürliche dreidimensionale Darstellung

r_{2} : GL(Y) → GL_{3}(Q̄_{l})

auf dem Raum der symmetrischen 2-Tensoren, Dann kann Y′ mit diesem Raum der symmetrischen 2-Tensoren identifiziert werden, und es ist für (g_{1}, g_{2}) ∈ GL(Y) × GL(Y)

Ψ(g_{1}, g_{2}) = (r_{2}(g_{1})det(g_{2}), r_{2}(g_{2})det(g_{1})).

Wir setzen

Ψ ∘ (ρ_{1}(π) × ρ_{2}(π)) = ρ̃_{1}(π) × ρ̃_{2}(π) = Λ^{2}ρ(π).

Wie in §3 können wir die Darstellung r_{2} auch als Darstellung der L-Gruppe

GL_{2}(C) × Gal(Q̄/F)

von GL_{2}/F interpretieren und die dieser Darstellung r_{2} zugehörige L-Funktion L(s, π, r_{2}) studieren. Dies ist die gleiche L-Funktion wie die in der Einleitung zu [12], wenn man dort einen geeigneten Charakter χ wählt. Jetzt gilt 4.5.2 Hilfssatz. Es sei π ∈ Coh_{0}(μ) und π′ = π^{θ} die konjugierte Form. Dann ist für fast alle Stellen v von F

L_{v}(s − 2, π, r_{2} · ω_{π′}) · L_{v}(s − 2, π′, r_{2} · ω_{π}) = L_{v}(s, ρ̃_{1}(π)) · L_{v}(s, ρ̃_{2}(π)).

Beweis. Wenn u ∈ SGO(E, q) ein halbeinfaches Element ist, so liegt u in einem maximalen Torus T, der durch eine Basis e_{1}, e_{2}, f_{1}, f_{2} von E definiert ist, wobei

q(e_{1}, f_{1}) = q(e_{2}, f_{2}) = 1

und alle anderen Skalarprodukte verschwinden. Dann ist

ue_{i} = ξ_{i}e_{i}, uf_{i} = η_{i}f_{i},

wobei ξ_{1}η_{1} = ξ_{2}η_{2} = λ(u) und λ der Multiplikator ist. Dann sind die beiden Eigenwerttripel von Λ^{2}(u) auf Λ^{2}E

(ξ_{1}η_{2}, ξ_{1}η_{1}, ξ_{2}η_{1}) und (ξ_{1}ξ_{2}, ξ_{1}η_{1}, η_{1}η_{2}).

(Das Produkt der äußeren Eigenwerte muß das Quadrat des mittleren sein.)

Ist nun v eine Stelle von F, an der F, π und ρ̄_{1}(π), ρ̄_{2}(π) unverzweigt sind, dann ist der halbeinfache Anteil von ρ(π)(Φ_{v}^{−1}) in 2.4 beschrieben. Falls v = 𝔭 mit 𝔭𝔭′ = p𝒪, dann ist dieser halbeinfache Anteil

ρ(π)(Φ_{𝔭}^{−1}) ∼ p · ( \begin{matrix}α_{𝔭}α_{𝔭′} & & & 0 \\ & β_{𝔭}α_{𝔭′} \\ & & α_{𝔭}β_{𝔭′} \\ 0 & & & β_{𝔭}β_{𝔭′} \end{matrix}  ) .

Es ist

λ(ρ(π)(Φ_{𝔭}^{−1})) = p^{2} · ω_{π}(ϖ_{𝔭}) · ω_{π}(ϖ_{𝔭}) = ω ∘ N_{F/Q}(ϖ_{𝔭}) = p^{2} · α_{𝔭}β_{𝔭}α_{𝔭′}β_{𝔭′}

und denn folgt: die Eigenwerte in den beiden GL_{3}-Faktoren sind

p^{2} · (α_{𝔭}^{2}α_{𝔭′}β_{𝔭′}, α_{𝔭}β_{𝔭}α_{𝔭′}β_{𝔭′}, β_{𝔭}^{2}α_{𝔭′}β_{𝔭′})

und

p^{2} · (α_{𝔭′}^{2}α_{𝔭}β_{𝔭}, α_{𝔭}β_{𝔭}α_{𝔭′}β_{𝔭′}, β_{𝔭′}^{2}α_{𝔭}β_{𝔭}).

Das beweist den Hilfssatz für zerfallende Primstellen. Für die trägen Primstellen 𝔓 kann man ganz entsprechend argumentieren, wobei man berücksichtigen muß, daß Φ_{p}^{2} = Φ_{𝔓}.

Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Bemerkung. Wir wissen nicht, ob ρ̃_{1}(π) und ρ̃_{2}(π) kompatible l-adische Systeme sind.

Wir wollen den Hifssatz 4.5.2 noch ein wenig modifizieren. Wenn wir die Darstellungen ρ̃_{1}(π) und ρ̃_{2}(π) mit dem Galoischarakter

α^{2} · (ω_{π} ∘ N_{F/Q})^{−1}

twisten, dann erhalten wir zwei Darstellungen ρ_{1}^{∗}(π), ρ_{2}^{∗}(π), die wir auch aus dem Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} GL(Y)  GL_{3}(Q̄_{l}) P GL(Y) ^{Ad}

gewinnen. Die Eigenwerttripel sind dann

(α_{𝔭}/β_{𝔭}, 1, β_{𝔭}/α_{𝔭}) und (α_{𝔭′}/β_{𝔭′}, 1, β_{𝔭′}/α_{𝔭′}).

Auf der linken Seite von 4.5.2 können wir dieselbe Konstruktion mit der L-Gruppe ausführen, wir erhalten

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} GL_{2}(C)  ^{\overline{r_{2}}}  GL_{3}(C) P GL_{2}(C), ^{Ad}

und dann wird 4.5.2 äquivalent zu

(4.5.2′)  L_{v}(s, π, r̄_{2}) · L_{v}(s, π′, r̄_{2}) = L_{v}(s, ρ_{1}^{∗}(π)) · L_{v}(s, ρ_{2}^{∗}(π)).

An dieser Stelle möchten wir bemerken, daß

L_{v}(s, π, r̄_{2}) = L_{2}(s, σ, 1)

in der Notation von [12], Einleitung. Der dort auftretende Charakter χ ist hier also 1.

4.5.3. Die folgenden Betrachtungen dienen dazu, das Reduzibilitätsverhalten der Darstellungen ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) zu verstehen und auch die Fälle aufzulisten, in denen wir zeigen können, daß τ(π) existiert.

Wir werden es mit zwei verschiedenen Fällen zu tun haben. Wir sagen, daß eine Kohomologieklasse π ∈ Coh_{0}(μ) vom CM-Typ ist, falls es einen Galoischarakter η : I_{F} /F^{×} → Q̄_{l}^{×} gibt, mit η ≠ 1 und π ∼ π ⊗ η. Nach [21] ist dann η^{2} = 1 und zu η gehört eine quadratische Erweiterung L/F, und es gibt einen Heckecharakter

Ω : I_{L}/L^{×} → Q̄_{l}^{×},

so daß π = π(Ω) ist. Die Darstellung π liegt in der diskreten Serie; das impliziert, daß L/F eine total imaginäre quadratische Erweiterung des quadratischen Körpers F/Q ist. Wenn wir über den beiden Einbettungen von F nach R jeweils eine Einbettung τ, τ′ : L → C fixieren, so wird für die beiden komplexen Stellen, die durch τ, τ′ induziert sind, der Typ von Ω durch

Ω : (z, z′, 1) → τ(z)^{−n+m}\overline{τ(z)}^{−n} · τ′(z′)^{−n+m} · \overline{τ′(z′)}^{−n}

gegeben, wobei m = (dim 𝒱_{μ})^{\frac{1}{2}} und n unsere früher definierte Zahl n ist. (Siehe 2.4). Nach diesen Vorbereitungen formulieren wir

4.5.4 Satz. a) Für π ∈ Coh_{0}(μ) sind die Darstellungen ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) stets irreduzibel.

b) Wenn π ∈ Coh_{0}(μ) nicht vom CM-Typ ist, dann bleiben ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) irreduzibel, wenn man sie auf eine beliebig kleine offene Untergruppe U = Gal(Q̄/M) ⊂ Gal(Q̄/F) einschränkt.

Beweis. Wir übertragen die Methoden von Serre [29] und Ribet [28] auf unsere Situation. Wenn ρ_{1}(π) (und somit auch ρ_{2}(π)) reduzibel ist, dann faktorisiert ρ_{1}(π) über eine Boreluntergruppe in GL(Y), d.h.

ρ_{1}(π)(σ) = ( \begin{matrix}χ_{1}(σ) & ∗ \\ 0 & χ_{2}(σ) \end{matrix} )

mit zwei λ-adischen Charakteren χ_{1}, χ_{2}. Nach [29], III, 3.1 gibt es Heckecharaktere χ̃_{1}, χ̃_{2} auf I_{F} /F^{×}, die auf den endlichen Idelen I_{F,f} mit χ_{1} und χ_{2} übereinstimmen. Da F total reell ist, gilt weiter

χ_{i} = α_{F}^{ν_{i}}μ_{i}

mit einem Charakter endlicher Ordnung μ_{i}. Nun ist nach 4.4.1 stets

χ_{1}χ_{2}(σ) = α^{−n−1}(σ) · η(σ),

und aus der Weilvermutung folgt sofort ν_{1} = ν_{2}. Es ist also ν_{1} = ν_{2} = \frac{−n−1}{2} und das heißt, daß schon mal n + 1 gerade sein muß. Wenn wir die entsprechenden Charaktere für ρ_{2}(π) mit χ′_{1}, χ′_{2} bezeichnen, so liefert (4.5.2’)

L(s, π, r̄_{2}) · L(s, π′, r̄_{2}) ∼ L(s, χ_{1}/χ_{2}) · L(s, 1) · L(s, χ_{2}/χ_{1}) · L(s, χ′_{1}/χ′_{2}) · L(s, 1) · L(s, χ′_{2}/χ′_{1}).

Die Funktion rechts hat bei s = 1 einen Pol mindestens zweiter Ordnung, weil die übrigen auftretenden Charaktere endliche Ordnung haben. Die Funktion auf der linken Seite hat gar keine Pole, wenn π nicht vom CM-Typ ist (Theorem 9.3 in [12]). Wenn π vom CM-Typ ist, dann ist die Funktion auf der linken Seite bei s = 1 holomorph, das folgt aus den obigen Bemerkungen und der Bemerkung 9.9 in [12]. (Das dortige ΩΩ′^{−1} ist kein Dirichletcharakter.)

Wir kommen zum Beweis von b). Sei also π ∈ Coh_{0}(μ) und ρ_{1}(π) und ρ_{2}(ϕ) seien auf einer genügend kleinen offenen Untergruppe U ⊂ Gal(Q̄/F) reduzibel. Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Die Operation ρ_{1}(π)|U wird skalar, when U genügend klein ist.

2. Die operation ρ_{1}(π) ist auf genügend kleinen offenen Untergroppe U eine directe Summe zweier verschiedener Charaktere.

(Wenn sie nicht zerfiele, erhalten wir einen Widerspruch zu a).)

Im ersten Fall sind ρ_{1}^{∗}(π) und ρ_{2}^{∗}(π) endliche Galoisdarstellungen. Wir können jetzt genau die gleichen Argumente bringen wie in [28], §4. Den beiden Galoisdarstellungen ρ_{1}^{∗}(π), ρ_{2}^{∗}(π) werden Artinsche L-Functionen zugeordnet und das Product dieser Artinschen L-Functionen ist dann bis auf eine endliche Menge von Eulerfaktoren gleich

L(s, π, r̄_{2}) · L(s, π′, r̄_{2}).

Die Eulerfaktoren an den unendlichen Stellen stimmen dann gerade nicht überein. Wendet man nun auf beide Produkte von L-Funktionen die Funktionalgleichung an und benutzt man 4.5.2′, dann erhält man eine endliche Relation zwischen Eulerfaktoren, von der man durch Betrachtung der Pole zeigt, daß sie nicht gelten kann. Da dieses Argument wenig überzeugend ist, wenn man nicht alles genau durchrechnet, wollen wir das hier auch noch tun.

Wir schauen uns zunächst noch mal ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) an. Wenn wir auf eine genügend kleine offene Untergruppe U = Gal(Q̄/M) ⊂ Gal(Q̄/F) einschränken, dann wird für σ ∈ U

ρ_{1}(π)(σ) = ( \begin{matrix}χ(σ) & 0 \\ 0 & χ(σ) \end{matrix} )

mit einem Galoischarakter χ. Nun ist

det ρ_{1}(π)(σ) = α^{−n−1}(σ)

für σ ∈ U (siehe 4.4.1). Wir wissen, daß für jede Stelle 𝔭 von F vom Grad 1 gilt

ρ_{1}(π)(Φ_{𝔭}^{−1}) = ( \begin{matrix}α_{𝔭} & 0 \\ 0 & β_{𝔭} \end{matrix} ) μ_{𝔭} oder ( \begin{matrix}α_{𝔭′} & 0 \\ 0 & β_{𝔭′} \end{matrix} ) μ_{p}

mit einer Einheitswurzel μ_{𝔭}. Dann ist also für genügend großes N

ρ_{1}(π)(Φ_{𝔭}^{−N}) = ( \begin{matrix}χ(Φ_{𝔭}^{−N}) & 0 \\ 0 & χ(Φ_{𝔭}^{−N}) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{𝔭}^{N} & 0 \\ 0 & β_{𝔭}^{N} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p^{\frac{N(n+1)}{2}} & 0 \\ 0 & p^{\frac{N·(n+1)}{2}} \end{matrix} ) .

Es gilt also, daß

α_{𝔭} = p^{\frac{n+1}{2}} ζ_{𝔭,1}, β_{𝔭} = p^{\frac{n+1}{2}} ζ_{𝔭,2}

mit Einheitswurzeln ζ_{𝔭,1}, ζ_{𝔭,2}. Nun sind die Spuren α_{𝔭} + β_{𝔭} in einem festen durch die automorphe Form π ∈ Coh_{0}(μ) bestimmten Zahlkörper enthalten. Die Grade der Einheitswurzeln sind, wie man leicht sieht, beschränkt, also sind alle Zahlen p^{\frac{n+1}{2}} in diesem festen Zahlkörper. Hier durchläuft p alle Zahlen, die in F zerfallen; das ist nur möglich, wenn n + 1 gerade ist.

Wir benötigen noch eine kleine Information über n, die bislang noch keine Rolle gespielt hat. Unsere rationale Darstellung

μ : R_{F/Q}(GL_{2}/F) → GL(V_{μ})

wird nach Erweiterung der Konstanten ein Tensorprodukt von zwei zueinander isomorphen rationalen Darstellungen von GL_{2}. Ist m die Dimension dieser Darstellungen, d.h. M^{2} = dim V_{μ}, dann ist n ≡ m + 1 mod 2.

Wenn wir F in R einbetten, F ⟶^{i} R, so erhalten wir Gal(C/R) → Gal(Q̄/F); ist c die komplexe Konjugation in Gal(C/R), dann folgt

ρ_{1}^{∗}(π)(c) ∼ ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) oder ( \begin{matrix}1 & & 0 \\ & 1 \\ 0 & & 1 \end{matrix} ) .

Aus den Überlegungen in 4.4.2 folgt, daß ρ_{1}(π)(c) ∼ ρ_{2}(π)(c). Dann ist der Eulerfaktor der Artinschen L-Reihen an der der Einbettung i entsprechenden Stelle (bis auf Potenzen von π)

Γ (\frac{s}{2}) · Γ (\frac{s + 1}{2}) · Γ (\frac{s + 1}{2}) = Γ(s) · Γ (\frac{s + 1}{2})

im ersten Fall und

Γ(\frac{s}{2})^{3}

im zweiten Fall.

Nach Gelbart-Jacquet ([12], 6.5.11, e) ist der Eulerfaktor für die L-Funktion zu π und r̄_{2} an einer unendlichen Stelle gleich

Γ (\frac{s + 1}{2}) · Γ(s + m),

wobei m die oben erwähnte Dimension ist. Schreibt man beide Produkte von je zwei L-Funktionen in der Form

\begin{matrix}L(s, π, r̄_{2}) · L(s, π′, r̄_{2}) = L_{∞}(s, π) · L_{f}(s, π), \\ L(s, ρ_{1}^{∗}(π)) · L(s, ρ_{2}^{∗}(π)) = L′_{∞}(s, π) · L_{f}(s, ρ^{∗}(π)), \end{matrix}

so stimmen nach 4.5.2 fast alle Eulerfaktoren in den endlichen Anteilen überein. Dann liefern die Funktionalgleichungen

\frac{L_{∞}(s, π)}{L_{∞}(1 − s, π̃)} · \frac{L′_{∞}(1 − s, π̃)}{L′_{∞}(s, π)} = C · A^{s} · endliches Produkt von Eulerfaktoren an endlichen Stellen.

Man muß nun die möglichen Fälle durchgehen, sieht aber sehr leicht, daß man auf der linken Seite eine unendliche Serie von Polen mit beliebig kleinem (geradzahligen) Realteil hat, wenn ein Faktor Γ (\frac{s}{2}) auftaucht. Das kann rechts nicht passieren. Der einzig interessante Fall ist also, daß alle Eulerfaktoren oben von der Form Γ(s) · Γ (\frac{s+1}{2}) sind. Dann steht auf der linken Seite

\frac{Γ (\frac{s+1}{2})^{2} · Γ(s + m)^{2}}{Γ (\frac{2−s}{2})^{2} · Γ(m + 1 − s)^{2}} · \frac{Γ (\frac{2−s}{2})^{2} · Γ(1 − s)^{2}}{Γ (\frac{s+1}{2})^{2} · Γ(s)^{2}} = \frac{Γ(s + m)^{2} · Γ(1 − s)^{2}}{Γ(m + 1 − s)^{2} · Γ(s)^{2}} .

Dieser Ausdruck hat Nullstellen bei

s = −m + 1, …, 0

und Pole bei

s = 1, …, m.

Auf der rechten Seite steht ein endliches Produkt von Faktoren der Form

(1 − γN𝔭^{−s})^{−1} oder (1 − γ · N𝔭^{s−1})^{−1}.

Es ist unmöglich, daß ein solches Produkt der linken Seite, die nicht konstant ist, gleicht.

Damit ist der Fall erledigt, daß ρ_{1}(π) auf einer kleinen offenen Untergruppe von Gal(Q̄/F) skalar operiert. Er kommt nicht vor.

Wenn nun ρ_{1}(π) auf einer offenen Untergruppe U, die wir uns als normale Untergruppe vorstellen können, zerfällt, d.h.

ρ_{1}(π)|v = ( \begin{matrix}χ_{1} & 0 \\ 0 & χ_{2} \end{matrix} ) χ_{1} ≠ χ_{2},

dann folgt sofort, daß die Eigenräume unter einer Untergruppe Gal(Q̄/M) mit einer quadratischen Erweiterung M/F invariant sind, die Charaktere setzen sich also fort. Wir nennen die fortgesetzten Charaktere wieder χ_{1}, χ_{2} und bekommen

ρ_{1}(π) = Ind_{Gal(_{Q̄}/M)}^{Gal(_{Q̄}/F)}χ_{1}.

Wir benutzen jetzt Henniart’s Verallgemeinerung des Satzes von Serre ([15]) und interpretieren χ_{1}, χ_{2} als Größencharaktere vom Typ A_{0} auf I_{M}/M^{×}. Dann ist

ρ_{1}^{∗}(π) = Ind_{Gal(_{Q̄}/M)}^{Gal(Q^{}¯ /F)}χ_{1}/χ_{2} ⊕ Q̄_{l} · η_{M},

wobei η_{M} der zu M/F gehörige quadratische Charakter ist. Also bekommen wir aus 4.5.2′, daß bis auf uninteressante Faktoren

L(s, π, r̄_{2}) · L(s, π′, r̄_{2}) ∼ L_{M}(s, χ_{1}/χ_{2}) · L_{F} (s, η_{M}) · L_{M′}(s, χ′_{1}/χ′_{2}) · L_{F} (s, η_{M′}).

Dabei sind M′/F, χ′_{1}, χ′_{2} die zu ρ_{2}^{∗}(π) gehörigen entsprechenden Daten. Wir bemerken nun, daß wir die Form π und π′ nach M liften können und daß wir entsprechend ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) auf Gal(Q̄/M) einschränken können. Dann bleibt die obige Relation zwischen den gelifteten L-Funktionen erhalten. Die rechte Seite bekommt aber einen Pol bei s = 1. Also ist die linke Seite nicht holomorph bei s = 1. Das ist nach [12], Theorem 9.3 und Remark 9.9 nur möglich, wenn eine der beiden Liftungen nicht cuspidal ist. Also ist eine der beiden Liftungen nach M eine Eisensteinreihe und es folgt aus [24], S. 21, daß π und π′ vom CM-Typ sind. Damit ist Satz 4.5.4 beweisen.

4.5.5 Korollar. Die Darstellung ρ(π) ist halbeinfach.

Beweis. Wäre ρ(π) nicht halbeinfach, dann müßte der Zariskiabschluß von ρ(π) (Gal(Q̄/F)) in einer parabolischen Untergruppe enthalten sein. Das wäre dann auch für die Bilder von Gal(Q̄/F) unter ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) der Fall. Dann wären ρ_{1}(π) und ρ_{2}(π) aber reduzibel.

4.5.6 Satz. Wenn die Darstellung τ(π) existiert, dann ist die Darstellung ρ(π) zu der aus τ(π) gewonnenen Darstellung ρ(τ(π), A) mit A = τ(π)(θ^{2}) (siehe 4.4.5) äquivalent. D.h. mit anderen Worten, wir können ρ_{1}(π) = τ(π) wählen.

Beweis. Wir schließen wie im Beweis von 4.5.4, daß τ(π) irreduzibel ist, wobei sich das Argument vereinfacht, weil jetzt die L-Funktion von τ(π) direkt mit der L-Funktion von π zusammenhängt ([28], Theorem 2.3). Daraus folgt, daß die Darstellung ρ(τ(π), A) halbeinfach ist. Dann haben nach 4.4.5 und Satz 2.4 ρ(π) und ρ(τ(π), A) für jeden Frobenius die gleiche Spur, denn für träge p ist Φ_{p}^{2} = Φ_{𝔓}. Nach [29], 2.2 folgt die Behauptung.

4.5.7 Satz. Ist π ∈ Coh_{0}(μ), so existiert τ(π) in der folgenden Fällen:

a) π ist eine Liftung einer Form πQ^{0},

b) π ist vom CM-Typ.

Ferner gilt: Wenn τ(π) existiert und wenn ν′ : I_{F} /F^{×} → Q̄_{l} ein Charakter von der Form α^{k}ν̃ mit einem Charakter ν̃ endlicher Ordnung ist, dann existiert τ(π ⊗ ν′).

Beweis. Das ist eigentlich alles ziemlich klar. Im Fall a) weiß man, daß πQ^{0} in der diskreten Serie liegen muß. Also existiert τ(πQ^{0}) nach der klassischen Eichler-Shimura Theorie (siehe z.B. [22]). Dann ist τ(π) einfach die Einschränkung von τ(πQ^{0}) auf Gal(Q̄/F).

b) Wenn π vom CM-Typ ist, dann haben wir die Darstellung π in 4.5.3 beschrieben. Sie ist von der Form π(Ω), wobei Ω : I_{M}/M^{×} → Q̄_{l}^{×} ein Größencharakter vom Typ A_{0} auf der Ideleklassengruppe der total imaginären quadratischen Erweiterung M/F ist. Dem Größencharakter entspricht ein λ-adischer Charakter Ω : Gal(Q̄/M) → Q̄_{l}^{×}, und wir wählen

τ(π) = τ(π(Ω)) = Ind_{Gal(Q^{}¯ /M)}^{Gal(Q^{}¯ /F)}Ω.

Der Zusatz ist ganz trivial.

Wir gehen nun zum Angriff auf den Satz 4.1 über. Wir beschränken uns auf den Fall ω = 1. Zunächst überlegen wir uns

4.5.8 Hilfssatz. Es ist t(π) = t(π, 1) = 0 oder 1. Wenn t(π) = 1, dann gibt es einen Charakter endlicher Ordnung ν′ auf I_{F} /F^{×} und eine cuspidale Form πQ^{0} auf GL_{2}(A_{Q}), so daß

π ∼ (πQ^{0} × F) ⊗ ν′^{−1},

und so daß

ω_{π} = α^{−n}ω̃_{π} = α^{−n} · ν′ · (ν′^{θ})^{−1}.

Beweis. Wir gehen von der in 4.4 beschriebenen Realisierung der Darstellung ρ(π) aus. Wenn t(π) ≠ 0, dann gibt es ein 0 ≠ ϕ ∈ End(Y), so daß für alle σ ∈ Gal(Q̄/F) gilt

(4.5.8.1)  ρ_{1}(π)(σ)ϕ^{T} ρ_{1}(π)(σ^{θ}) = α^{−n−1}(σ)ϕ.

Es ist klar, daß der Kern des Endomorphismus ϕ unter der Operation von ρ_{1}(π) invariant sein muß, also ist ϕ invertierbar. Dann folgt (siehe 4.3)

(4.5.8.2)  ϕ^{−1}ρ_{1}(π)(σ)ϕ = ρ_{1}(π)(σ^{θ}) det ρ_{1}(π)(σ^{θ})^{−1} · α^{−n−1}(σ).

Die Irreduzibilität von ρ_{1}(π) impliziert sofort, daß t(π) = 1 sein muß.

Nun ist q(ϕ, ϕ) = Spur (ϕ^{T}ϕ) = 2 det (ϕ) ≠ 0, und es gilt für alle σ ∈ Gal(Q̄)/Q)

α^{−2n−2}(σ)q(ϕ, ϕ) = q(ρ(π)(σ)ϕ, ρ(π)(σ)ϕ) = λ(π(σ))q(ϕ, ϕ).

Das liefert uns nach 4.2, daß die Einschränkung von ω_{π} auf I_{Q} gleich α^{−2n} ist.

Wenn wir also ω_{π} = α^{−n} · ω̃_{π} setzen, dann ist

(4.5.8.3)  ω̃_{π}|I_{Q} = 1.

Wir wollen zeigen, daß

(4.5.8.4)  π^{0} = π′ ∼ π ⊗ ω̃_{π}^{−1}.

Um dies zu sehen, wenden wir den starken Satz von der Multiplizität 1 an und zeigen, daß für fast alle Stellen v von F gilt

π_{v}^{θ} = π′_{v} ∼ π_{v} ⊗ ω̃_{π_{v}}^{−1}.

Wir schränken uns auf diejenigen Stellen ein, an denen π_{v}, π′_{v} und F/Q unverzweigt sind. Ist v = 𝔓 eine träge Stelle, so ist die Behauptung ganz trivial. Es ist π′_{v} ∼ π_{v} und ω̃_{π_{v}}(p) = 1 nach (4.5.8.3). An einer zerfallenden Stelle v = 𝔭 mit 𝔭𝔭′ = (p) sei π_{𝔭} ∼ π(α_{𝔭}, β_{𝔭}) und π_{𝔭′} = π(α_{𝔭′}, β_{𝔭′}). Dann ist nach 2.4

ρ(π)(Φ_{𝔭}^{−1}) ∼ p. ( \begin{matrix}α_{𝔭}α_{𝔭′} & & & 0 \\ & α_{𝔭}β_{𝔭′} \\ & & β_{𝔭}α_{𝔭′} \\ 0 & & & β_{𝔭}β_{𝔭′} \end{matrix} ) .

Weil t(π) = 1 ist, muß einer der Eigenwerte gleich p^{n+1} sein, also etwa α_{𝔭}α_{𝔭′} = p^{n}. Sind ϖ_{𝔭}, ϖ_{𝔭′} lokale Parameter bei 𝔭, 𝔭′, dann ist α_{𝔭}β_{𝔭} = ω_{π}(ϖ_{𝔭}), α_{𝔭′}β_{𝔭′} = ω_{π}(ϖ_{𝔭′}) und daher ist, nochmals wegen (4.5.8.3),

α_{𝔭}β_{𝔭}α_{𝔭′}β_{𝔭′} = ω_{π}(ϖ_{𝔭}) · ω_{π}(ϖ_{𝔭′}) = ω_{π}(p) = p^{2n}.
Dann ist also auch β_{𝔭}β_{𝔭′} = p^{n}. Also

\begin{aligned}π_{𝔭′} = π(α_{𝔭′}, β_{𝔭′}) & ∼ π(p^{n}α_{𝔭}^{−1}, p^{n}β_{𝔭}^{−1}) \\ & ∼ π(β_{𝔭}p^{n}ω_{π}(ϖ_{𝔭})^{−1}, α_{𝔭}p^{n}ω_{π}(ϖ_{𝔭})^{−1}) ∼ π(β_{𝔭}, α_{𝔭}) ⊗ ω̃_{π}^{−1}. \end{aligned}

Damit ist (4.5.8.4) bewiesen.

Wir argumentieren nun wie in Abschnitt 3. Weil ω̃_{π}|I_{Q} = 1, können wir einen Galoischarakter ν′ : I_{F} /F^{×} → Q̄_{l} finden mit

ω̃_{π}^{−1} = ν′ · (ν′^{θ})^{−1},

und dann ist

(π ⊗ ν′)^{θ} ∼ π ⊗ ν′

und somit

π ∼ (πQ^{0} × F) ⊗ ν′^{−1}.

Damit ist der Hilfssatz bewiesen.

Ist nun π ∈ Coh_{0}(μ) von der Form

π ∼ (πQ^{0} × F) ⊗ ν′^{−1}.

dann gilt ω_{π} = ω_{πQ^{0}} ∘ N_{F/Q} · ν′^{−2}. Man kann dann leicht zeigen, daß die Relation

(∗)  ω_{π}^{−1} = ν′ · (ν′^{θ})^{−1}

genau dann gilt, wenn, mit ν gleich der Restriktion von ν′ auf I_{Q}/Q^{×}, gilt

(∗∗)  ω_{πQ^{0}} = α^{−n} · ν · η mit η = 1 oder ε.

Um den Beweis von Satz 4.1 zu vollenden, müssen wir zeigen, daß für eine Form π ∈ Coh_{0}(μ) von der Gestalt π ∼ (πQ^{0} × F) ⊗ ν′^{−1}, für die auch noch (∗) (oder (∗∗)) erfüllt ist, gilt

t(π) = 1 ⇔ η = ε

(siehe Definition 2.7).

Wir können nach 4.5.7 und 4.5.6 ansetzen

τ(π) = τ(πQ^{0})_{F} · ν′^{−1},

wobei τ(πQ^{0})_{F} die Einschränkung von τ(πQ^{0}) auf Gal(Q̄/F) ist. Wir schreiben im folgenden τ_{0}(π) = τ(πQ^{0}). Dann ist für ϕ ∈ End(Y) und σ ∈ Gal(Q̄/F)

ρ(π)(σ)ϕ = ν′^{−1}(σ)ν′^{−1}(σ^{θ}) · τ_{0}(π)(σ) · ϕ ·^{T}τ_{0}(π)(σ^{θ}).

Ist also ρ(π)(σ)ϕ = α^{−n−1}(σ)ϕ für alle σ ∈ Gal(Q̄/Q), so gilt insbesondere für σ ∈ Gal(Q̄/F)

α^{−n−1}(σ) · ϕ = ν′^{−1}(σ)ν′^{−1}(σ^{θ})τ_{0}(π)(σ) · ϕ · ^{T}τ_{0}(π)(σ^{θ})

oder

ϕ · τ_{0}(π)(σ^{θ}) = α^{n+1}(σ)ν′^{−1}(σ)ν′^{−1}(σ^{θ}) · det τ_{0}(π)(σ^{θ}) · τ_{0}(π)(σ) · ϕ.
Nun ist det τ_{0}(π)(σ^{θ}) = det τ_{0}(π)(σ) (weil τ_{0}(π) auf Gal(Q̄/Q) definiert ist) und daher

detτ_{0}(π)(σ^{θ}) = α^{−1}(σ) · ω_{πQ^{0}}(σ).

Die Relation (∗∗) impliziert also, daß

α^{n+1}(σ)(ν′(σ) · ν′(σ^{θ}))^{−1} · det τ_{0}(π)(σ^{θ}) = 1

für alle σ ∈ Gal(Q̄/F). Also ist die Bedingung ρ(π)(σ)ϕ = α^{−n−1}(σ)ϕ für σ ∈ Gal(Q̄/F) mit

τ_{0}(π)(σ^{θ}) = τ_{0}(π)(θ) · τ_{0}(π)(σ) · τ_{0}(π)(θ)^{−1} = ϕ^{−1} · τ_{0}(π)(σ) · ϕ

äquivalent. Da τ(π) irreduzibel ist, folgt daraus, daß bis auf einen von Null verschiedenen Faktor gilt

τ_{0}(π)(θ)^{−1} = ϕ.

Wenn wir umgekehrt ϕ = τ_{0}(π)(θ)^{−1} wählen, dann gilt für alle σ ∈ Gal(Q̄/F), daß ρ(π)(σ)ϕ = α^{−n−1}(σ)ϕ. Dann ist aber auch klar, daß

ρ(π)(θ)ϕ = ±α^{−n−1}(θ) · ϕ.

Wir müsen zeigen, daß genau dann das positive Vorzeichen vorliegt, wenn η = ε ist. Es ist nach 4.5.6

ρ(π)(θ)(τ_{0}(π)(θ)^{−1}) = −^{T} (τ_{0}(π)(θ)^{−1}) ·^{T} τ_{0}(π)(θ^{2}) · ν′(θ^{2})^{−1}
= −^{T} (τ_{0}(π)(θ^{2}) · τ_{0}(π)(θ)^{−1}) · ν′(θ^{2})^{−1}
= −τ_{0}(π)(θ^{−1}) · det τ_{0}(π)(θ) · ν′(θ^{2})^{−1}.

Nun ist θ^{2} ∈ Gal(Q̄/F) und in dem Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} I_{F} /F^{×}  I_{Q}/Q^{×} Gal(Q/F)^{ab}  Gal(Q̄/Q)^{ab}

ist die Klasse von θ^{2} in Gal(Q̄/F)^{ab} gerade das Bild der Klasse θ ∈ Gal(Q̄/Q)^{ab}. Wenn wir also die Restriktion ν von ν′ auf I_{Q}/Q^{×} als Galoischarakter lesen, dann ist ν′(θ^{2}) = ν(θ). Damit ist dann gezeigt, daß t(π) = 1 genau dann, wenn in (∗∗) der Faktor η = ε ist.

Jetzt haben wir den Satz 4.1 bewiesen und damit den Beweis der entscheidenden Aussagen von §2, die die π ∈ Coh_{0}(μ) betrafen, auf den Beweis von Satz 2.4 zurückgeführt. 4.6. Wir haben noch 2.10 und 2.11 zu diskutieren. Wegen Lemma 3.7 läuft das darauf hinaus, 2.10 zu beweisen.

Wir betrachten eine Komponente von S_{K}, die dann über einer abelschen Erweiterung von Q definiert ist und die als komplexe Mannigfaltigkeit von der Form

Γ\ℌ × ℌ

ist. Darauf können wir holomorphe Modulformen f(z_{1}, z_{2}) des Gewichtes (k_{1}, k_{2}) betrachten

f (\frac{az_{1} + b}{cz_{1} + d}, \frac{a′z_{2} + b′}{c′z_{2} + d′} ) = f(z_{1}, z_{2}) · (cz_{1} + d)^{k_{1}} · (c′z_{2} + d′)^{k_{2}}.

Diese Modulformen können als Schnitte in einem holomorphen Linienbündel

L(k_{1}, k_{2}) = L_{1}^{k_{1}} ⊗ L_{2}^{k_{2}}

auf Γ\ℌ × ℌ betrachtet werden. Diese Linienbündel sind aber auch algebraische Bündel, weil man bekanntlich mit Hilfe der obigen Modulformen die algebraische Struktur definiert. Es ist dann ferner klar, daß die Chernklassen von L_{1} und L_{2} durch die invarianten Formen

ω_{1} = \frac{dz_{1}dz̄_{1}}{y_{1}^{2}} , ω_{2} = \frac{dz_{2}dz̄_{2}}{y_{2}^{2}}

repräsentiert werden und damit folgt, daß über C alle Klassen π ∈ Coh_{e}(1) Zyklen entsprechen. Der Rest ist dann ganz trivial. 4.7. Zum Schluß dieses Abschnittes wollen wir noch kurz das Erreichte bewerten und insbesondere einige Probleme diskutieren, die wir offen gelassen haben. Dabei wollen wir 2.4 als schon bewiesen ansehen. Wir haben gesehen, daß für π ∈ Coh_{0}(1) alle Tateklassen über einer abelschen Erweiterung durch Zykeln gegeben sind, und zwar durch die Hirzebruch-Zagier-Zykeln.

Wenn nun π ∈ Coh_{0}(1), dann können wir uns fragen, ob diese Klasse über nichtabelschen Erweiterungen Zyklen zuläßt. D. h. wir zerlegen wie in §2

H^{2}(S̄_{K} ×_{Q} Q̄)(π_{f}) = W (π_{f}) = X^{(2)}(π_{f})

und fragen, ob es eine endliche Erweiterung L/Q gibt, so daß

t(π, L) = dim \{ξ ∈ X^{(2)}(π_{f}) | \begin{matrix}ρ(π)(σ)ξ = α^{−1}(σ)ξ \\ für alle σ ∈ Gal(Q̄/L \end{matrix} \} > 0.

Aus 4.5.4 folgt nun, daß für π ∈ Coh_{0}(1), die nicht vom CM-Typ sind, dann höchstens (für beliebig große L) gelten kann

t(π, L) = 1,

und dann ist klar, daß diese Tateklassen schon über einer abelschen Erweiterung von Q existieren. In diesem Fall ist unsere Antwort also vollständig.

Nun sei π ∈ Coh_{0}(1) vom CM-Typ. Wir haben schon gesehen (siehe 4.5.3), daß es dann eine imaginär quadratische Erweiterung L/F gibt, so daß π = π(Ω) mit einem Größencharakter Ω vom Typ A_{0} auf I_{L}/L^{×}. Wir wollen die Situation noch etwas genauer beschreiben:

Wir haben zwei Einbettungen i, i′ : F → R, wir fixieren τ, τ′ : L → C mit τ|F = i und τ′|F = i′. Da π ∈ Coh_{0}(1) ist, ist die Darstellung in beiden Komponenten die erste Darstellung der diskreten Reihe, und dann folgt für die Komponente Ω_{∞} auf I_{L,∞} = L_{τ} × L_{τ′}, daß ohne Einschränkung der Allgemeinheit

Ω_{∞}(z, z′) = zz′.

Jetzt wissen wir aus 4.5.7 und 4.5.6, daß wir

ρ_{1}(π) = τ(π) = π(π(Ω)) = Ind_{Gal(Q^{}¯ /L)}^{Gal(Q^{}¯ /F)}Ω

wählen können, wobei jetzt Ω als λ-adischer Größencharakter auf Gal(Q̄/L) interpretiert wird.

Wir wählen wieder einen Automorphismus θ ∈ Gal(Q̄/Q), der auf F/Q nicht die Identität ist. Dieser Automorphismus konjugiert den Körper L in eine quadratische Erweiterung L^{0}/F. Wir haben damit

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} L^{θ}  L F F Q  Q  C R^{θ^{−1}}  ^{τ}^{τ′}^{i}^{i′}^{θ^{−1}} ∼

wieder zwei Einbettungen τ ∘ θ^{−1} = τ^{θ} und τ′^{θ}. Wir können jetzt natürlich den Größencharakter Ω^{θ} auf I_{L^{θ}}/(L^{θ})^{×} als Ω ∘ θ^{−1} definieren und haben dann

π(Ω^{θ}) = π^{θ} = π′

in der früheren Notation, und es ist

τ(π(Ω))(σ^{θ}) = τ(π(Ω^{θ}))(σ).

Es ist klar, daß die Darstellung ρ(π) nach Einschränkung auf Gal(Q̄/L · L^{θ}) eine Summe von 4 Größencharakteren vom Typ A_{0} auf L · L^{θ} wird. Diese Charaktere sind die Produkte der Einschränkungen

ΩΩ^{θ}, ΩΩ̄^{θ}, Ω̄Ω^{θ}, Ω̄Ω̄^{θ};

dabei notieren wir mit ^{−} die komplexen Konjugationen auf L und L^{θ}. Man sieht nun sehr leicht, daß keiner dieser vier Größencharaktere auf LL^{θ} im Unendlichen vom Typ α^{−1} sein kann, wenn L ≠ L^{θ}. In diesem Fall bekommen wir also keine Tateklassen über irgendeiner Erweiterung von Q. Für unsere Zwecke ist also nur der Fall L = L^{θ} von Interesse.

Nun gibt es zwei mögliche Fälle. Entweder ist L/Q zyklisch vom Grad 4 oder L/Q ist biquadratisch. Eine einfache Analyse der Typen der Charaktere zeigt, daß im zyklischen Fall keiner der vier oben aufgelisteten Charaktere vom Typ α^{−1} ist, also haben wir auch in diesem Fall keine Tateklassen.

Es bleibt also der Fall, daß L/Q biquadratisch ist. Dann haben wir ein Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} L_{0}  L_{1} L  F, Q

wobei L_{0}, L_{1} imaginär quadratisch über Q sind und wobei θ|L_{0} = Id sei. Wir nehmen eine weitere Normalisierung vor, indem wir eine Einbettung τ_{0} : L_{0} → C fixieren und annehmen, daß τ und τ′ die durch i, i′ : F → R induzierten Erweiterungen von τ_{0} auf L sind. Dann sind die Größencharaktere ΩΩ̄^{θ} und Ω̄Ω^{θ} aus den obigen vier Charakteren diejenigen vom Typ α^{−1}. Wie schon oben gesagt wurde, zerfällt ρ(π) über L in 4 eindimensionale Darstellungen, und die beiden Eigenräume zu ΩΩ̄^{θ} und Ω̄Ω^{θ} spannen einen zweidimensionalen unter ρ(π) invarianten Teilraum X_{t}(π_{f}) von X(π_{f}) auf.

Es ist klar, daß als Galoismodul

X_{t}(π_{f})Ind_{Gal(Q^{}¯ /L_{1})}^{Gal(Q^{}¯ /Q)}α^{−1}χ,

wobei χ ein Charakter endlicher Ordnung auf Gal(Q̄/L_{1}) ist. Über der χ entsprechenden Erweiterung L_{1}(χ) von L_{1} besteht X_{t}(π_{f}) aus Tateklassen. Diese Erweiterung ist genau dann abelsch über Q, wenn χ = χ^{θ}, denn θ induziert auch den nichttrivialen Automorphismus von L_{1}/Q.

Man kann nun leicht ein Beispiel konstruieren, bei dem χ ≠ χ^{θ} ist; dafür genügt schon, daß

ΩΩ̄^{θ} ≠ Ω̄Ω^{θ}auf Gal(Q̄/L)

ist. Wenn man nun auf L_{0}/Q einen Größencharakter Ω_{0} vom Typ z wählt, dann ist der allgemeine Charakter Ω von der Form

Ω = Ω_{0} ∘ N_{F/L_{0}} · μ

mit einem Dirichletcharakter μ, und dann haben wir μ so zu wählen, daß

μμ̄^{θ} ≠ μ̄μ^{θ}.

Daß es solche Charaktere μ geben muß, sieht man leicht, wenn man sich die Operation von Gal(L/Q) auf der Galoisgruppe Gal(Q̄/L)^{ab} ansieht.

Damit haben wir gesehen, daß es auf einer Hilbertschen Modulfläche in der l-adischen Kohomologie Tateklassen geben kann, die nicht durch unsere Konstruktion von Zykeln erfaßt werden, die also nicht von Hirzebruch-Zagier-Zykeln herkommen.

In seiner Arbeit [26] zeigt Oda, daß man die Existenz dieser Zykeln unter gewissen Bedingungen aus der Gültigkeit der Hodge-Vermutung ableiten kann. Er zeigt dies, indem er Relationen zwischen speziellen Werten von L-Funktionen benutzt, um Relationen zwischen transzendenten Periodenintegralen herzustellen, die dann für gewisse Klassen in H^{1,1} die Rationalität implizieren. Es ist anzunehmen, daß dieser Ansatz allgemein funktioniert, und wir hoffen, diesen Punkt bei einer späteren Gelegenheit zu behandeln.

Es sei an dieser Stelle eine vergleichende Bemerkung zu der Arbeit von Oda [26] erlaubt, der ja die gleiche Fragestellung behandelt. Man kann sagen, daß Oda die Hodge-Realisierung des zu Grunde liegenden Motivs studiert, während wir die l-adische Realisierung betrachten. Er ist erfolgreicher in der Konstruktion von Zykeln, weil ein Hodge-Zykel algebraisch ist und daher zunächst für eine Kohomologieklasse Hodge-Klasse zu sein mehr aussagt, als Tate-Klasse zu sein. Wir sind erfolgreicher, wenn es darum geht, die Existenz von Zykeln auszuschließen, weil es für Oda schwer ist, nachzuweisen, daß eine Klasse nicht rational ist. 4.8. Wir wollen noch einige Bemerkungen zur Tate-Vermutung und Picardzahl für Hilbertsche Modulflächen zur vollen Hilbertschen Modulgruppe machen. Diese Frage wird auch schon von Oda in seinem Buch am Ende diskutiert und zum Teil beantwortet ([26], §18, Theorem C und Korollar).

In der Gruppe GL_{2}(A_{f}(F)) der endlichen Adele betrachten wir die maximal kompakte Untergruppe

K_{0} = ∏_{p} GL_{2}(𝒪̂_{p})

und studieren die Modulfläche S_{K_{0}}/Q für die

S_{K_{0}}(C) = GL_{2}(F)\GL_{2}(A(F))/K_{∞}K_{0}.

Diese Fläche hat mehrere Komponenten, die den Elementen der Idealklassengruppe im engeren Sinne entsprechen und die alle über Q definiert sind. Die einzelnen Komponenten sind von der Form

Γ_{𝔞}\ℌ × ℌ,

wobei 𝔞 ein gebrochenes Ideal in F ist und

Γ_{𝔞} = \{γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(𝒪_{F})|c ∈ 𝔞, b ∈ 𝔞^{−1}\}.

Wir fragen uns nun, unter welchen Umständen es in der l-adischen Kohomologie Tate-Klassen in H^{2}(S_{K_{0}} × Q̄, Q_{l}) geben kann, die nicht durch Hirzebruch-Zagier-Zykeln oder universelle Chern-Klassen gegeben sind. Ist die Antwort negativ, so wissen wir, daß die erste Aussage der Tate-Vermutung richtig ist und daß die zweite über auflösbaren Erweiterungen gilt. Dann können wir auch die Picardzahl bestimmen, weil die automorphen Formen, die zu den Tate-Klassen beitragen, ausgezeichnet sind, und diese können wir dann leicht abzählen.

Wir wissen, daß Tate-Klassen, die nicht über einer abelschen Erweiterung definiert sind, zu automorphen Formen vom CM-Typ gehören. Wir wollen sie daher diedrale CM-Klassen nennen. (Es gibt auch abelsche CM-Klassen.) Wann können solche diedralen Klassen auf S_{K_{0}} existieren?

Notwendig dafür ist, daß wir ein Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} Q(\sqrt{−d_{1}})  Q(\sqrt{−dd_{1}}) L = Q(\sqrt{−d_{1}}, \sqrt{d})  Q(\sqrt{d}) = F Q

und einen Größencharakter

Ω : I_{L}/L^{×} → Q̄_{l}^{×}

vom Typ z · z′ haben. Damit π(Ω) unverzweigt ist, d.h. überall in der unverzweigten Hauptserie liegt, muss gelten ([19], Theorem 4.6), daß L/F und der Charakter Ω unverzweigt sind. Das stellt schon zwei beträchtliche Hindernisse dar. Wir wählen d, d_{1} wie üblich ganz und quadratfrei; dann ist L/F genau dann unverzweigt, wenn d_{1}|d und −\frac{d}{d_{1}} ≡ 1 mod 4. Das impliziert 4.8.1. Wenn d = p eine Primzahl mit p ≡ 1 (mod 4) ist, dann gibt es keine diedralen CM-Tate-Klassen.

Es ist ferner klar, daß es Probleme mit der Konstruktion von Ω gibt. Mit unseren früheren Notationen gibt es genau dann einen unverzweigten Größencharakter Ω, wenn für jede Einheit η ∈ 𝒪_{L}^{×} gilt

τ(η) · τ′(η) = η · η^{θ} = 1

(siehe 4.7). Es ist also klar, daß eine weitere notwendige Bedingung durch die Forderung gegeben ist, daß die Norm der Grundeinheit in F gleich 1 ist.

Nun wird die Situation etwas amüsanter, denn der Körper L kann mehr Einheiten enthalten als der Körper F. Zum anderen haben wir θ so fixiert, daß θ|L_{0} = Id, und damit war der Typ – nämlich die Auswahl von τ und τ′ – bis auf Konjugation festgelegt. Wir haben aber zwei Möglichkeiten, L_{0} zu wählen, und das gibt zwei unter der Galoisgruppe Gal(L/Q) inäquivalente Möglichkeiten für den Typ von Ω. Es zeigt sich, daß dann auch die Frage nach der Existenz unverzweigter Charaktere Ω unterschiedlich ausfällt. Dazu betrachten wir folgendes Beispiel: 4.8.2. Sei p ≡ 3 mod 4 eine Primzahl. Wir betrachten das Diagramm

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} L_{0} = Q(\sqrt{−p})  Q(\sqrt{−1}) Q = (\sqrt{−p}, \sqrt{p}) = L Q(\sqrt{p}) = F. Q

In diesem Fall ist die Norm der Grundeinheit ε von F positiv, aber L enthält auch noch η = iε. Nun ist aber θ auf Q(\sqrt{−1}) nicht trivial, also ist

η · η^{θ} = iε · (−i)ε′ = 1,

d.h. es gibt einen unverzweigten Charakter des vorgegebenen Typs. (Dies wäre nicht der Fall, wenn wir die beiden imaginär quadratischen Erweiterungen vertauschen würden.)

Nun taucht aber noch ein weiteres Probelm auf. Kann man zusätzlich den Charakter Ω so wählen, daß die Darstellung von Gal(Q̄/Q) auf dem Modul X_{t}(π_{f}) nicht abelsch wird? Dafür ist hinreichend, daß ΩΩ̄^{θ} ≠ Ω̄Ω^{θ} auf I_{L}/L^{×}, aber es ist etwas mühsam festzustellen, ob man das Ω so wählen kann. Zum andern ist es auch nicht klar, daß diese Wahl notwendig ist, wenn man eine diedrale Klasse konstruieren will, weil man die Charaktere noch von Gal(Q̄/L) auf Gal(Q̄/Q(\sqrt{−1})) fortsetzen muß. Wir lassen also die Frage offen, ob es für F = Q(\sqrt{p}) mit p ≡ 3 (mod 4) diedrale Klassen geben kann. Sie sollte aber leicht zu entscheiden sein.

4.8.3. Nach Durchsicht der Tabellen scheint das einfachste Beispiel für das Auftreten von diedralen Tateklassen in folgendem Fall vorzuliegen:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} L_{0} = Q(\sqrt{−7})  L_{1} = Q(\sqrt{−23}) Q(\sqrt{161}, \sqrt{−7}) = L  Q(\sqrt{161}) = F. Q

Der Körper L wird dadurch erhalten, daß wir aus der negativen Grundeinheit −ε die Wurzel η = \sqrt{−ε} ziehen, d.h. L = Q(\sqrt{161}, \sqrt{−ε}). Dann ist Q(\sqrt{−7}) der von η + \frac{1}{η} erzeugte Körper, d.h. η · η^{θ} = 1. Die 23 zerfällt in Q(\sqrt{−7}), also

23 · Z[\frac{1 + \sqrt{−7}}{2}] = 𝔭𝔭′.

Wir können nun einen Größencharakter Ω_{0} vom Typ z auf I_{Q(\sqrt{−7})} konstruieren, der überall unverzweigt ist, bis auf die Stelle 𝔭, dort aber auf den Quadraten der Einheiten verschwindet. Dann ist Ω′ = Ω_{0} ∘ N_{L/L_{0}} ein unverzweigter Größencharakter vom Typ z · z′ auf L, weil L an den Stellen 𝔭, 𝔭′ verzweigt ist und nur die Quadrate der Einheiten Normen sind.

Nun hat Q(\sqrt{−23}) die Klassenzahl 3, und seine Idealklassengruppe wird injektiv in die Idealklassengruppe von L abgebildet. Ist μ ein unverzweigter Dirichletcharakter auf der Idealklassengruppe von L, der auf dem Bild der Idealklassengruppe von Q(\sqrt{−23}) nicht trivial ist, dann liefert die automorphe Form π(Ω′μ) diedrale Klassen vom CM-Typ. Die Zyklen sind frühestens über dem Hilbertschen Klassenkörper von Q(\sqrt{−23}) definiert.

Der Körper F = Q(\sqrt{161}) hat die Klassenzahl 1, aber die Klassenzahl im engeren Sinne ist 2. Deswegen ist unter den vorliegenden Umständen

S_{K_{0}}(C) = GL_{2}(F)\GL_{2}(A(F))/K_{∞}K_{0} ≅ SL_{2}(𝒪)\ℌ × ℌ ∪ SL_{2}(𝒪)\ℌ^{−} × ℌ,

wobei ℌ^{−} eine untere Halbebene ist.

Wir haben es hier mit einem Phänomen des Signaturdefekts zu tun: die beiden Komponenten sind homöomorph, aber die Signaturen der Spitzenbeiträge sind unterschiedlich (siehe [16], Corollary 3.3). Es scheint so zu sein, daß die diedralen CM-Klassen auf der Komponente SL_{2}(𝒪)\ℌ × ℌ konzentriert sind, weil wir einen Überschuß an (1, 1)-Formen haben. Wenn man zu einer symmetrischen Modulfläche übergeht, wird es anscheinend sehr viel schwieriger, diedrale CM-Tateklassen zu konstruieren.

§5. BEGINN DES BEWEISES VON SATZ 2.4: KOHOMOLOGISCHE BETRACHTUNGEN^{1}

Die Schnittkohomologiegruppen sind die Hyperkohomologiegruppen des in geeigneter Weise kanonisch abgeschnittenen vollen direkten Bildes j_{!∗}𝒱 in der derivierten Kategorie ([7], 2.2).

5.1 Lemma. Es sei j : S → S̃ die offene Einbettung. Dann ist

j_{!∗}𝒱 = j_{∗}𝒱.

(Gleichheit in der entsprechenden derivierten Kategorie.)

Es sei S̃′ das Komplement der Doppelpunkte in S^{∞}. Wir faktorisieren j.

S ↪_{j′} S̃′ ↪_{j′′} S̃.

Das intermediäre direkte Bild j_{!∗}𝒱 entsteht durch kanonisches Abschneiden von Rj′′_{∗}(j′_{∗}𝒱) ([7], loc. cit.). Die Behauptung von 5.1 lautet also

5.1′ Lemma. R^{1}j′′_{∗}(j′_{∗}𝒱) = 0.

Als Gruppe über Q̄ ist G ein Produkt GL(2)×GL(2), und die Darstellung μ ist das Tensorprodukt von zwei irreduziblen Darstellungen von GL(2). Wir bezeichnen die gemeinsame Dimension dieser Darstellungen mit m.

H^{·}(S, 𝒱) =^{Def} H^{·}(S ×Q Q^{}¯ , 𝒱) usw.

1 Wir ändern die Notation jetzt ein wenig, weil wir nur noch die geometrischen Objekte betrachten. Wir schreiben statt S ×Q Q^{}¯ einfach S usw. D.h. von nun an ist

5.2 Hilfsatz. a) Falls y ein glatter Punkt des Divisors S^{∞} ist, so ist

\begin{matrix}dim j_{∗}𝒱_{y} = dim R^{1}j_{∗}𝒱 = m, \\ R^{i}j_{∗}𝒱_{y} = 0 für i ≧ 2. \end{matrix}

b) Falls y ein singulärer Punkt des Divisors S^{∞} ist, so ist

\begin{aligned}dim j_{∗}𝒱_{y} & = 1, dim R^{1}j_{∗}𝒱_{y} = 2, dim R^{2}j_{∗}𝒱_{y} = 1, \\ R^{i}j_{∗}𝒱_{y} & = 0 für i ≥ 3. \end{aligned}

Bevor wir den Beweis von 5.1 und 5.2 angehen, machen wir eine Bemerkung über die Spezialisierung von Kohomologiegruppen. Ganz allgemein betrachten wir ein Diagramm folgender Art:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} X = X̃\Y  X̃  Y S^{f} ^{j}  ^{f̃}

Dabei ist f̃ ein eigentlicher und glatter Morphismus und Y ein relativer Divisor mit normalen Schnitten, von dem wir der Einfachheit halber annehmen, daß er die Vereinigung von glatten Divisoren ist: Y = ⋃ ; iY_{i}. Wir bezeichnen mit Y_{J} bzw. Y_{J}^{∗} die abgeschlossenen bzw. offenen Strata

Y_{J} = ⋂_{i∈J} Y_{i}, Y_{j}^{∗} = Y_{J}\ ⋃_{J′{⊃ \atop ≠}J} Y_{J′}.

Es sei 𝒱 eine lokal konstante Q_{l}-Garbe auf X (l invertierbar auf S), die zahm verzweigt entlang Y ist. Die letzte Voraussetzung ist automatisch erfüllt, wenn die allgemeinen Punkte von S in der Charakteristik 0 liegen. Dann gilt: (I) Für alle i ist R^{i}j_{∗}𝒱 lokal konstant auf Y_{J}^{∗} und zahm verzweigt entlang Y_{J}\Y_{J}^{∗}. (II) Folglich ist f̃ lokal azyklisch bezüglich R^{i}j_{∗}𝒱. (III) Die Bildung von R^{i}j_{∗}𝒱 und R^{i}f_{∗}𝒱 und R^{i}f_{!}𝒱 ist kompatibel mit Baiswechsel. Die letztern

beiden Garben sind lokal konstant auf S.

(Die Behauptungen (I) und (III) sind in SGA 4 1/2, App. au Th. finitude, 1.3.3 und 2.4 enthalten; die Behauptung (II), die wie loc. cit. 1.3.3 bewiesen wird, wurde uns von Deligne mitgeteilt.)

Diese Bemerkung hat die erste Behauptung von 2.4′ zur Folge. Weiterhin erlaubt sie es uns, die Aussagen 5.1′ und 5.2 nur über dem allgemeinen Punkt von Spec(Z_{(p)}) zu betrachten und dann topologisch zu beweisen, wie wir der Anschaulichkeit halber vorziehen. Wir werden die auftretenden Kohomologiegruppen als Gruppenkohomologie deuten. Es möge y über der Spitze s liegen und zwar in dem zu dem Kegel σ aus Σ(s) gehörigen Teil (vgl. 1.6). Wir bezeichnen wieder mit x_{λ}, x_{μ} die Koordinaten (obgleich wir mit dem Symbol μ bereits die Darstellung von G bezeichnet hatten). Wenn y ein glatter Punkt von S^{∞} ist, ist genau eine der beiden Koordinaten Null, sagen wir x_{λ}. Wenn y ein singulärer Punkt von S^{∞} ist, so sind beide Koordinaten Null. Es gibt ein g ∈ G(A_{f}), so daß eine Umgebung von y in S(C) von einer offenen Menge in

ℌ × ℌ = ℌ × ℌ × g = G(R)/K_{∞} × g

überlagert ist.

Falls y ein singulärer Punkt von S^{∞} ist, so gibt es ein kofinales System von Umgebungen, so daß das Überlagerungsgebiet U in ℌ × ℌ folgende Eigenschaften hat:

(i) U ist invariant bezüglich der Translationen (z_{1}, z_{2}) → (z_{1} + u_{1}, z_{2} + u_{2}), u_{1}, u_{2} ∈ R.

(ii) Es gibt eine Einbettung α : n → (α_{1}(n), α_{2}(n)) von N(s) ⊂ R ⊕ R, so daß die Überlagerungsgruppe aus den Transformationen (z_{1}, z_{2}) → (z_{1} + α_{1}(n), z_{2} + α_{2}(n)) besteht.

(iii) Es sei α(λ) = (a_{1}, a_{2}) und α(μ) = (b_{1}, b_{2}). Es seien x_{λ}, x_{μ} definiert durch:

e^{2πiz_{j}} = x_{λ}^{aj}x_{μ}^{b_{j}}.

Dann wird (z_{1}, z_{2}) auf den Punkt mit den Koordinaten x_{λ}, x_{μ} abgebildet.

(iv) Es gilt a_{j} > 0, b_{j} > 0, und es gibt eine Zahl ε > 0, so daß (z_{1}, z_{2}) dann und nur dann in U liegt, falls

|e^{2πiz_{j}}| = u_{λ}^{a_{j}}u_{μ}^{b_{j}}, j = 1, 2

mit 0 < u_{λ}, u_{μ} < ε.

Wenn y glatt ist, ist U nur bezüglich der Translation

(z_{1}, z_{2}) → (z_{1} + iua_{1}, z_{2} + iua_{2}), u ∈ R,

invariant. Die Überlagerungsgruppe ist nicht mehr N(s), sondern N_{λ}(s) = Zλ, und die Bedingung (iv) ersetzt durch

|e^{2πiz_{j}}| = u_{λ}^{a_{j}} · u_{μ}^{b_{j}},

0 < |x_{λ}| < ε, \frac{u_{μ}}{|x_{μ}(y)|} < ε.

Das Gebiet U ist einfach-zusammenhängend. Das lokale System 𝒱 erhält man durch die mittels Einschränkung der Darstellung μ auf

N(s) ≅ \{( \begin{matrix}1 & α_{1}(n) \\ 0 & 1 \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}1 & α_{2}(n) \\ 0 & 1 \end{matrix} )\} bzw. N_{λ}(s)

entstehende Darstellung der Überlagerungsgruppe.

Beweis von 5.2 a) N_{λ}(s) ≅ Z ist schräg eingebettet in GL(2)×GL(2). Die Behauptung ergibt sich als leichte Folge der Clebsch-Gordan’schen Regel.

b) Wir benutzen die Hochschild-Serre-Spektralsequenz, die zu der folgenden exakten Sequenz gehört:

0 → N_{λ}(s) → N(s) → N_{μ}(s) → 0.

Wir bezeichnen mit V die Darstellung μ von G. Zunächst ist wegen der Irreduzibilität von V

dim H^{0}(N_{μ}(s), H^{0}(N_{λ}(s), V)) = dim H^{1}(N_{μ}(s), H^{1}(N_{λ}(s), V)) = 1.

Weil Invarianten und Koinvarianten die gleiche Dimension haben, sind die extremen Glieder der folgenden exakten Sequenz eindimensional:

0 → H^{1}(N_{μ}(s), H^{0}(N_{λ}(s), V)) → H^{1}(N(s), V ) → H^{0}(N_{μ}(s), H^{1}(N_{λ}(s), V)) → 0.

Damit ist b) bewiesen. q.e.d.

Beweis von 5.1′. Wegen 5.2 kennen wir den Limes der Leray-Spektralsequenz

R^{p}j′′_{∗}R^{q}j′_{∗}𝒱 ⇒ R^{p+q}j_{∗}𝒱.

Dei Spektralsequenz liefert die exakte Sequenz

0 ⟶ R^{1}j′′_{∗}(j′_{∗}𝒱) ⟶ R^{1}j_{∗}𝒱 ⟶^{α} j′′_{∗}R^{1}j′_{∗}𝒱.

Wir zeigen, daß α ein Isomorphismus ist und infolgedessen einen tivialen Kern hat. Zu diesem Zweck bedienen wir uns eines Diagramms, dessen Kommutativität aus [10], 1.7.9 folgt.

\begin{matrix}0 ⟶ H^{1}(N_{μ}(s), H^{0}(N_{λ}(s), V)) & ⟶ R^{1}j_{∗}𝒱_{γ} & ⟶ H^{0}(N_{μ}(s), H^{1}(Nλ(s), V)) ⟶ 0 \\ ↓ & ↓_{α} & ↓ \\ 0 ⟶ H^{0}(N_{λ}(s), H^{1}(N_{μ}(s), V)) & ⟶ j′′_{∗}R^{1}j′_{∗}𝒱_{γ} & ⟶ H^{0}(N_{μ}(s), H^{1}(N_{λ}(s), V)) ⟶ 0. \end{matrix}

Dabei ist der Pfeil links induziert von der identischen Abbildung von V. Falls wir berücksichtigen, daß N(s) kommutativ ist, sehen wir sofort ein, daß der Pfeil links ein Isomorphismus ist. q.e.d.

Unser nächstes Ziel ist es, die Schnittkohomologiegruppen durch die Kohomologie der Erweiterung j_{!∗}𝒱 = j_{∗}𝒱 auf S̃ auszudrücken. Wir bezeichnen diese Erweiterung wider einfach mit 𝒱.

5.3 Proposition. (I) Für 0 ≦ i ≦ 4, i ≠ 2, gibt es einen natürlichen Isomorphismus

H^{i}(S̄, 𝒱) ≅ H^{i}(S̃, 𝒱).

(II) Es gibt eine exakte Sequenz

0 → H^{2}(S̄, 𝒱) → H^{2}(S̃, 𝒱) → H^{2}(S^{∞}, 𝒱) → 0.

Diese exakte Sequenz ist Gal(Q̄/Q)-äquivariant und besitzt eine Gal(Q̄/Q)-äquivariante Zerfällung durch

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} H_{S_{∞}}^{2}(S̃, 𝒱) H^{2}(S̃, 𝒱)  ∼  H^{2}(S^{∞}, 𝒱) → 0.

Beweis. (I) Für i = 0 ist offenbar

H^{0}(S̃, j_{∗}𝒱) ⟶^{∼} H^{0}(S, 𝒱) = H^{0}(S̄, 𝒱).

Die Leray-Spektralsequenz für j liefert eine exakte Sequenz

0 → H^{1}(S̃, j_{∗}𝒱) → H^{1}(S, 𝒱).

Wegen 1.9 ist H^{1}(S, 𝒱) = H^{1}(S, 𝒱) = 0. Daraus folgt die Behauptung für i = 1. Sie besagt

H^{1}(S, 𝒱) = 0 = H^{1}(S̃, 𝒱).

Die Behauptungen bezüglich i = 3, 4 folgen jetzt aus der Poincarédualität.

(II) Wir benutzen den in 1.8 gegebenen Ausdruck für H^{2}(S̄, 𝒱). Wegen (I) erhalten wir eine exakte Sequenz

0 → H^{1}(S^{∞}, 𝒱) → H_{c}^{2}(S, 𝒱) → H^{2}(S̃, 𝒱) → H^{2}(S^{∞}, 𝒱) → 0.

Wir arbeiten wieder topologisch und benutzen das folgende Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{H^{2}(∂S,𝒱)}^{H^{2}(S^{∞},𝒱)}  ^{0}^{0}  = (5.3.1)  ^{0}  ^{0}  ^{H_{S^{∞}}^{2} (S̃,𝒱)}^{H^{2}(S,𝒱)}^{H^{2}(S̃,𝒱)}^{H_{S^{∞}}^{2} (S̃,𝒱)}  ^{H_{c}^{2}(S,𝒱)}^{H_{c}^{2}(S,𝒱)}^{H^{1}(S^{∞},𝒱)}  ^{H^{1}(∂S,𝒱)}^{0}^{0}^{β}  ^{α_{2}}^{α_{1}}

Hier ist ∂S der Rand einer zweckmäßig gewählen Umgebung von S^{∞}(C) in S̃(C), und α_{1}, α_{2} sind Teil der langen exakten Kohomologiesequenz

(5.3.2)  \begin{matrix}0 = H_{S^{∞}}^{1}(S̃, 𝒱) & ⟶ H^{1}(S^{∞}, 𝒱) ⟶^{α_{1}} H^{1}(∂S, 𝒱) ⟶ H_{S^{∞}}^{2}(S̃, 𝒱) \\ ⟶ H^{2}(S^{∞}, 𝒱) & ⟶^{α_{2}} H^{2}(∂S, 𝒱) ⟶ H_{S^{∞}}^{3}(S̃, 𝒱) ⟶ H^{3}(S^{∞}, 𝒱) = 0. \end{matrix}

Die zweite Null erscheint aus Dimensionsgründen, die erste wegen des Verschwindens von H^{1}(S̃, 𝒱). Die Behauptung (II) folgt offenbar aus den folgenden beiden Aussagen:

(a) Der Restriktionshomomorphismus H^{2}(S̃, 𝒱) → H^{2}(S, 𝒱) induziert einen Isomorphismus

Im(H_{c}^{2}(S, 𝒱) → H^{2}(S̃, 𝒱)) → Im(H_{c}^{2}(S, 𝒱) → H^{2}(S, 𝒱)).

(b) Der Homomorphismus β ist ein Isomorphismus. Es genügt zu zeigen, daß α_{1} surjektiv ist und α_{2} Null. Wir dürfen dabei S^{∞} durch eine seiner

Zusammenhangskomponenten S^{∞}(s) ersetzen. Der Einfachheit halber unterdrücken wir das s.

Wie bei dem Beweis von 5.2 ist eine tubulare Umgebung von S^{∞}(C) in S(C) von einem Gebiet in ℌ×ℌ überlagert. Die Überlagerungsgruppe ist ein Quotient von B(s), das in GL(2, R)×GL(2, R) eingebettet wird.

b → ( \begin{matrix}β_{1}(b) & α_{2}(b) \\ 0 & γ_{1}(b) \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}β_{2}(b) & α_{2}(b) \\ 0 & γ_{2}(b) \end{matrix} ) ,

wobei β_{1}(b), β_{2}(b) und γ_{1}(b), γ_{2}(b) konjugierte Einheiten aus 𝒪_{F} sind. Den Rand ∂S erhält man, indem man ε ≫ 0 fixiert und den Quotienten der Mannigfaltigkeit

{(z_{1}, z_{2})|Im z_{1} · z_{2} = ε}

nach B(s) bildet. Da man erst durch N(s) und danach durch M(s) teilen kann, sieht man leicht ein, daß ∂S ein Torusbündel mit zwei-dimensionalen Fasern über dem Kreisrand ist.

T → ∂S → C.

Kein Vektor aus H^{1}(T, 𝒱) ist von der Fundamentalgruppe von C fixiert [14]. Infolgedessen ist

H^{0}(C, H^{1}(T, 𝒱)) = H^{1}(C, H^{1}(T, 𝒱)) = 0,

und die Leray-Spektralsequenz ergibt

H^{1}(∂S, 𝒱) = H^{1}(C, H^{0}(T, 𝒱)) und H^{2}(∂S, 𝒱) = H^{0}(C, H^{2}(T, 𝒱)),

also

dim H^{1}(∂S, 𝒱) = dim H^{2}(∂S, 𝒱) = 1.

Nach (5.3.2) genügt es zu zeigen:

(c) dim H^{1}(S^{∞}, 𝒱) ≠ 0,

(d) dim H_{S^{∞}}^{3}(S, 𝒱) ≠ 0.

Der topologische Raum S^{∞}(C) ist die Vereinigung einer Kette von Kugeln. Zwei benachbarte Kugeln schneiden sich in einem Punkt. Es sei S^{∞′}(C) das Komplement dieser singulären Punkte und j′′ die Einbettung von S^{∞′}(C) in S^{∞}(C). Nach 5.2 und seinem Beweis besitzt die Garbe 𝒱 auf S^{∞}(C) eine Filtrierung

0 ⫅ 𝒱_{0} ⫅ 𝒱_{1} ⫅ ⋯ ⫅ 𝒱_{m^{2}} = 𝒱,

wobei 𝒱_{0} die 1-dimensionale konstante Garbe ist und 𝒱_{i}/𝒱_{i−1}, i > 0, das Bild einer lokal konstanten 1-dimensionalen Garbe auf S′^{∞}(C) unter j′′_{!}. Wir folgen unschwer, daß H^{0}(S^{∞}, 𝒱/𝒱_{0}) = 0, und daß

0 → H^{1}(S^{∞}, 𝒱_{0}) → H^{1}(S^{∞}, 𝒱)

exakt ist. Damit ist (c) bewiesen. Da das Verdier-Duale zu 𝒱 = 𝒱_{μ} bis auf Verschiebung und Twistung gleich 𝒱μ̃ ist, wobei μ̃ die zu μ kontragrediente Darstellung bezeichnet, folgt (d) aus (c) mittels der Poincarédualität.

5.4 Bemerkung. Die Behauptung (II) von 5.3 wurde für den Spezialfall der konstanten Garbe als Lemma 2.3 formuliert. Für diesem Spezialfall gibt es einen einfacheren Beweis. Der gestrichelte Pfeil ist die direkte Summe von Abbildungen, die durch die Spitzen parametrisiert werden und die wir als Isomorphismus nachweisen müssen,

H_{S^{∞}(s)}^{2}(S̃) → H^{2}(S^{∞}(s)).

Man überzeugt sich leicht, daß Start und Ziel dieses Pfeils eine direkte Summe von Kopien von Q_{l}(−1) sind, die von den irreduziblen Komponenten der exzeptionellen Kurve S^{∞}(s) indiziert werden und daß die Abbildung durch die Schnittmatrix vermittelt wird. Die Behauptung folgt, weil die Schnittmatrix, die durch die Auflösung der Spitze s der normalen Fläche S̄_{K} entsteht, negativ definit ist.

Wir benötigen noch die folgende Aussage:

5.5 Proposition. Es sei S_{i}^{∞} eine irreduzible Komponente von S^{∞}(s). Dann gilt:

(i) H^{0}(S_{i}^{∞}, 𝒱) ist ein-dimensional, (ii) H^{1}(S_{i}^{∞}, 𝒱) = 0.

Beweis. Die erste Aussage ist bereits klar. Für die zweite Behauptung benutzen wir die exakte Sequenz

0 → H^{0}(S_{i}^{∞}(C), 𝒱) → H^{0}(Q, 𝒱) → H_{c}^{1}(S_{i}^{∞′}(C), 𝒱) → H^{1}(S_{i}^{∞}(C), 𝒱) → 0,

wobei Q = S_{i}^{∞}(C) − S_{i}^{∞′}(C) aus zwei Punkten besteht. Der erste Raum ist eindimensional und der zweite zwei-dimensional. Der dritte ist ein-dimensional, weil die Einschränkung von 𝒱 auf S_{i}^{∞′} durch eine Darstellung der Fundamentalgruppe definiert ist, und die Räume der Invarianten und Koinvarianten der Darstellung beide die Dimension 1 haben. q.e.d.

§6. ENDE DES BEWEIS VON SATZ 2.4: ANWENDUNG DER LEFSCHETZ’SCHEN FIX-PUNKTFORMEL

Um die Lefschetz’sche Fixpunktformel aus SGA 5, III anwenden zu können, müssen wir die Heckekorrespondenzen auf S̃_{K} einführen.

Es seien ganz allgemein X_{1} und X_{2} zwei Schemata (separiert, von endlichem Typ) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Es sei X = X_{1} × X_{2}. Wir betrachten ein Cartesisches Diagramm, in dem alle Morphismen eigentlich sind.

\begin{matrix}E & ⟶ & D \\ ↓ & & ↓_{d} \\ C & \overrightarrow{c} & X \end{matrix}

Wir bezeichnen mit einem Index die Verkettungen dieser Morphismen mit den Projektionen p_{1} und p_{2} von X auf X_{1} und X_{2}, z.B. c_{1} = p_{1} ∘ c. Schließlich fixieren wir L_{i} ∈ D_{ctf}(X_{i}, Q_{l}), der triangulierten Kategorie der Komplexe von Q_{l}-Garben mit konstruierbarer Kohomologie.

Die Fixpunktformel bezieht sich auf zwei kohomologische Korrespondenzen, eine kohomologische Korrespondenz mit Trägern in C von L_{1} nach L_{2}

u ∈ Hom(c_{i}^{∗}L_{1}, Rc_{2}^{!}L_{2})

und eine kohomologische Korrespondenz mit Trägern in D von L_{2} nach L_{1}

v ∈ Hom(d_{2}^{∗}L_{2}, Rd_{1}^{!}L_{1}).

Diese definieren Homomorphismen in der Kohomologie

\begin{matrix}u_{∗} : H_{c}^{∗}(X_{1}, L_{1}) → H^{∗}(X_{2}, L_{2}), \\ v_{∗} : H_{c}^{∗}(X_{2}, L_{2}) → H^{∗}(X_{1}, L_{1}), \end{matrix}

die sich in natürlicher Weise über H_{c}(X_{2}, L_{2}) bzw. H_{c}(X_{1}, L_{1}) faktorisieren, wenn c_{1} bzw. d_{2} eigentlich ist.

Es sei c_{2} endlich und von endlicher Tor-Dimension (z.B. flach). Dann definiert ein Element ϕ ∈ Hom(c_{1}^{∗}L_{1}, c_{2}^{∗}L_{2}) eine kohomologische Korrespondenz mittels Verkettung mit dem durch Adjunktion aus dem Spurhomomorphismus c_{2!}c_{2}^{∗}L_{2} → L_{2} erhaltenen Homomorphismus c_{2}^{∗}L_{2} → c_{2}^{!}L_{2}. Eine auf solchem Wege definierte Korrespondenz nennen wir eine Korrespondenz erster Art. Wir benötigen die folgende Aussage. Es sei X′_{i} ein abgeschlossenes Unterschema von X_{i}, i = 1, 2, und es seien C′ = C ×_{X} (X′_{1} × X′_{2}), C′_{i} = C ×_{X_{i}} X′_{i}. Wir setzen voraus, daß C′_{2} = C′. Offenbar ist c′ : C′ → X′_{1} × X′_{2} definiert.

Wenn L′_{i} die Einschränkung von L_{i} auf X′_{i} ist, so definiert ϕ ein Element ϕ′ ∈ Hom (c′_{1}^{∗}L′_{1}^{∗}, c′_{2}^{∗}L′_{2}), und somit, weil c′_{2} wieder von endlicher Tor-Dimension ist, eine kohomologische Korrespondenz u′ von L′_{1} nach L′_{2}. Wegen der Verträglichkeit des Spurhomomorphismus mit Basiswechsel (GSA 4, XVII, 6.2.3) gilt:

6.1 Lemma. Das Diagramm

H_{c}^{∗}(X_{1}, L_{1}) ⟶^{u_{∗}} H^{∗}(X_{2}, L_{2})
↓ ↓
H_{c}^{∗}(X′_{1}, L′_{1}) \overrightarrow{u′_{∗}} H^{∗}(X′_{2}, L′_{2})

ist kommutativ.

Wir nehmen als nächstes an, daß X_{1} und X_{2} glatte Schemata derselben Dimension sind und daß die Morphismen d_{i} : D → X_{i} birational sind. Es sei U ⊂ D ein dichtes offenes Unterschema, das sich unter d_{i} isomorph auf sein Bild projiziert. Wir haben also ein Diagramm folgender Art:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{j_{1}}  ^{d_{2}}^{j}^{d_{1}}  U D  ^{j_{2}} X_{2} X_{1}

Wir nehmen an, daß L_{1} und L_{2} quasiisomorph zu den intermediären Erweiterungen ein und derselben lokal konstanten Garbe L auf U sind, und daß folgende intermediäre direkte Bilder mit den gewöhnlichen direkten Bilden übereinstimmen:

j_{1!∗}DL, j_{!∗}L, j_{!∗}DL, j_{2!∗}L.

Hier ist DL das Duale von L i.S. der Poincarédualität (Verdier-Duales). Wir definieren eine kohomologische Korrespondenz v von L_{2} nach L_{1} als Verkettung von zwei Homomorphismen:

d_{2}^{∗}L_{2} = d_{2}^{∗}j_{2∗}L → j_{∗}L → Rd_{1}^{!}L_{1} = Rd_{1}^{!}j_{1!∗}L.

Hier ist der erste Homomorphismus der offensichtliche, während der zweite durch Dualisieren aus dem folgenden Homomorphismus entsteht:

DRd_{1}^{!}j_{1!∗}L = d_{1}^{∗}Dj_{1!∗}L = d_{1}^{∗}j_{1!∗}DL = d_{1}^{∗}j_{1∗}DL → j_{∗}DL = j_{!∗}DL = Dj_{!∗}L.

Eine solche Korrespondenz nennen wir Korrespondenz zweiter Art. Im Fall, daß L_{1} und L_{2} die konstante Garbe Q_{l} sind und daß D durch Aufblasen von X_{1} in einem glatten Unterschema entsteht, sieht der Homomorphismus v_{∗} folgendermaßen aus (Y′_{1} bezeichnet den exzeptionellen Divisor):

H^{∗}(X_{2}) ⟶^{d_{2}^{∗}} H^{∗}(D) ≅ H^{∗}(X_{1}) ⊗ H^{∗−2}(Y′_{1})(−1) ⟶^{pr_{1}} H^{∗}(X_{1}).

Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Aussage. Sei ein kommutatives Diagramm gegeben:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} D. D′  U  j′ j  m

wobei m ein birationaler Morphismus ist. Falls wir annehmen, daß j′_{!∗}L = j′_{∗}L und j′_{!∗}DL = j′_{∗}DL, so können wir eine kohomologische Korrespondenz zweiter Art v′ einführen. Für die induzierten Homomorphismen auf der Kohomologie gilt:

6.2 Lemma. v′_{∗} = v_{∗}. Genauer ist das Bild auf D der kohomologischen Korrespondenz v′ mit Trägern in D′ (SGA 5, III, 3.2) gleich v:

m_{∗}(v′) = v.

Wenn D gleich X_{1} und d_{1} die Identität ist, so braucht man Glattheit nicht mehr vorauszusetzen, und die Korrespondenz zweiter Art ist auch erster Art (allerdings in umgekehrter Richtung) und entspricht dem Homomorphismus ψ : d_{2}^{∗}L_{2} → L_{1} = j_{∗}L. Wenn eine Korrespondenz erster Art (C′, ϕ′) von (X_{3}, L_{3}) nach (X_{2}, L_{2}) gegeben ist, so können wir deren Verkettung (C′′, ϕ′′) bilden. Dabei ist ϕ′′ = ψ ∘ ϕ′ und C′′ durch das Cartesische Diagramm definiert (SGA 5, III, 5.2):

C′′  ⟶  C′ × D
↓  ↓
X_{3} × Δ × X_{1} ⟶ X_{3} × X_{2} × X_{2} × X_{1}.

Falls d_{2} eigentlich ist, so gilt u′′_{∗} = v_{∗} ∘ u′_{∗}.

Wir kehren jetzt zu der uns interessierenden Situation zurück und fixieren ein g ∈ G(A_{f}^{p}). Wir werden ein Paar kohomologischer Korrespondenzen konstruieren. Dabei ist X_{1} gleich S̃_{K,Σ_{1}} und X_{2} gleich S̃_{K,Σ_{2}}, wobei Σ_{1} wie im §1 eine gegebene K-zulässige Zerlegung ist, während Σ_{2} noch zu wählen ist.

Es sei s eine Spitze (vgl. 1.2). Die Transformierte von s unter g ist die Spitze s · g, die man erhält, indem man den Homomorphismus ϕ(s) nach A_{f}(F)^{2} durch g^{−1} · ϕ(s) ersetzt. Die Zerlegung Σ_{1}(s) liefert somit eine Zerlegung für s · g die aber vielleicht nicht zulässig ist, weil die “Glattheitsbedingungen” c) und d) in der Definition 1.4 verletzt sein können, die wir aber in eine zulässige Zerlegung Σ_{2}(sg) verfeinern können. Wir können sogar annehmen, daß die Vereinigung Σ_{2} = {Σ_{2}(s)} K-zulässig ist.

Es sei K′ = K ∩ gKg^{−1}. Jede K′-Spitze s′ bestimmt zwei K-Spitzen s = s′ une s′ · g. Aus der Zerlegung Σ_{2}(s′g) erhalten wir eine Zerlegung Σ′(s′) für s′. In der Tat ändern sich beim Übergang von s′ zu s′g der Vektorraum H(s′) und seine Positivität nicht. Weil aber im allgemeinen N(s′g) ≠ N(s′), ist Σ′(s′) vielleicht nicht zulässig. Trotzdem können wir das Schema C = S̃_{K′,Σ′} bilden [27], das aber nicht mehr glatt zu sein braucht. Wegen der Inklusionen N(s′) ⊂ N(s), N(s′) ⊂ N(s′g) und weil Σ′ eine Verfeinerung von Σ_{1} bzw. Σ_{2} ist, erhalten wir Morphismen

c_{1} = R(1) : C → X_{1}, c_{2} = R(g) : C → X_{2}.

Dabei ist c_{2} endlich und flach.

Über dem “endlichen Teil” S_{K′} wird der Homomorphismus

ϕ(g) : R(1)^{∗}𝒱 ⟶ R(g)^{∗}𝒱

wie in [22] oder [8] definiert. Wir bezeichnen mit demselben Symbol 𝒱′ das lokale System auf S_{K′}, und seine intermediäre, d.h. nach 5.1 gewöhnliche, Erweiterung auf S̃_{K′,Σ′}. (Obgleich S̃_{K′,Σ′} nicht notwendig glatt ist, sind die Singularitäten doch so mild (Quotientensingularitäten), daß sich die Ergebnisse des §5 anwenden lassen.) Wir erweitern den Homomorphismus ϕ(g) auf ganz S̃_{K′,Σ′}, indem wir ihn als Verkettung schreiben:

R(1)^{∗}𝒱 ⟶ 𝒱′ ⟶ R(g)^{∗}𝒱.

Der erste Homomorphismus entsteht wie bei der Definition einer kohomologischen Korrespondenz zweiter Art. Seine Einschränkung auf S_{K′} ist die Identität. Für die Definition des zweiten Homomorphismus beachtet man, daß, weil R(g) endlich und flach ist,

j′_{∗}R(g)^{∗}𝒱 ˜→ R(g)^{∗}j_{∗}𝒱,

und somit der Funktor des direkten Bildes den über dem endlichen Teil gegebenen Homomorphismus ϕ(g) erweitert. Insgesamt haben wir eine kohomologische Korrespondenz erster Art u erhalten.

Es sei Σ eine gemeinsame K-zulässige Verfeinerung von Σ_{1} und Σ_{2}. Wir setzen

D = S̃_{K,Σ}, D → S̃_{K,Σ_{1}} × S̃_{K,Σ_{2}}.

Wegen 5.1 können wir eine kohomologische Korrespondenz zweiter Art v mit Trägern in D definieren. Wir erhalten einen Endomorphismus von H^{∗}(S̃_{K,Σ_{1}}, 𝒱):

H^{∗}(S̃_{K,Σ_{1}}, 𝒱) ⟶^{u_{∗}} H^{∗}(S̃_{K,Σ_{2}}, 𝒱) ⟶^{v_{∗}} H^{∗}(S̃_{K,Σ_{1}}, 𝒱).

Der Untermodul H^{∗}(S̃_{K}, 𝒱) von H^{∗}(S̃_{k,Σ_{1}}, 𝒱) (vgl. 5.3) wird dabei in sich überführt, und der so erhaltene Endomorphismus stimmt mit dem von Brylinski und Labesse [8] definierten überein: es ist der Heckeoperator T (g^{−1}). Wir erhalten einen Endomorphismus auf dem Quotienten (vgl. 5.3)

H^{2}(S_{K,Σ_{1}}^{∞}, 𝒱) = H^{2}(S̃_{K,Σ_{1}}, 𝒱)/H^{2}(S̃_{K}, 𝒱).

Wir behaupten nicht, daß wir auf H(S̃_{K,Σ_{1}}, 𝒱) eine Aktion der Heckealgebra definiert haben und behalten uns das Recht vor, Σ_{1} von g abhängig zu machen und sogar während des Beweises abzuändern. Die Wirkung auf H^{∗}(S̃_{K}, 𝒱) ist von Σ_{1} unabhängig.

Wir haben bisher nicht den Grundkörper explizit genannt. Die auftretenden Schemata sind alle über Z_{(p)} definiert. Wegen der Bemerkungen über Basiswechsel nach der Formulierung von 5.2 können wir zur speziellen Faser übergehen. Obgleich es auf die allgemeine Faser ankommt, ist der Vorteil der, daß die Aktion einer negativen Potenz der Frobeniussubstitution auf der Kohomologie von der Wirkung einer positiven Potenz Φ^{n} des Frobeniusmorphismus herkommt. Man baut das Φ^{n} leicht in die Definition der kohomologischen Korrespondenz u ein, indem man R(g) durch R(g)Φ^{n} ersetzt und den Homomorphismus ϕ(g) entsprechend abändert. Ab jetzt ist der Grundkörper ein algebraischer Abschluß von F_{p}.

Wir wollen die Lefschetz’sche Fixpunktformel anwenden. Es sei K_{E} der dualisierende Komplex auf E (vgl. SGA 5, III, 1.3). Man kann das Cupprodukt

⟨u, v⟩_{E} ∈ H^{0}(E, K_{E})

zweier kohomologischer Korrespondenzen definieren (loc. cit 4.2). Hier ist E = C ×_{X} D. Falls q : E → Spec k eigentlich ist, so definiert der Adjunktionshomomorphismus q : K_{E} → Q_{l} den Spurhomomorphismus

∫_{E} : H^{0}(E, K_{E}) → Q_{l}.

6.3 Satz. Es seien X_{1} und X_{2} eigentlich über Spec k, so daß die Homomorphismen u_{∗} und v_{∗} auf der gesamten Kohomologie definiert sind, und insbesondere

v_{∗}u_{∗} : H^{∗}(X_{1}, L_{1}) → H^{∗}(X_{1}, L_{1}).

Für ⟨u_{∗}, v_{∗}⟩, die alternierende Summe der Spuren von v_{∗}u_{∗}, gilt:

⟨u_{∗}, v_{∗}⟩ = ∫_{E}⟨u, v⟩_{E}.

Falls E die disjunkte Vereinigung von E′ und E′′ ist, so ist

∫_{E}⟨u, v⟩_{E} = ∫_{E′}⟨u, v⟩_{E′} + ∫_{E′′}⟨u, v⟩_{E′′}.

Das Cupprodukt läßt sich lokal in der Etaltopologie berechnen (loc. cit., 4.2). In dem uns interessierenden Fall ist die Fixpunktmenge E des Paares u, v eine Vereinigung von zwei Mengen: einer endlichen Menge von Punkten, deren Bild in S_{K} ×S_{K} liegt und einem Bestandteil E^{∞}, dessen zugrundeliegende Menge in S_{K,Σ_{1}}^{∞} × S_{K,Σ_{2}}^{∞} liegt. Wir betrachten nur den Beitrag von E^{∞} zur Lefschetz’schen Fixpunktformel, d.h. den Spitzenbeitrag. Für den anderen Teil vgl. [8] oder [23] (wo aber keine Heckeoperatoren auftauchen). Unser Ziel ist es, den Beweis des folgenden Satzes zu skizzieren, der im wesentlichen besagt, daß der Spitzenbeitrag zur Lefschetz’schen Fixpunktformel für die Schnittkohomologie verschwindet.

6.4 Satz. ∫_{E^{∞}}⟨u, v⟩_{E^{∞}} ist gleich der Spur von T (g^{−1}) · Φ^{n} auf H^{2}(S_{K,Σ_{1}}^{∞}, 𝒱).

Aus diesem Satz folgt 2.4′: Falls man die linke Seite der behaupteten Identität mit der Lefschetz’schen Fixpunktformel und die rechte Seite mit der Selberg’schen Spurformel entwickelt, so hebt sich der Beitrag der Fixpunkte im Endlichen links gegen die zentralen und elliptischen Beiträge rechts auf. Weil der parabolische Beitrag rechts verschwindet, folgt 2.4′ aus 6.4 (für Einzelheiten vgl. [8]).

Das Schema E^{∞} ist eine disjunkte Vereinigung ∐ E(s′) und dementsprechend

(6.4.1)  ∫_{E^{∞}}⟨u, v⟩_{E^{∞}} = ∑ ∫_{E(s′)}⟨u, v⟩_{E(s′)}.

Die Summe erstreckt sich über alle Fixspitzen, d.h. diejenigen Spitzen s′, für die s′ und Φ^{n} · s′ · g äquivalente K-Spitzen sind. Wir wollen die Form der Korrespondenzen in der Nähe einer Fixspitze beschreiben.

Falls s′ dem Modul H(s′) und dem Homomorphismus ϕ(s′) entspricht, so entspricht die Spitze Φ^{n} · s′ · g dem Modul H(s′) und dem Homomorphismus

g^{−1} · ϕ(s′) · ψ,

vobei (vgl. 1.3)

ψ : h′ ⊕ h′′ → p^{−n} · h′ ⊕ h′′.

Weil s′ eine Fixspitze ist, gibt es einen Endomorphismus γ von

0 → H′(s′) → H(s′) → H′′(s′) → 0,

der die Positivität erhält und ein k ∈ K, so daß

(6.4.2)  k^{−1} · g^{−1} · ϕ(s′) · ψ · γ = ϕ(s′).

Es seien a und d die Eigenwerte von γ auf H′(s′) und H′′(s′), und μ(γ) = \frac{a}{d}. Dann ist μ^{−1}(γ) · N(s′g) = N(s) und μ^{−1}(γ) · N(s′) ⊂ N(s). Es sei Σ′_{2}(s) = μ(γ)^{−1} · Σ_{2}(s′g). Hier bezeichnet s die zu s′ gehörige K-Spitze. Die zwei Zerlegungen Σ_{1}(s) und Σ′_{2}(s) definieren wie in §1 toroidale Einbettungen X̃_{1}, X̃_{2} des Torus mit dualer Charaktergruppe N(s). Entsprechend definiert Σ′(s′) eine toroidale Einbettung C̃ des zu N(s′) gehörigen Torus und die Inklusionen N(s′) → N(s), μ^{−1}(γ) : N(s′) → N(s) definieren einen Morphismus

c̃: C̃ → X̃_{1} × X̃_{2}.

Lokal für die Etaltopologie stimmen c und c̃ überein. Die Lokalisierung

d̃: D̃ → X̃_{1} × X̃_{2}

ist durch eine gemeinsame Verfeinerung der Zerlegungen Σ_{1}(s) und Σ′_{2}(s) gegeben: D̃, X̃_{1} und X̃_{2} sind toroidale Einbettungen ein und desselben Torus.

Man überzeugt sich unschwer, daß E(s′) leer ist, falls σ ∩ μ^{−1}(δ · γ)σ = ∅ für jeden Kegel σ aus Σ_{1}(s) und jedes δ ∈ B(s). Für festes g und n treten modulo {u(δ)|δ ∈ B(s)} nur eine endliche Anzahl von Zahlen μ(γ) auf. Folglich können wir Σ_{1} von vornherein so wählen, daß gilt:

(6.4.3)  Es seien σ ∈ Σ_{1}(s) und δ ∈ M(s). Aus σ ∩ μ^{−1}(γδ)σ ≠ ∅ folgt μ(δ · γ) ∈ Q^{∗}.

Eine Spitze s′, für die es solche σ und δ gibt, nennen wir wesentlich. Wir können die Summe (6.4.1) auf die wesentlichen Spitzen beschränken. Weil p^{n} · \frac{a}{d} dann eine rationale Zahl ist, die eine p-adische Einheit ist, folgt |a| ≠ |d|.

Die Homomorphismen u_{∗} und v_{∗} operieren auf der Kohomologie mit Trägern, d.h. wenn Y_{1} ⊂ X_{1} ein abgeschlossenes Unterschema ist und die Einschränkung des Morphismus c auf das inverse Bild von Y_{1} in C sich über Y_{1} × Y_{2} ⊂ X_{1} × X_{2} faktorisiert, so ist

u_{∗}(H_{Y_{1c}}^{∗}(X_{1}, L_{1})) ⊂ H_{Y_{2}}^{∗}(X_{2}, L_{2}).

Nach 5.3 können wir den Quotienten H^{2}(S_{K,Σ_{1}}^{∞}, 𝒱) als Untermodul H_{S^{∞}}^{2}(S_{K}, 𝒱) interpretieren. Falls s′ eine Fixspitze über der K-Spitze s ist, so erhalten wir einen Endomorphismus von H_{S^{∞}(s)}^{2}(S_{K,Σ_{1}}, 𝒱), indem wir C durch eine hinreichend kleine Umgebung von S^{∞}(s′) = S_{K′,Σ′}^{∞}(s′) ersetzen. Wir bezeichnen seine Spur mit θ(s′). Dann ist

(6.4.4)  Spur(T (g^{−1}) · Φ^{n}|H^{2}(S_{K,Σ_{1}}^{∞}, 𝒱)) = ∑_{s} ∑_{s′→s} θ(s′).

Die Summe erstreckt sich über alle Fixspitzen, die über einer gegebenen K-Spitze liegen.

6.5 Hilfssatz. H_{S^{∞}(s)}^{2}(S̃_{K,Σ}, 𝒱) ˜→ ⊕ H_{S_{l}^{∞}(S)}^{2}(S̃_{K,Σ}, 𝒱). Dabei durchläuft S_{i}^{∞}(s) die irreduziblen Komponenten von S^{∞}(s).

Das folgt mit der Mayer-Vietoris-Sequenz. Man benutzt, daß bis auf eine Verschiebung und Twistung das Duale D𝒱_{μ} gleich 𝒱μ̃ ist. Aus diesem Hilfssatz folgt, daß θ(s′) = 0, falls s′ nicht wesentlich ist. Der Satz 6.4 folgt somit aus folgender Aussage.

6.6 Satz. Es sei s′ wesentlich. Dann ist

θ(s′) = ∫_{E(s′)} ⟨u, v⟩_{E(s′)}

Wir betonen, daß die linke Seite nur von der strikten Lokalisierung um S^{∞}(s′) und S^{∞}(s), genauer um S_{K,Σ}^{∞}(s′), S_{K,Σ_{1}}^{∞}(s) und S_{K,Σ_{2}}^{∞}(s), abhängt. Die rechte Seite hängt nur von der strikten Lokalisierung der Korrespondenzen um die Bilder von E(s′) in C, D und X ab. Das Bild eines Punktes von E in X_{1} nennen wir einen Fixpunkt, das Bild eines Punktes von E(s′) einen Fixpunkt von E(s′). Um den Beitrag eines Fixpunkts von E(s′) zur rechten Seite zu berechnen, können wir X_{1}, X_{2} und die Korrespondenzen durch X̃_{1}, X̃_{2} und C̃, D̃ ersetzen.

Nach 6.2 und den darauffolgenden Bemerkungen dürfen wir dabei die Zerlegungen Σ_{1}(s), Σ_{2}(s), Σ′_{2}(s), Σ(s) abändern. Weil s′ wesentlich ist, können wir annehmen, daß für das in (6.4.2) auftretende γ die Zahl μ(γ) rational ist. Dann ist Σ′_{2}(s) = Σ_{2}(s) und folglich dürfen wir alle Zerlegungen identisch wählen. Dann hat die Korrespondenz C die folgende Gestalt. Falls σ ein Kegel aus Σ(s) ist und x = x_{λ}, y = x_{μ} die entsprechenden Koordinaten, so ist C gegeben durch:

(6.6.1)  x_{2} = x^{δ}, y_{2} = y^{δ}.

Dabei ist μ(γ) = \frac{α}{δ}. Die Fixpunkte in E(s′) sind gegeben durch

x = 0, y^{δ} = y^{α} oder y = 0, x^{δ} = x^{α}.

Sie sind isoliert.

Entsprechende Bemerkungen lassen sich auf die Berechnung von θ(s′) anwenden. Wir können somit annehmen, daß D die Diagonale ist und beide Projektionen von C nach X_{i} endlich. Weil die duale Korrespondenz (im Sinne von SGA 5, III. 5.1) dieselben lokalen Beiträge zur Fixpunktformel liefert, dürfen wir weiterhin annehmen, daß α > δ.

Wir wenden das Lemma 6.1 an mit X′_{i} = S^{∞}(s). Das ist gerechtfertigt, weil α > δ und die abgeschlossenen Unterschemata C′, C′_{1}, C′_{2} von C durch die folgenden Gleichungen definiert sind:

C′ : x^{α} · y^{α} = x^{δ} · y^{δ} = 0,
C′_{1} : x^{α} · y^{α} = 0,
C′_{2} : x^{δ} · y^{δ} = 0.

Somit ist der von θ(s′) auf H^{2}(S^{∞}(s), 𝒱) induzierte Endomorphismus identisch mit dem direkt durch die kohomologische Korrespondenz auf S^{∞}(s) definierten Endomorphismus. Wir ordnen jedem Kegel σ aus Σ_{1}(s) die irreduzible Komponente S^{∞}(σ) von S^{∞}(s) zu, die durch x_{μ} = 0 gegeben ist. Dann ist

H^{2}(S^{∞}(s), 𝒱) = ⊕H^{2}(S^{∞}(σ), 𝒱),

vobei sich die Summe über ein volles Repräsentantensystem von nicht-äquivalenten σ erstreckt. Der Endomorphismus erhält diese Zerlegung. Es sei θ(σ) seine Spur auf H^{2}(S^{∞}(σ), 𝒱). Die alternierende Summe der Spuren des von der kohomologischen Korrespondenz auf der Kohomologie H^{∗}(S^{∞}(σ), 𝒱) definierten Endomorphismus kann mit der Lefschetz’schen Fixpunktformel berechnet werden. Wir bezeichnen mit ε(σ) die Summe der lokalen Beiträge zu

∫_{E(s′)} ⟨u, v⟩_{E(s′)}

derjenigen Fixpunkte, die auf S^{∞}(σ) liegen, und für die x_{μ′} ≠ 0. Hier ist x_{μ′} die entsprechende Koordinate auf dem benachbarten Kegel σ′. Es sei θ(σ) die Summe der lokalen Beiträge zur Lefschetz’schen Fixpunktformel auf S^{∞}(σ) der Punkte mit x_{μ′} ≠ 0. Weil nach 5.5 H^{1}(S^{∞}(σ), 𝒱) = 0, genügt es folgende Aussagen zu beweisen:

(6.6.2)  ε(σ) = θ(σ).

(6.6.3) Der Beitrag des Punkts x_{λ′} = x_{μ′} = 0 zur Lefschetz’schen Fixpunktformel auf S^{∞}(σ) ist gleich der Spur auf H^{0}(S^{∞}(σ), 𝒱).

Nach Erweiterung des Grundkörpers Q finden wir eine Filtration des Raumes V mit 1dimensionalen Quotienten, die invariant under der Aktion von N(s) und von μ(γ) ist. Auf diese Weise erhalten wir eine Filtration der Garbe 𝒱 auf X̃_{1}

0 ⫅ 𝒱_{1} ⫅ 𝒱_{2} ⫅ ⋯ ⫅ 𝒱_{m^{2}} = 𝒱.

Der lokale Beitrag ist die Summe der lokalen Beiträge der graduierten Bestandteile (SGA 5, III, 4.13),

ε(σ) = ∑_{i=1}^{m} ε_{i}(σ), θ(σ) = ∑_{i=1}^{m^{2}} θ_{i}(σ).

Wir wollen zeigen, daß die lokalen Beiträge eines gegebenen Punktes zu ε_{i}(σ) und θ_{i}(σ) übereinstimmen. Auf dem graduierten Bestandteil operiert μ(γ) als Skalar, den wir auf beiden Seiten fallenlassen. Da die Korrespondenz lokal ein Produkt ist, führt man die Berechnung auf Kurven zurück. Weil α > δ, erhalten wir in einem Fixpunkt mit Koordinanten (x_{λ}, x_{μ}):

(1) Es sei 𝒱_{i}/𝒱_{i−1} ≠ 0 im Fixpunkt. Die beiden Beiträge sind δ, wenn x_{μ} = 0, x_{λ} ≠ 0, und δ^{2}, wenn x_{λ} = x_{μ} = 0.

(2) Es sei 𝒱_{i}/𝒱_{i−1} = 0 im Fixpunkt. Die beiden Beiträge sind Null.

Insbesondere sind die Beiträge gleich. Daraus folgt (6.6.2). Für die Aussage (6.6.3) benutzt man noch zusätzlich die in 5.5 durchgeführte Berechnung von H^{0}(S^{∞}(σ), 𝒱).

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Abkürzung :  SGA  4 III  Lecture Notes in Math. 305,
SGA  4 1/2  Lecture Notes in Math. 569,
SGA  5  Lecture Notes in Math. 589.