23 Juin, 1969

Cher Deligne,

D’abord je vais vous expliquer comment se définissent les facteurs locaux du facteur de l’équation fonctionelle des fonctions L d’Artin. Les fonctions L locales L(s, σ) associées á une représentation σ du groupe de Weil S_{K\F} d’une extension galoisienne K d’un corps local non archimedien F se définissent par les quatre conditions suivantes.

(i) L(s, σ) ne dépend que de la classe de la représentation σ. (ii) Si σ est de degré 1 et donc associé à un quasi-caractère χ du groupe multiplicatif F^{×} de F on a

L(s, σ) = L(s, χ).

Si χ est ramifié on a L(s, χ) = 1 mais si χ est non ramifié et ϖ est une uniformisante de 𝔓_{F} alors on a

L(s, χ) = \frac{1}{1 − χ(ϖ)|ϖ|^{s}} .

(iii) L(s, σ_{1} ⊕ σ_{2}) = L(s, σ_{1})L(s, σ_{2}). (iv) Si F ⊆ E ⊆ K et si σ est la représentation de W_{K/F} induite par la représentation ρ de W_{K/L} on a

L(s, ρ) = L(s, σ).

Les functions L locales pour un corps archimedien ne vous intéressent pas . La function L globale est, bien sûr, le produit des fonctions locales.

Soit F un corps local non archimedien et soit ψ = ψ_{F} un caractère additif non trivial de F. Si E est une extension finie et séparable du corps F soit ψ_{E/F} le caractère de E defini par ψ_{E/F} (x) = ψ_{F} (tr_{E/F} (x))

Si ψ_{E} est un caractère non trivial arbitraire de E soit n = n(ψ_{E}) le plus grand entier tel que la restriction de ψ_{E} à 𝔓_{E}^{−n} soit triviale. Si χ_{E} est un quasi-caractère de E^{×} soit m = m(χ) l’ordre du conducteur de χ_{E}. Si U_{E} est le groupe des unités de O_{E}, l’anneau des entiers de E, et si O_{E}γ = 𝔓_{E}^{m+n} soit

Δ(χ_{E}, ψ_{E}) = χ_{E}(γ)\frac{∫_{U_{E}} ψ_{E}(\frac{α}{γ})χ_{E}^{−1}(α)dα}{| ∫_{U_{E}} ψ_{E}(\frac{α}{γ})χ_{E}^{−1}(α)dα|}

Δ(χ_{E}, ψ_{E}) ne dépend pas du choix de γ.

On a le théorème suivant.

Théorème. Soit F un corps local archimedien et soit ψ_{F} un caractère additif non trivial de F. Alors il est possible, d’une manière unique, d’associer à chaque extension finie et séparable E de F un nombre complexe λ(E/F, ψ_{F}) et à chaque représentation σ du groupe de Weil de E un nombre complexe ϵ(σ, ψ_{E/F}) de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées:

(i) ϵ(σ, ψ_{E/F}) ne dépend que de la classse de la représentation σ. (ii) Si σ est de degré 1 et correspond au quasi-caractère χ_{E} on a

ϵ(σ, ψ_{E/F}) = Δ(χ_{E}, ψ_{E/F})

(iii) ϵ(σ_{1} ⊕ σ_{2}, ψ_{E/F}) = ϵ(σ_{1}, ψ_{E/F})ϵ(σ_{2}, ψ_{E/F}) (iv) Si F ⊆ E et si σ est la représentation du groupe de Weil de F induite par la représentation ρ du groupe

de Weil de E on a

ϵ(σ, ψ_{F}) = ϵ(ρ, ψ_{E/F})λ(E/F, ψ_{F})^{dim ρ}

Ce théorème est bien sûr valable aussi pour les corps archimediens. Soit α_{F}^{s} le quasi-caractère a → |a|_{F}^{s} de F^{×} et, si σ est une représentation du groupe de Weil de F, soit

ϵ(s, σ, ψ_{F}) = ϵ(α_{F}^{s−1/2} ⊗ σ, ψ_{F})

Si F est un corps global soit ψ_{F} un caractère non trivial de groupe 𝔸/F. Pour toute place v de F soit ψ_{F_{v}} la restriction de ψ_{F} à F_{v}. Toute représentation σ du groupe de Weil de F détermine une représentation σ_{v} du groupe de Weil de F_{v}. Soit

L(s, σ) = ∏_{v} L(s, σ_{v})

et soit

ϵ(s, σ) = ∏_{v} ϵ(s, σ_{v}, ψ_{F_{v}}).

C’est le product de tous les facteurs locaux. Il ne dépend pas du choice de ψ_{F}. Si σ̃ est la représentation contragrédiente à σ, l’équation functorielle s’écrit comme

L(s, σ) = ϵ(s, σ)L(1 − s, σ̃).

Considérons encore les corps locaux. Il est possible de définer le conducteur d’Artin de chaque représentation σ et d’écrire

ϵ(s, σ, ψ_{F}) = ϵ(σ, ψ_{F})|ϖ|^{(m(σ)+n(ψ_{F}) dim σ)(s−1/2)},

où m(σ) est l’ordre du conducteur di σ. Si ρ = χ est une représentation de degré 1 et si m(ρ) = 0, c’est à dire si χ est non ramifié, soit χ(ϖ) = |ϖ|^{s_{1}}. On a

ϵ(s, ρ ⊗ σ, ψ_{F}) = ϵ(s + s_{1}, σ, ψ_{F}) = χ(ϖ)^{(m(σ)+n(ψ_{F}) dim σ)}ϵ(s, σ, ψ_{F}).

Donc, par la troisiéme condition, si ρ est une représentation de degré arbitraire et si m(ρ) = 0 on a

ϵ(s, ρ ⊗ σ, ψ_{F}) = (detρ(ϖ))^{(m(σ)+n(ψ_{F}) dim σ)}ϵ(s, σ, ψ_{F})^{dim ρ}.

Si s = 1/2 ceci s’écrit

ϵ(s, ρ ⊗ σ, ψ_{F}) = (detρ(ϖ))^{(m(σ)+n(ψ_{F}) dim σ)}ϵ(σ, ψ_{F})^{dim ρ}.  (∗)

Si σ est la représentation triviale on obtient

ϵ(ρ, ψ_{F}) = (detρ(ϖ))^{n(ψ_{F})}

et la formula (∗) s’écrit

ϵ(ρ ⊗ σ, ψ_{F}) = ϵ(ρ, ψ_{F})^{dim σ}ϵ(σ, ψ_{F})^{dim ρ}(detρ(ϖ))^{m(σ)},  (∗∗)

où detρ est une représentation de degré 1 et donc un quasi-caractére.

Soient maintenant ρ et σ deux représentations globales. Nous supposons que leurs conducteurs sont disjoints. Vous avez écrit (peut-être par mégard) que les conducteurs de ρ et de ρ ⊗ σ étaient disjoints. Soit

\begin{aligned}ϵ(σ) & = Π_{v}ϵ(σ_{v}, ψ_{F_{v}}) \\ ϵ(ρ) & = Π_{v}ϵ(ρ_{v}, ψ_{F_{v}}) \\ ϵ(ρ ⊗ σ) & = Π_{v}ϵ(ρ_{v} ⊗ σ_{v}, ψ_{F_{v}}) \end{aligned}

Si ϖ_{F_{v}} est une uniformisante de F_{v}, et ψ_{v} est la substitution de Frobenius, et si ρ_{v} est non ramifié nous pouvons écrire

detρ_{v}(ϖ_{F_{v}}) = det(ρ_{v}(φ_{v})).

Il résulte de la formule (**) que

ϵ(ρ ⊗ σ) = ϵ(ρ)^{dim σ}ϵ(σ)^{dim ρ} { ∏_{m(ρ_{v})>0} detσ_{v}(ψ_{v})^{m(ρ_{v})}} { ∏_{m(σ_{v})>0} detρ_{v}(ψ_{v})^{m(σ_{v})}} .

Est-ce que ceci est la formule que vous vouliez. Je ne suis pas sûr.

J’espère que vous m’enverrez des exemplaires de vos écrits sur la conjecture de Ramanujan et sur d’autres questions.

Bien à vous

R. Langlands