DES TRACES STABLE

LES DÉBUTS D'UNE FORMULE

DES TRACES STABLE^{†}

by R. P. Langlands

† Appeared originally in the series Publications mathématiques de l'Université Paris VII

Avant-Propos

Bien qu'une formule des traces stable générale n'existe pas encore, des cas particuliers ont été établis et les efforts faits pour la prouver ont mené à d'autres recherches moins provisoires. Il n'est peut-être pas tout à fait inutile d'en motiver l'étude. C'est le but de ces notes, qui ont pour origine des conférences données à l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles au printemps l980 et je voudrais remercier M.-F. Vigneras de m'avoir donné l'occasion de réfléchir encore sur ces problèmes. Une partie des notes a été rédigée ensuite pendant un séjour à l'Université de Bonn sous l'égide du SFB et je voudrais remercier tout son équipe, mais surtout G. Harder, de son hospitalité. Je tiens aussi à exprimer ma reconnaissance à J.-P. Labesse pour l'aide et l'encouragement qu'il m'a apportés.

Présentation

En principe la formule des traces exprime la trace comme une somme sur les classes de conjugaison d'un groupe G(F), F étant un corps global et G un groupe réductif. Donc si l'on veut par exemple comparer la trace pour un groupe quasi-déployé G^{∗} et pour une forme intérieure G comme on l'a fait dans [7] il faut trouver une application naturelle de l'ensemble des classes de conjugaison de G(F) dans celui des classes de G^{∗}(F), ce qui est en général impossible.

En revanche, si on passe aux classes de conjugaison stables une telle application existe et est facile à définir. Par conséquent pour imiter les méthodes de [7] il faut d'abord trouver une formule des traces qui s'exprime comme somme sur les classes de conjugaison stables, ce que j'appelle une formule stable. Une telle formule est ébauchée dans ces notes, mais avec de grandes et importantes lacunes.

Pour motiver son introduction nous commençons dans le Chapitre 1 par le groupe SL(2), qui a été traité d'une façon impitoyablement détaillée dans [13]. On rappelle rapidement le principe de fonctorialité, et après avoir formulé les résultats locaux nécessaires, on donne la formule des traces stable pour le groupe SL(2) avec une petite application, pour la rendre plus piquante.

Les deux chapitres suivants sont surtout un exposé des travaux de Shelstad. Les groupes endoscopiques sont introduits et le problème du transfert des intégrales orbitales est abordé. Bien que ce soit un des problèmes fondamentaux de la théorie, il n'a été résolu que pour les groupes réels.

C'est la différence entre conjugaison et conjugaison stable qui donne naissance aux L-paquets. Le chapitre IV contient un aperçu des résultats acquis sur eux jusqu'à présent. Dans le chapitre V quelques applications de la formule des traces sont suggérées.

Alors que les premiers chapitres sont, je l'espère, d'un accès facile, les derniers sont tout à fait techniques et ne peuvent intéresser que des spécialistes. J'y ai fait un effort sérieux pour montrer comment on remanie la formule des traces habituelle afin d'obtenir une formule stable. Les problèmes locaux n'étant pas encore résolus il a fallu admettre comme hypothèse l'existence des facteurs de transfert.

Les remaniements doivent tenir compte du fait qu'un sous-groupe de Cartan de G^{∗} peut “relever” de G localement partout sans en “relever” globalement, ce qui nous force à introduire les invariants des chapitres VI et VII et à développer leurs propriétés, et enfin à admettre des hypothèses locales et globales sur les facteurs de transfert, que pour l'instant seules la cohérence et la nécessité justifient. Le Lemma 7.6 me semble néanmoins ne pas être trivial.

Dans le chapitre VIII, sur la base de ces hypothèse et en négligeant la contribution des pointes nous déduisons une formule des traces stable. Puisque les hypothèses nous permettent de surmonter les problèmes Les Débuts d’une Formule des Traces Stables iii venant des sous-groupes de Cartan de G^{∗} qui ne “relèvent” pas de G le remaniement est assez facile et la seule difficulté sérieuse est de vérifier le Lemma 8.6.

Table des Matieres

I. Introduction 1. Le L-groups

2. Le principe de fonctorialité

3. Le groupe SL(2)

4. Intégrales orbitales

5. Fonctions sphériques

6. La formule des traces stable

7. Application au principe de fonctorialité

II. Groupes endoscopiques 1. Définition

2. La formule des traces stable entrevue

3. Conjugaison stable

4. Construction des données endoscopiques

III. Le transfert d'intégrales orbitales 1. Les facteurs de transfert

2. Quelques résultats de Shelstad

3. Les corps non archimédeans

IV. Les L-paquets 1. Les groupes réels

2. Les groupes non archimédiens

V. Quelques problèmes globaux

VI. Des propriétés supplémentaires locales 1. Rappel des résultats locaux de Poitou-Tate 2. L'invariant θ(E, E′)

3. Des propriétés de l'invariant θ(E, E′)

4. Une hypothèse locale

VII. Des propriétés supplémentaires globales 1. Un lemme préliminaire

2. Rappel des résultats globaux de Poitou-Tate 3. Un lemme important

4. Un invariant global

5. Les tores qui relèvent de G 6 Une observation sur le principe de Hasse 7 Une hypothèse globale VIII. Stabilisation Partielle

1. Une première rèduction

2. Une deuxième réduction

3. Utilisation de l'hypothèse globale

4. Vérification de dernier lemme cohomologique 5. Le problème de convergence

Bibliographie

I. Introduction

Le problème de L-indiscernabilité s'est manifesté pour la première fois dans l'étude des variétés de Shimura où son apparition est assez fâcheuse, parce qu'elle embrouille encore plus des choses déjà difficiles à comprendre. Il semble toutefois que l'on ne peut pas la contourner et qu'elle intervient chaque fois que l'on veut comparer deux formules des traces ou une formule des traces et une formule de Lefschetz. En revanche on pourra peut-être tirer avantage de son apparition dans la théorie des représentations et des formes automorphes pour vérifier le principe de fonctorialité dans un nombre assez grand de cas particuliers.

Mais il y a des choses à souligner avant de commencer. D'abord, quoique ces cas particuliers comprennent des exemples très divers et en toute dimension, on ne réussira jamais avec seulement la L-indiscernabilité à atteindre le but le plus profond du principe de fonctorialité, qui est de remplacer chaque fonction L avec une partie galoisienne, par exemple chaque fonction L d'Artin, par une fonction L entièrement automorphe. Il s'agit donc d'exemples banals, pas dans le sens strict du mot et surtout pas dans un sens dépréciatif, mais dans un sense uniquement technique.

De plus l'idée d'exploiter la L-indiscernabilité exigera de longs efforts pour être menée à bien, et nous n'en sommes qu'aux débuts. Mais on a vérifié assez de théorèmes pour en parler, et ce qui est plus important les problèmes qui s'y posent sont plus terre à terre que la problème général et on peut les aborder dès à présent.

Il faut commencer en rappelant ce qu'est le principe de fonctorialité et en particulier ce qu'est le L-groupe. Ensuite je rappelerai d'une façon assez rapide ce qui se trouve dans l'article de Labesse et moimême [13] parce qu'il est à l'origine des développements ultérieurs, et alors nous pourrons passer dans les chapitres suivants à l'idée générale et aux résultats de Shelstad, Kottwitz, Rogawski.

1. Le L-groupe Un L-groupe est un produit semi-direct d'un groupe algébrique réductif connexe, noté ^{L}G^{0}, et d'un

groupe de Galois, Gal(K/F), ou d’un groupe de Weil. Pour l'instant je préfère prendre ^{L}G^{0} sur C et j'identifie ^{L}G^{0} avec le groupe de ses points complexes. Je préfère aussi prendre un groupe de Galois et je suppose que K est une extension finie de F. Un L-groupe

LG = ^{L}G^{0} ⋊ Gal(K/F)

devient alors un groupe de Lie complexe. A chaque groupe réductif connexe sur F, et noté bien sûr G, est attaché un L-groupe d'une façon que je ne veux pas expliciter maintenant mais pour laquelle je renvoie à mon exposé de Washington ou à l'exposé de Borel au séminaire Bourbaki.

Donnons quelques exemples:

a) l'exemple standard: Soit G le groupe GL(n). Alors ^{L}G^{0} = GL(n, C) et on peut prendre K = F de façon que

LG = GL(n, C)

b) A chaque extension finie E de F on attache un groupe algébrique commutatif réductif connexe E^{∗} sur F tel que le groupe des points de E^{∗} dans F est égal à E^{×}. Le groupe E^{∗} s'obtient à partir de GL(1) en restreignant les scalaires de E à F. Son groupe de poids, X^{∗}(E^{∗}) = Hom(E^{∗}, GL(1)) est isomorphe au module induit Ind(Gal(K/F), Gal(K/E), Z), où K est une extension finie de F contenant E. Le module dual est le module de co-poids X_{∗}(E^{∗}) et

LG = Hom(X_{∗}(E^{∗}), C^{×})

Le groupe Gal(K/F) agit sur X^{∗}(E_{∗}) et X_{∗}(E^{∗}), et par conséquent sur ^{L}G^{0}, on pose

LG = ^{L}G^{0} ⋊ Gal(K/F) .

D'une façon plus concrète, ^{L}G^{0} est le groupe des fonctions sur l'ensemble Gal(K/E) \Gal(K/F) à valeur dans C^{×}. Soit g(ρ) la valeur de g au point ρ. Alors la valeur de σ(g) au point ρ est g(ρσ).

Si le degré de l'extension E/F est n, on a un plongement γ de ^{L}G dans GL(n). Soient ρ_{1}, …, ρ_{n} des représentants à droite de Gal(K/F) modulo Gal(K/E). On envoie g dans ^{L}G^{0} sur la matrice diagonale

( \begin{matrix}g(ρ_{1}) \\ & . & . & . \\ & & & & g(ρ_{n}) \end{matrix} )

Les σ dans Gal(K/F) ⊆ ^{L}G s'envoient sur les matrices de permutation convenables.

c) G soit un groupe spécial unitaire à trois variables ou une forme intérieure d'un tel groupe. G se définit de la façon suivante: on prend une extension quadratique séparable E de F, une algèbre simple M de dimension 9 sur E et une involution α de M de deuxième espèce, de façon que α induise l'automorphisme non-trivial de E sur F et on pose

G = {x ∈ M | α(x) = x^{−1} et Nm x = 1} .

Si M est l'algèbre de matrices de rang 3, alors G est un groupe unitaire ordinaire, mais le cas général présentera des aspects intéressants. La composante connexe ^{L}G^{0} de son L-groupe est P GL(3, C). Le groupe Gal(E/F) = {1, σ} agit sur ^{L}G^{0} en posant (g) = g′ si g est représenté par la matrice A et g′ par la matrice

A′ = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & −1 \\ 1 \end{matrix} )^{t}A^{−1} ( \begin{matrix}& & 1 \\ & −1 \\ 1 \end{matrix} )

On obtient le L-groupe en prenant le produit semi-direct ^{L}G = ^{L}G^{0} × Gal(E/F).

Si on a défini le L-groups de n'importe quel groupe G par rapport à l'extension K et si F ⊂ K ⊂ K′ alors le L-groupe par rapport à K′ se définit comme un nouveau produit semi-direct ^{L}G^{0} ⋊ Gal(K′/F), l'action de Gal(K′/F) sur ^{L}G^{0} étant définie par l'homomorphisme Gal(K/F) → Gal(K′/F). On se réserve toujours le droit de remplacer le corps K par un corps plus grand. Par exemple, si K est n'importe quelle extension galoisienne finie de F alors le L-groupe de GL(n) par rapport à K est le produit direct

GL(n, C) × Gal(K/F) .

Soient ^{L}H et ^{L}G deux L-groupes et ξ la projection naturelle de ^{L}H ou de ^{L}G sur Gal(K/F). Un Lhomomorphisme ψ: ^{L}H → ^{L}G est un homomorphisme de groupes de Lie complexes qui rend commutatif le diagramme suivant

LH ⟶^{ψ}  ^{L}G
↘^{ξ}  ↙_{ξ}
Gal(K/F)

Par exemple si H = E^{∗} et G = GL(n) on peut prendre

ψ(h) = γ(h) × ξ(h)

où γ a été défini en (b) ci-dessus.

d) Soit G un des groupes de (c) et soit H le groupe P GL(2). Son L-groupe par rapport à l'extension E est le produit direct ^{L}H = SL(2, C) × Gal(E/F). On voudrait définir un L-homomorphisme, et même un L-plongement, de ^{L}H dans ^{L}G par

\begin{matrix}ψ: h = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ ^{L}H^{0} ⟶ ( \begin{matrix}a & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & d \end{matrix} ) ∈ ^{L}G^{0} \\ ψ: σ ≠ 1 ∈ Gal(E/F) ⟶ ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & −1 \end{matrix} ) × σ ∈ ^{L}G \end{matrix}

Mais le carré de ψ(σ) devrait être 1 et il est en l'occurrence

( \begin{matrix}−1 \\ & 1 \\ & & −1 \end{matrix} )

Donc pour rendre cette définition possible il faut remplacer les L-groupes relatifs aux groupes de Galois par des L-groupes relatifs aux groupes de Weil:

LH = ^{L}H^{0} × W_{E/F} ^{L}G = ^{L}G^{0} ⋊ W_{E/F} .

Lorsque E est un corps local notons C_{E} le groupe E^{∗} et pour un corps global notons C_{E} le groupe des classes d'idèles. On a une suite exacte

1 → C_{E} → W_{E/F} → Gal(E/F) → 1

et comme par hypothèse E/F est quadratique W_{E/F} est engendré par C_{E} et σ où σ^{2} = α ∈ C_{F} n'est pas une norme de C_{E}. Pour définir ψ on choisit un caractère χ de C_{E} qui prend la valeur −1 à α et 1 sur les normes de C_{E} de façon que χ(z)^{−1} = χ(σ(z)) et on pose

ψ(z) = ( \begin{matrix}χ(z) \\ & 1 \\ & & χ(z) \end{matrix} ) , z ∈ C_{E} .

e) Le groupe H de (d) est aussi un groupe projectif unitaire à deux variables et par conséquent le quotient d'un groupe unitaire H_{1} dont le L-groupe est encore un produit semi-direct

LH_{1} = GL(2, C) ⋊ Gal(E/F)

ou σ ≠ 1 ∈ Gal(E/F) agit sur GL(2, C) par

σ: A ⟼ ( \begin{matrix}& −1 \\ 1 \end{matrix} )^{t}A^{−1} ( \begin{matrix}& −1 \\ 1 \end{matrix} )

les formules de (d) définissent aussi un plongement ^{L}H_{1} ↪ ^{L}G.

2. Le principe de fonctorialite Soit F maintenant un corps global, et même un corps de nombres. Soient A l'anneau des adèles de F et

G un groupe réductif connexe. Si on a une représentation automorphe de G(A) on attache à presque toute place finie 𝔭 de F une classe de conjugaison Θ(π_{𝔭}) = {t(π_{𝔭})} dans ^{L}G de telle sorte que l'image ξ(Θ(π_{𝔭})) de Θ(π_{𝔭}) dans le groupe de Galois Gal(K/F) où dans le groupe de Weil soit la classe de Frobenius.

Donnons encore des exemples

a) Si G = GL(1) alors π est un caractère χ de G(A) = A^{×} = I qui est trivial sur F^{×}. Ce caractère χ est non ramifié presque partout. S'il est non ramifié à 𝔭 et si ϖ_{𝔭} une uniformisante à la place 𝔭 on pose

t(π_{𝔭}) = χ(ϖ_{𝔭})

Il fait observer que presque partout la fonction L locale attachée à χ est égale à

\frac{1}{1 − t(π_{𝔭})|ϖ_{𝔭}|^{s}}

b) Si G est GL(2) alors, en suivant Hecke et Maaß mais avec un petit décalage, on attache à π une fonction L(s, π) qui est un produit eulérien de degré 2 avec une équation fonctionnelle dont l'axe de symétrie est la ligne Re s = \frac{1}{2}. Le facteur local à une place finie est

\frac{1}{(1 − α(𝔭)|ϖ_{𝔭}|^{s})(1 − β(𝔭)|ϖ_{𝔭}|^{s})}

Alors presque partout Θ(π_{𝔭}) est la classe de

t(π_{𝔭}) = ( \begin{matrix}α(𝔭) & 0 \\ 0 & β(𝔭) \end{matrix} )

c) Soit E une extension quadratique de F et soit G le groupe E^{∗}. La représentation π est alors un caractére χ de I_{E} trivial sur E^{×}. Si 𝔭 est une place finie de F il y a deux possibilités: soit 𝔭 se décompose dans E, soit il reste premier. S'il se décompose, le Frobenius est trivial et Θ(π_{𝔭}) est contenu dans^{L}G^{0} = C^{×}×C^{×}. Si 𝔭_{1} et 𝔭_{2} sont les deux places de E divisant 𝔭 alors Θ(π_{𝔭}) est la classe de χ(ϖ_{𝔭_{1}}) × χ(ϖ_{𝔭_{2}}). Cette classe ne contient que deux éléments, l'autre étant χ(ϖ_{𝔭_{2}}) × χ(ϖ_{𝔭_{1}}). Si 𝔭 ne se décompose pas le Frobenius est non trivial et

Θ(π_{𝔭}) = {a × b × σ | ab = χ(ϖ_{𝔭})} .

Le principe de fonctorialité dans une forme crue peut s'énoncer de la façon suivante.

Soient ^{L}H et ^{L}G deux L-groupes attachés aux groupes H et G et supposons que G soit quasi-déployé. Soit de plus ψ : ^{L}H → ^{L}G un L-homomorphisme et π une représentation automorphe de H. Il existe alors une représentation automorphe Π = ψ_{∗}(π) de G, appelée (au moins par moi) une ψ-image de π, telle que Θ(Π_{p}) ⊃ ψ(Θ(π_{p})) pour presque tout p.

Cette forme ne peut pas être la forme définitive, parce que deux représentations automorphes qui sont équivalentes presque partout ne sont pas toujours équivalentes.

Des cas particuliers du principe de fontorialité, bien que pas toujours reconnus comme tels, commencent à jaillir partout, parfois comme conjectures fondées sur des calculs, parfois comme théorèmes dèmontrés en utilisant les séries thêta ou la représentation de Weil, et l'habitude d'appeler une ψ-image un relèvement (en anglais “lifting”) s'enracine. Si l'on y réfléchit on s'aperçoit que ce mot n'exprime pas bien ce qui se passe. Pour garder son sens géométrique je préfère n'appeler “relèvement” que les ψ-images provenant d'un changement de base.

3. Le groupe SL(2)

Soient d'abord G = GL(2) et H = E^{∗} où E est une extension quadratique du corps de nombres F. Nous avons déjà défini un plongement ψ: ^{L}H → ^{L}G, et il est bien connu qu'une ψ-image ψ_{∗}(π) existe pour chaque représentation automorphe π de H(A). On peut le vérifier de diverse façons, en utilisant soit les série thêta (la représentation de Weil), soit la théorie de Hecke, soit la formule des traces. La formule des traces peut s'utiliser de plus d'une façon. Je vais décrire d'abord un cas particulier de la formule des traces stable et puis expliquer comment l'existence de la ψ-image s'en déduit.

La formule des traces pour GL(2) est déjà stabilisée et on ne peut rien faire avec elle seule. Il faut remplacer GL(2) par G = SL(2) et H par le groupe des éléments de norme 1 dans E^{∗}. Le L-groupe ^{L}G est alors P GL(2) et le L-groupe ^{L}H est le quotient de ^{L}E^{∗} par le sous-groupe diagonal {(x, x) | x ∈ C^{×}} ⊆ C^{×} × C^{×} ⊆ ^{L}E^{0}. On a un diagramme

LE ⟶^{ψ} GL(2)
↓ ↓
LH ⟶_{ψ} P GL(2)

qui sert à définir le nouveau ψ. Il suffit de vérifier le principe de fonctorialité pour lui, celui pour l'ancien ψ en étant une conséquence presque immédiate.

4. Intégrales orbitales Nous commençons par des préparatifs locaux. Supposons pour l'instant que F est un corps local et soit

T un sous-groupe de Cartan de G défini sur F. Si γ est un élément régulier de T et f une fonction lisse sur G(F) à support compact on pose

Φ_{T} (γ, f) = ∫_{T (F)\G(F)} f(g^{−1}γg)dg

C'est l'intégrale orbitale bien connue. Nous allons introduire aussi les intégrales orbitales stables. Soient G̃ = GL(2) et T̃ le centralisateur de T dans GL(2). Posons

ϑ(T/F) = ϑ(T) = T̃(F) \ G̃(F)/G(F).

C'est un ensemble, et même un groupe fini, contenant un élément si T est déployé et deux s'il ne l'est pas. L'intégrale orbitale stable est définie par

Φ_{T}^{st}(γ, f) = ∑_{δ∈ϑ(T)} Φ_{T} a(γ^{a}, f)

où a est un représentant de δ dans G̃(F) et γ^{a} = a^{−1}γa, T^{a} = a^{−1}T a.

Nous dirons qu'une distirbution sur G(F) = SL(2, F) est stablement invariante si elle est fixée par GL(2, F), qui agit par automorphismes intérieurs sur son sous-groupe invariant SL(2, F). Il est évident que la distribution

f ⟼ Φ_{T}^{st}(γ, f)

est stablement invariante.

Nous voudrons étendre la notion d'invariance stable à tout groupe réductif connexe. Pour cela il faut utiliser une autre définition.

Invariance stable (Définition correcte). Une distribution invariante est dite stablement invariante si elle se trouve dans la clôture pour la topologie faible de l'espace linéaire engendré par les distributions f → Φ_{T}^{st}(γ, f), γ étant un élément régulier dans G(F) et T le tore qui le contient.

Problème. Vérifier que pour SL(2) (et même SL(n)) les deux définitions d'invariance stable sont équivalentes.

Si γ est régulier de valeurs propres γ_{1} et γ_{2}, posons

Δ(γ) = |(γ_{1} − γ_{2})^{2}|_{F}^{1/2}

Si T est déployé, la fonction

f^{T} (γ) = Δ(γ)Φ_{T} (γ, f)

s'étend à tout le groupe T (F) en une fonction lisse à support compact. Si T n'est pas déployé, il y a une extension quadratique E_{T} attachée à T et un caractère quadratique ω_{T} de F^{×} attaché à E_{T}. Nous fixons un élément régulier γ^{0} dans T^{0}(F) et nous posons

f^{T} (γ) = ω_{T} (\frac{γ_{1} − γ_{2}}{γ_{1}^{0} − γ_{2}^{0}} ) Δ(γ)\{Φ_{T} (γ, f) − Φ_{T^{a}}(γ^{a}, f)\}

si a est un représentant de l'élément non-trivial de ϑ(T). La fonction f^{T}, elle aussi s'étend à tout le groupe T (F) en fonction lisse.

On dispose d'un homomorphisme

ψ: ^{L}T ⟼ ^{L}G .

Si T n'est pas déployé, alors T est le groupe des éléments de norme 1 de E_{T}^{∗} et ψ a déjà été défini; si T est déployé alors T ≃ GL(1) et ^{L}T = GL(1, C) = C^{∗}, nous posons

ψ: z ∈ GL(1, C) ⟶ ( \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

5. Fonctions sphériques Le corps F est maintenant non archimédien. On se souvient que si G est un groupe réductif connexe

sur F quasi-déployé et déployé sur une extension non ramifiée, alors l'algèbre de Hecke ℋ_{G} est l'algèbre des fonctions à support compact et invariantes à gauche et à droite par rapport à un sous-groupe compact hyperspécial (pour les fondements de lat théorie des représentations automorphes le lecteur consultera au besoin les comptes-rendus de Corvallis [1]). On peut prendre le L-groupe par rapport à une extension non ramifiée, et ℋ_{G} est isomorphe à une algèbre de fonctions sur ^{L}G^{0} × Φ ⊆ ^{L}G, Φ étant le Frobenius. Ce sont plus précisément les fonctions rationnelles régulières et invariantes. Si G est SL(2) on peut prendre l'extension triviale.

Si l'on veut être concret, on utilise la représentation adjointe pour plonger ^{L}G^{0} = P GL(2, C) dans GL(3, C). Alors la fonction g → trace (g) engendre l'algèbre des fonctions régulières et invariantes. Elle correspond à l'opérateur aT_{P^{2}}+b de la théorie classique, a et b étant des constantes convenables. L'opérateur classique T_{p} existe pour GL(2) seulement, pas pour SL(2).

Si f est une fonction sphérique, c'est-à-dire un élément de ℋ_{G}, soit f̂ la fonction correspondante sur LG^{0} × Φ. Supposons que si H est aussi quasi-déployé et déployé sur une extension non ramifiée et, soit ψ un L-homomorphisme non ramifié de ^{L}H dans ^{L}G. Donc ψ se définit par un diagramme commutatif

LH ⟶^{ψ}  ^{L}G
↘^{ξ}  ↙_{ξ}
Gal(K/F)

où K/F est non ramifié. Le L homomorphisme ψ étant donné, on définit un homorphisme f ↦ ψ^{∗}(f) = f_{1} de ℋ_{G} dans ℋ_{H} par la condition

f̂_{1}(h) = f̂(ψ(h))

si h ∈ ^{L}G et ξ(h) = Φ.

Cet homomorphisme ψ^{∗} est défini pour n'importe quel L-homomorphisme non ramifié ψ, mais nous revenons maintenant au cas particulier du groupe G = SL(2), où H est un sous-groupe de Cartan T, soit déployé soit attaché à une extension quadratique non ramifiée, et où ψ est le L-homomorphisme défini plus haut. On a le lemme suivant qui est fondamental pour la suite bien que facile à vérifier. Lemme 1.1. Si f est une fonction sphérique, alors f^{T} est égal à ±ψ^{∗}(f).

Le signe est positif si ℋ_{G} est défini par rapport à un sous-groupe compact maximal K tel que T (F) ∩ K est un sous-groupe compact maximal de T (F).

6. La Formule des traces stable Soit de nouveau F un corps global et pour chaque place v de F soit f_{v} une fonction lisse sur G(F_{v}) à

support compact. Nous supposons que presque partout f_{v} est la fonction charactéristique de G(O_{v}) divisée par sa mesure, de façon qu'on peut poser

f(g) = ∏_{v} f_{v}(g_{v})  g ∈ G(A) .

Si T est un sous-groupe de Cartan sur F on pose

f^{T} (t) = ∏_{v} f_{v}^{γ}(t_{v})  t ∈ T (A) .

Le lemme fondamental nous assure que f^{T} est bien défini.

Une distribution sur G(A) sera une application f → Θ(f), Θ(f) ∈ C, qui est linéaire et continue en chaque f_{v}. On dit que Θ est invariante (resp. stablement invariante) si elle est invariante (resp. stablement invariante) en chaque f_{v}. Le groupe G(A) agit sur L^{2}(G(F) \ G(A)). On pose

𝒯(f) = ∑_{π} m(π) trace π(f) ,

m(π) étant la multiplicité avec laquelle la représentation irréductible π intervient dans l'espace L^{2}(G(F) \ G(A)). On se rend compte que le spectre continu est écarté.

La formule des traces donne une formule plus ou moins explicite pour 𝒯(f). Elle nous permet d'écrire

𝒯(f) = 𝒮𝒯(f) + \frac{1}{4} ∑_{T}\{𝒮𝒯(f^{T}) − ∑_{Θ∈E_{T}^{G}} θ(f^{T})\} .

La distribution f → 𝒮𝒯(f) est stablement invariante et c'est cela seulement qui nous importe à présent. La sommation sur T porte sur des représentants des classes de conjugaison stable de sous-groupes de Cartan elliptiques, deux sous-groupes de Cartan, T et T′, étant stablement conjugués si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est satisfaite:

a) Il existe g ∈ G(F̂) tel que T′ = g^{−1}T g = T^{g} et le morphisme t → g^{−1}tg = t^{g} est défini sur F.

b) Il existe g ∈ GL(2, F) el que T′ = g^{−1}T g.

La définition (a) se transporte au cas général.

Le quotient T (F) \ T (A) est compact et la représentation de T (A) dans L^{2}(T (F) \ T (A)) se décompose en une somme discrète de caractères. Soit 𝒯(f^{T}) la trace de f^{T} dans L^{2}(T (F) \ T (A)). Puisque T est abélien, la distribution f → 𝒯(f^{T}) sur T (A) est stablement invariante et pour des raisons qui apparaîtrons ultérieurement nous posons 𝒮𝒯(f^{T}) = 𝒯(f^{T}).

L'ensemble E_{T}^{G} ne contient que le caractère trivial de T (f) \ T (A). Pour justifier la notation, il faut expliquer la signification du terme

(1.1)  ∑_{θ∈E_{T}^{G}} θ(f^{T}) .

Je vais utiliser des résultats locaux précis tirés de Labesse-Langlands, cependant je veux souligner qu'on n'en a pas besoin pour vérifier le principe de fonctorialité. Pour cela il ne faut que le lemme fondamental et la formule des traces stabilisée. On peut même sans doute en déduire les résultats locaux. Ce n'est que pour éclaircir l'intervention des termes correctifs (1.1) que je les anticipe.

L'image par l'applicationf_{v} → f_{v}^{T} d'une fonction lisse à support compact sur G(F_{v}) est une fonction lisse à support compact sur T (F_{v}). L'application duale, Θ^{T} → Θ, envoie un distribution sur T (F_{v}) sur une distribution invariante sur G(F_{v}). Soit Θ^{T} = θ_{v} un caractère. Alors le principe de fonctorialité local, qui est acquis mais dont on n'aura pas besoin dans la suite, attache à θ_{v} un ensemble fini de ψ-images de θ_{v}, dit un L-paquet et noté ψ_{∗}(θ_{v}). L'application duale envoie θ_{v} sur une somme

∑_{π_{v}∈ψ_{∗}(θ_{v})} s(π_{v})χ_{π_{v}}

où χ_{π_{v}} est le caractère de la représentation irréductible π_{v} et les s(π_{v}) sont des numbres complexes.

Revenons au cas global. Une ψ-image du caractère θ au sens strict est un produit tensoriel π = ⊗_{V} π_{v}, où pour chaque v la représentation π_{v} est dans le L-paquet ψ_{∗}(θ_{v}) et où pour presque tout v cette représentaiton est non ramifiée. L'ensemble des ψ-images sera noté ψ_{∗}(θ) et appelé la ψ-image de θ. C'est un L-paquet global. Bien sûr, on ne distingue pas les représentations irréductibles équivalentes. On a une égalité

θ(f^{T}) = ∑_{π∈ψ_{∗}(θ)} s(π)χ_{π}(f)

où les coefficients sont des nombres complexes.

Le groupe T (A) s'identifie au groupe des idèles de E = E_{T} de norme 1. Les éléments de ψ_{∗}(θ) sont des représentations eisensteiniennes si et seulement si θ s'étend en un caractère de E^{x} \ I_{E} qui se factorise par la norme,

Nm: I_{E} → I_{F} ,

c'est-à-dire, si et seulement si θ est trivial.

La formule des traces stabilisée s'écrit

(1.2)  𝒯(f) = 𝒮𝒯(f) + \frac{1}{4} ∑_{T}\{𝒮𝒯(f^{T}) − ∑_{θ∈E_{T}^{G}} θ(f^{T})\}

et

𝒮𝒯(f^{T}) = ∑_{θ} θ(f^{T}) = ∑_{θ} ∑_{π∈ψ_{∗}(θ)} s(π)χ_{π}(f) ;

les sommes sont absolument convergentes. La trace à gauche

𝒯(f) = ∑ m(π)χ_{π}(f)

ne contient aucune représentation eisensteinienne sauf la représentation triviale. Pour les écarter du côté droit il faut enlever de

𝒮𝒯(f^{T}) = ∑_{θ} θ(f^{T})

chaque caractère θ de T (F) \ T (A) qui devient eisensteinien sur G.

7. Application au principe de fonctorialité Tout ceci étant dit à titre d'explication préliminaire, oublions le et revenons à la formule (1.2) sans

résultats locaux précis. Pour libérer les symbols T et θ nous écrivons

𝒯(f) = 𝒮𝒯(f) + \frac{1}{4} ∑_{H}\{𝒮𝒯(f^{H}) − ∑_{η∈E_{H}^{G}} η(f^{H})\}

Le groupe T sera un sous-groupe de Cartan elliptique donné et nous voulons vérifier le principe de fonctorialité dans sa forme crue pour le L-homomorphisme ψ: ^{L}T → ^{L}G que nous avons déjà décrit.

Soit E = E_{T} et soit w une place de f qui ne se décompose pas dans E. Le groupe

ϑ(T/F_{w}) = T̃(F_{w}) \ G̃(F_{w})/G(F_{w}) = Nm E_{w}^{∗} \ F_{w}^{∗}

contient alors deux éléments, représentés par 1 et a. On peut trouver un petit ensemble ouvert U d'éléments réguliers dans T (F_{w}) tel que les ensembles

U^{G} = {g^{−1}ug | g ∈ G(F_{w}), u ∈ U} et U^{aG} = {g^{−1}u^{a}g | g ∈ G(F_{w}), u ∈ U}

sont disjoints. Par conséquent il existe une fonction f_{w} lisse à support compact dans la réunion U^{G} ∪ U^{aG} telle que

Φ_{T} a(γ^{a}, f_{w}) = −Φ_{T} (γ, f_{w})

et telle que γ → Φ_{T} (γ, f_{w}) est très proche d'une fonction δ sur U.

Il en résulte que

Φ_{T}^{st}(γ, f_{w}) ≡ 0

et même que

Θ(f_{w}) = 0

pour n'importe quelle distribution stablement invariante.

Si f est une fonction globale à composante locale f_{w} alors

𝒮𝒯(f) = 0

et la formule des traces s'écrit

𝒯(f) = \frac{1}{4} ∑_{H}\{𝒮𝒯(f^{H}) − ∑_{η∈E_{H}^{G}} η(f^{H})\}

Soit θ un caractère donné de T (F) \ T (A) et soit V un ensemble fini de places de F contenant w, les places infinies, et chaque place où E ou θ est ramifié. Nous supposons que f_{v} est une fonction sphérique si v ∉ V. A un tel v = 𝔭 est attachée une classe de conjugaison {t(θ_{v})} dans ^{L}T et

θ_{v}(f_{v}^{T}) = f̂_{v}^{T} (t(θ_{v}))

La trace

𝒯(f) = ∑ m(π)χ_{π}(f), m(π) ∈ N

s'écrit

(1.3)  𝒯(f) = ∑ m(π)χ_{π_{V}} (f_{V}) ∏_{v∉V} f̂_{v}(t(π_{v})) .

Nous voulons vérifier que, pour au moins un π pour lequel m(π) ≠ 0, on a

ψ{t(θ_{v})} ⊆ {t(π_{v})}

pour v ∉ V.

D'autre part

𝒯(f) = \frac{1}{4} ∑_{H} ∑_{η∉E_{H}^{G}} η(f^{H})

ou mieux

(1.4)  𝒯(f) = \frac{1}{4} \begin{matrix}∑ & ′ \\ H \end{matrix} \begin{matrix}∑ & ′ \\ η∉E_{H}^{G} \end{matrix} ±η_{V} (f_{V}^{H}) ∏_{v∉V} f̂_{v}(ψ(t(η_{v}))) ,

ψ étant le L-homomorphisme de ^{L}H dans ^{L}G défini plus haut. Les apostrophes indiquent que seuls les H et η non-ramifiés au-dehors de V interviennent dans les sommes. Soit S l'ensemble des suites {{(t_{v}}|v ∈ V } où {t_{v}} est la classe de conjugaison dans ^{L}G provenant d'une représentation unitaire de G(F_{v}). Les égalités (1.3) et (1.4) sont toutes deux de la forme (ou du moins se réduisent facilement à cette forme)

𝒯(f) = ∑_{S} α({t_{v}}) ∏_{v∈V} f̂_{v}(t_{v}).

Vu l'unicité d'un tel développement (voir, par exemple, [20]) il suffit de vérifier que le coefficient α({ψ(t(θ_{v}))}) provenant de (1.4) n'est pas zéro.

On peut d'abord choisir f_{V} de telle façon que θ_{V} (f_{V}^{T}) ≠ 0, mais il faut ensuite prendre garde à ce que le terme

(1.5)  ±\frac{1}{4} θ_{V} (f_{V}^{T}) ∏_{v∉V} f̂_{v}(ψ(t(θ_{v})))

ne soit pas neutralisé par un autre. Pour cela il faut se demander quels sont les H et η pour lesquels

(1.6)  {ψ(t(η_{v}))} = {ψ(t(θ_{v}))}  v ∉ V .

Comme on sait, le caractère θ est attaché à un homomorphisme ρ du groupe de Weil W_{F} dans ^{L}T, et η est attaché à un homomorhisme σ du groupe de Weil dans ^{L}H. Les homomorphismes ψ ∘ ρ et ψ ∘ σ envoient W_{F} dans ^{L}G = P GL(2, C). En les composant avec la représentation adjointe nous obtenons des représentations R et Σ de W_{F} de dimension 3. Il résulte de (1.6) que R et Σ sont localement équivalentes presque partout. Un lemme bien connu (voir, paar exemple, le lemme 12.3 de [7]) implique alors que R et Σ sont équivalentes. On cherche maintenant les extensions quadratiques E de F telles que le groupe de Weil W_{E}, qui est d'indice 2 dans W_{F}, stabilise un vecteur non nul dans l'espace de P. On sait qu'il y a au moins une telle extension E = E_{T} et au plus trois. Dans le cas exceptionnel où il y en a trois, E = E_{T}, et E_{1} = E_{H_{1}}, E_{2} = E_{H_{2}}, on choisit deux places w_{1} et w_{2} telles que w_{1} se décompose dans E_{1} mais pas dans E_{2} et w_{2} se décompose dans E_{2} mais pas dans E_{1} et on les adjoint à V. Puis on choisit f_{w_{1}} et f_{w_{2}} tels que

θ_{w_{1}} (f_{w_{1}}^{T}) ≠ 0, θ_{w_{2}} (f_{w_{2}}^{T}) ≠ 0, θ_{w_{1}} (f_{w_{1}}^{H_{1}}) = 0, θ_{w_{2}} (f_{w_{2}}^{H_{2}}) = 0 .

Ce choix fait au besoin, le terme (5) ne peut-être neutralisé que par le terme attaché à un caractère η du groupe T (F) \ T (A) lui-même. Dans ce cas-ci la relation Σ ∼ R implique que η ∼ θ^{±1}. Si γ_{v} est dans T (F_{v}) alors γ_{v} et γ_{v}^{−1} sont conjugués dans SL(2, F_{v}) si et seulement si ω_{T/F_{v}}(−1) = 1. Ils sont toujours conjugués dans GL(2, F_{v}). Ici ω_{T/F_{v}} est la composante locale de ω_{T}. Il en résulte que

f_{v}^{T} (γ_{v}^{−1}) = f_{v}^{T} (γ_{v})

et que

η(f^{T}) = θ(f^{T}) .

Par conséquent, le terme (5) est égal à

±\frac{1}{4} η_{V} (f_{V}^{T}) ∏_{v∉V} f̂_{v}(ψ(t(η_{v})))

avec le même signe, et la vérification du principe de fonctorialité est terminée.

On peut probablement aller plus loin et, en imitant les méthodes de [20], obtenir des résultats précis, le principe de fonctorialité local surtout y compris. Je ne l'ai jamais fait.

II. Groupes Endoscopiques

1. Définition Je passe maintenant au cas général et introduis ce que Shelstad a appelé un groupe endoscropique,

en suivant une suggestion de Ash, un des rares mathématiciens contemporains ayant une connaissance suffisante des langues classiques. Soit ^{L}G un L-groupe. Quand on définit un L-groupe d'une façon précise il faut l'attifer avec un tas d'objets supplémentaires. On choisit un sous-groups ^{L}B^{0} de Borel de ^{L}G^{0} un sous-groupe de Cartan ^{L}T^{0} de ^{L}B^{0}, et pour chaque racine simple α^{∨} de ^{L}T^{0} dans ^{L}B^{0} on choisit un vecteur X_{α^{∨}} dans l'algèbre de Lie tel que

ad(t) (X_{α^{∨}}) = α^{∨}(t)X_{α^{∨}} t ∈ ^{L}T^{0}

Le groupe de Galois, qui opère sur ^{L}G^{0}, stabilise ^{L}T^{0} et ^{L}B^{0} et on exige que

σ (X_{α^{∨}}) = X_{σ(α^{∨})}

Le L-groupe étant défini on peut la plupart du temps supprimer ces accoutrements, mais de temps en temps il faut en tenir compte. Sinon les choses peuvent se brouiller. Il va de même pour les groupes endoscopiques. Il faut prendre des précautions en les définissant, mais ensuite on peut procéder d'une façon plus désinvolte. Un groupe endoscopique sera défini par les données suivantes (voir surtout [32]).

i) Un élément semi-simple s dans ^{L}G^{0}; ii) La composante connexe ^{L}H^{0} du centralisateur de s dans ^{L}G^{0}; iii) Un sous-groupe de Borel ^{L}B_{H}^{0} de ^{L}H^{0}; iv) Un sous-groupe de Cartan ^{L}T_{H}^{0} de ^{L}B_{H}^{0};

v) Un ensemble {Y_{α^{∨}}} d'éléments de l'algèbre de Lie de ^{L}G^{0}, les α^{∨} étant les racines simples de ^{L}T_{H}^{0} dans LB_{H}^{0} et ad(t)Y_{α^{∨}} étant égal à α^{∨}(t)Y_{α^{∨}};

vi) Un homomorphisme continu ρ de Gal(F̄/F) dans le groupe d'automorphismes de (^{L}H^{0},^{L}B_{H}^{0},^{L}T_{H}^{0}, {Y_{α^{∨}}}).

Le corps F est soit local soit global et F̄ est sa clôture séparable. Ces données sont sujettes à quelques conditions. Pour les expliquer, et aussi pour la suite, il est préférable de définir le L-groupe par rapport à un groupe de Weil, qui s'obtient à partir de celui défini par rapport à un groupe de Galois par relèvement

∗ ⟶ W_{K/F}
↓ ↓
LG ⟶ Gal(K/F)

Dorénavant ^{L}G sera le groupe noté ici par l'étoile. Les L-homomorphismes et les L-homomor-phismes non-ramifiés se définissent aussi par rapport aux groupes de Weil. Les conditions que ces données vérifient sont les suivantes.

1) Choisissons K tel que ρ est défini sur Gal(K/F) et ^{L}G est défini par rapport à K. Pour chaque σ ∈ Gal(K/F) il existe un élément w ∈ W_{K/F} et un élément n(w) ∈ ^{L}G^{0} × w ⊆ ^{L}G tels que w est un relèvement de σ et ρ(σ) la restriction de adn(w) à ^{L}H_{0}.

2) a. Si F est local il existe z dans le centre de ^{L}G^{0} tel que pour chaque σ on peut choisir un n(w) qui commute à zs.

2) b. Si F est global alors pour chaque place v et chaque extension de v à F̄ il existe un z_{v} dans le centre de LG^{0} tel que pour chaque σ dans Gal(F̄_{v}/F_{v}) on peut choisir un n(w) qui commute à z_{v}s. De plus pour chaque σ dans Gal(F̄/F) on a ρ(σ)(s) = z(σ)s avec z(σ) dans le centre.

La définition des données endoscopique a été adaptée aux exigences qu'on prévoit à présent. Elle est forcément provisoire. Il en est de même pour la définition d'équivalence de deux ensembles de données.

Définition. Les deux ensembles de données

(s,^{L}H^{0},^{L}B_{H}^{0},^{L}T_{H}^{0}, {y_{α^{∨}}}, ρ)

et

(s̄,^{L}H̄^{0},^{L}B0 ; H̄,^{L}T 0 ; H̄, {y_{}_{ᾱ^{∨}}}ρ̄)

seront dits équivalents s'il existe un g dans ^{L}G^{0} pour lequel

H̄^{0}^{L} = ad g(^{L}H^{0}) ^{L}B0 ; H̄ = ad g(^{L}B_{H}^{0}), ^{L}T 0 ; H̄ = ad g(^{L}T_{H}^{0})

et

Y_{}_{ᾱ^{∨}} = ad g(Y_{α^{∨}}), ρ̄ = ad g ∘ ρ ∘ ad g^{−1} .

On exige en plus que s̄^{−1}ad g(s) se trouve dans le produit du centre de ^{L}G^{0} et de la composante connexe du centre de ^{L}H̄.

On note 𝔖 une classe d'équivalence et 𝔖 = 𝔖(^{L}G) l'ensemble des classes d'équivalence. Les cinq données LH^{0}, ^{L}B_{H}^{0}, ^{L}T_{H}^{0}, {Y_{α^{∨}}}, ρ définissent un L-groupe, qui à son tour définit un groupe quasi-déployé unique sur F, qui sera noté H. Quand s = 1 le groupe H serra noté G^{∗}. Il est la forme quasi-déployée de G.

Le groupe H s'appelle un groupe endoscopique et les données s'appellent des données endoscopiques. H ne dépend que de leur classe, et c'est la classe qui nous intéresse. Donc si ^{L}T^{0} est un sous-groupe de Cartan donné de ^{L}G^{0}, nous pouvons supposer que s ∈ ^{L}T^{0} et que ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0}. D'ailleurs le groupe ^{L}B^{0} et l'ensemble {Y_{α^{∨}}} n'ont pas beaucoup d'importance. Ils sont là parce qu'ils se trouvent parmi les données d'un L-groupe.

Donnons maintenant quelques exemples.

a) Le groupe G soit GL(n) de sorte que ^{L}G = GL(n, C) × W_{K/F}. On prend s diagonal

s = ( \begin{matrix}s_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & s_{1} \\ & & & & & s_{2} \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & s_{2} \\ & & & & & & & & & & s_{3} \\ & & & & & & & & & & & . & . & . \end{matrix} )

Par conséquent

LH^{0} = (  )

qui est isomorphe à

GL(n_{1}, C) × … × GL(n_{r}, C)

où n_{1} + ⋯ + n_{r} = n.

Le centre de ^{L}G^{0} est le centre de G. Donc n(w) = a(w) × w avec a(w) dans ^{L}H^{0} qui n'est pas seulement la composante connexe du centralisateur de s mais le centralisateur lui-même. Mais a(w) donne un automorphisme de données ^{L}H^{0}, ^{L}T_{H}^{0}, ^{L}B_{H}^{0}, {Y_{α^{∨}}} de sorte que a(w) est contenu dans le centre de ^{L}H^{0}. On peut donc choisir a(w) = 1, et le groupe H est

GL(n_{1}) × … × GL(n_{r}) .

Le groupe ^{L}H est le produit direct de ^{L}H^{0} et W_{K/F} et on peut étendre le plongement ψ: ^{L}H^{0} ↪ ^{L}G^{0} à ^{L}H en définissant

ψ(w) = χ(w) × w ,

où χ(x) est un homomorphisme de W_{K/F} dans le centre de ^{L}H^{0}. Pour ces ψ le principe de fonctorialité est déjà acquis, et se déduit facilement de la théorie des séries d'Eisenstein (voir [16]).

b) Si le groupe G est SL(n), alors ^{L}G = P GL(n, C) × W_{K/F}. On représente les éléments de ^{L}G^{0} par des matrices. Soit s comme dans (a). Alors ^{L}H^{0} est l'image de son centralisateur dans GL(n, C). Mais maintenant le centralisateur de s n'est pas toujours connexe. Le centralisateur est l'image du groupe des g dans GL(n, C) tels que g^{−1}sg = λs, λ ∈ C^{×} et l'application g ↦ λ donne un homomorphisme de son quotient par ^{L}H^{0} dans un sous-groupe cyclique de C^{×}. Soit λ un générateur de l'image. Si son ordre est m, alors

s = ( \begin{matrix}s_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & s_{1} \\ & & & & & λs_{1} \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & λs_{1} \\ & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & λ^{m−1}s_{1} \\ & & & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & λ^{m−1}s_{1} \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & s_{2} \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & s_{2} \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & λs_{2} \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & λs_{2} \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . & . & . \end{matrix} )

Comme ^{L}G^{0} a un centre trivial ou plutôt parce que son centre est aussi le centre de ^{L}G, l'homomorphisme ρ qui figure parmi les données endoscopiques provient d'un homomorphisme du groupe de Weil W_{K/F}, et même du groupe de Galois (K/F), dans le groupe cyclique obtenu en divisant le centralisateur de s dans ^{L}G^{0} par sa composante connexe. Le noyau de cet homomorphisme est un groupe Gal(K/E) où E/F est une extension cyclique d'ordre divisant m. Puisque l'on peut remplacer un K donné par n'importe quelle extension suffisamment grande, toutes les extensions E/F de ce type apparaissent. Si ℓ est le degré [E : F] le group ^{L}H^{0} est le quotient du groupe

\underbrace{\overbrace{GL(n_{1},C)×...×GL(n_{1},C)}^{ℓ fois}×\overbrace{GL(n_{1},C)×...×GL(n−1,C)}^{ℓ fois}×…}_{\frac{m}{ℓ} fois} ×\overbrace{GL(n_{2},C)×...×GL(n_{2},C)}^{ℓ fois}×\overbrace{GL(n_{2},C)×...×GL(n_{2},C)}^{ℓ fois}×…

par le groupe C^{×} qui s'y plonge diagonalement. Pour obtenir H on prend le groupe sur E

\underbrace{GL(n_{1}) × … × GL(n_{1})}_{\frac{m}{ℓ} fois} × \underbrace{GL(n_{2}) × … × GL(n_{2})}_{\frac{m}{ℓ} fois} × \underbrace{GL(n_{3}) × … × GL(n_{3})}_{\frac{m}{ℓ} fois} × …

et puis on restreint les scalaires de E et F, et enfin on prend le noyau de l'homomorphisme évident du groupe ainsi obtenu dans GL(1). Si ℓ = m = n on obtient alors le groupe des éléments de norme 1 dans E^{∗}.

Je laisse au lecteur le soin d'étendre le plongement ψ: ^{L}H^{0} → ^{L}G^{0} à un L-homomorphisme ^{L}H ↪ ^{L}G.

c) Nous considérons maintenant un groupe traité par Rogawski [25]. Soit G une forme intérieure d'un groupe unitaire spécial à trois variables. Le groupe ^{L}G est P GL(3, C)×W_{K/F}, K contenant toujours le corps E qui définit le groupe. On suppose que s est diagonal et^{L}T_{H}^{0} est le groupe diagonal, ou plutôt son image dans LG^{0}. Soit ^{L}B^{0} l'image des matrices triangulaires. Nous supposons que ^{L}B_{H}^{0} = ^{L}H^{0} ∩^{L}B^{0}. Chaque n(w) est dans le normalisateur ^{L}N = ^{L}N_{C} de ^{L}T^{0} dans ^{L}G. Soit ^{L}Ω = ^{L}Ω_{G} le quotient ^{L}N/^{L}T^{0}. La donnée ρ définit un homomorphisme ν de Gal(K/F) dans ^{L}Ω_{G} et nous allons classifiera les groupes endoscopiques ou les données endoscopiques possibles au moyen de ν. L'homomorphisme (ou plutôt son image) étant donné, on cherche d'abord les s possibles, qui définissent ensuite des ^{L}H^{0}, mais alors pour qu'un s et un ^{L}H^{0} donnent naissance à des données endoscopiques il faut (et il suffit) qu'il y ait un ensemble de racines simples de ^{L}T^{0} dans ^{L}H^{0} fixé par l'image de l'homomorphisme. Soit X^{∗}(^{L}T^{0}) le groupe de poids de ^{L}T^{0}. On se souvient que

LT^{0} = Hom(X^{∗}(^{L}T^{0}), C^{×})

et que

X^{∗}(^{L}T^{0}) = {(x, y, z) | x, y, z ∈ Z, x + y + z = 0}

Le groupe^{L}Ω_{G} agit sur X^{∗}(^{L}T^{0}) et est engendré par les permutations et l'application (x, y, z) → (−z, −y, −x).

i) Supposons que l'image de ν soit ^{L}Ω_{G}. L'élément s est maintenant un homomorphisme de X^{∗}(^{L}T^{0}) qui est trivial sur le réseau engendré par {σλ − λ}. Mais si σ permute x et y alors

σ(0, 1, −1) − (0, 1, −1) = (1 − 1, 0)

On en déduit que s = 1 et que ^{L}H^{0}. Mais l'image de ν ne fixant pas un ensemble de racines simples de ^{L}T^{0} dans ^{L}G^{0}, ce cas est exclu.

ii) Supposons que l'intersection de l'image de ν avec le groupe de Weyl de ^{L}G^{0}, c'est-à-dire avec le groupe des permutations, soit d'ordre 3. La seule possibilité pour s est alors

(x, y, z) → ξ^{y+2z}

où

ξ^{3} = 1, mais ξ ≠ 1 .

Donc

s = ( \begin{matrix}1 \\ & ξ \\ & & ξ^{2} \end{matrix} )

et la composante connexe de son centralisateur est ^{L}T^{0}. La projection de ν sur le groupe ^{L}Ω_{G} \^{L}Ω_{G} ≈ Z_{2} des automorphismes extérieurs doit-être toujours l'isomorphisme donné: Gal(E/F) ≃ Z_{2}, et par conséquent l'image de ν n'est jamais contenue dans ^{L}Ω_{G}^{0}.

Puisque y = 2z = −2x − y, on a
ξ^{−y−2x} = ξ^{y+2z}

et l'image est l'ensemble des applications:

(x, y, z) ⟼ (x, y, z); (z, x, y); (y, z, x); (−z, −y, −x); (−x, −z, −y); (−y, −x, −z) .

Le groups H est le groupe des éléments de norme 1 dans L^{∗}, étant une extension cubique cyclique de E dont le groupe de Galois sur F est le groupe symétrique S_{3}. On vérifie encore sans peine que le plongement LH^{0} → ^{L}G^{0} s'étend à un homomorphisme, ^{L}H → ^{L}G.

iii) Supposons que l'intersection de l'image de ν avec le groupe ^{L}Ω_{g}^{0} soit d'ordre 2. En remplaçant, au besoin, les données par des données équivalentes nous supposons que l'élément non trivial de l'intersection est

ω: (x, y, z) ⟼ (z, y, x) .

L'image est alors:

(x, y, z) ⟼ (x, y, z); (z, y, x); (−z, −y, −x); (−x, −y, −z)

et le réseau engendré par {σλ, λ} est l'ensemble

{(x, y, z) | x + y + z = 0, y pair} .

Donc on a s: (x, y, z) → (−1)^{y} ou

s = ( \begin{matrix}1 \\ & −1 \\ & & 1 \end{matrix} )

et

(2.1)  ^{L}H^{0} = ( \begin{matrix}∗ & 0 & ∗ \\ 0 & ∗ & 0 \\ ∗ & 0 & ∗ \end{matrix} )

C'est un sous-groupe de ^{L}G^{0} dont nous avons déjà fait la connaissance. Il apparaîtra encore mais on voit maintenant que ce cas-ci est en vérité exclu, parce que l'image de ν ne fixerait pas un ensemble de racines simples de ^{L}T^{0} dans ^{L}H^{0}.

iv) Supposons que l'intersection de l'image de ν avec ^{L}Ω_{G}^{0} soit triviale. L'élément non-trivial de l'image est alors une des applications:

(x, y, z) ⟼ (−z, −y, −x); (−x, −y, −z); (−y, −x, −z); , (−x, −z, −y)

en remplaçant les données par des données équivalentes on peut supposer qu'on a une des deux premières.

α) Soit (x, y, z) → (−z, −y, −x) l'élément non-trivial de l'image et soit s l'application: (x, y, z) → ξ_{1}^{y}ξ_{2}^{z}. On a

ξ_{1}^{y}ξ_{2}^{z} = ξ_{1}^{−y}ξ_{2}^{−x} = ξ_{1}^{−y}ξ_{2}^{y+z}

si et seulement si

ξ_{2} = ξ_{1}^{2} .

Si ξ_{1} = 1, alors ^{L}H^{0} = ^{L}G^{0} et ^{L}H = ^{L}G, qui est pour l'image de ν donnée un cas admis. Si ξ_{1} = −1 on a le groupe ^{L}H^{0} de (iii), maintenant admis. Nous avons déjà vu comment on étend le plongement ^{L}H^{0} → ^{L}G^{0} à un L-homomorphisme ^{L}H → ^{L}G. Puisque

s = ( \begin{matrix}1 \\ & ξ_{1} \\ & & ξ_{2} \end{matrix} ) ,

le group ^{L}H^{0} est ^{L}T^{0} si ξ_{2} ≠ 1. Le groupe H est un tore de dimension 2 avec un sous-tore déployé de dimension 1, et il est en effet un sous-groupe de Cartan d'un sous-groupe de Borel de la forme quasi-déployée G^{∗} de G.

β) Soit (x, y, z) → (−x, −y, −z) l'élément non-trivial de l'image. Alors s = (x, y, z) → ξ_{1}^{y}ξ_{2}^{z} avec ξ_{1}^{2} = ξ_{2}^{2} = 1. On vérifie que ce cas n'est pas admis, parce que ^{L}H^{0} n'est pas un tore, et cette application envoie chaque racine sur sa négative.

Sommaire. Les données endoscopiques possibles sont les suivantes:

i) {1,^{L}G^{0},^{L}B^{0},^{L}T^{0}, {X_{α^{∨}}}, ρ} sont les données qui définissent le L-groupe ^{L}G. En particulier, on peut choisir n(w) = 1 × w, et H est le groupe G^{∗}.

ii)

s = ( \begin{matrix}1 \\ & −1 \\ & & 1 \end{matrix} )
LH^{0} = \{( \begin{matrix}∗ & 0 & ∗ \\ 0 & ∗ & 0 \\ ∗ & 0 & ∗ \end{matrix} )\}
LB^{0} = \{( \begin{matrix}∗ & 0 & ∗ \\ 0 & ∗ & 0 \\ 0 & 0 & ∗ \end{matrix} )\}
LT_{H}^{0} = ^{L}T^{0} = \{( \begin{matrix}∗ & 0 & 0 \\ 0 & ∗ & 0 \\ 0 & 0 & ∗ \end{matrix} )\}

Y_{α^{∨}} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

et ρ est défini par

n(w) = ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & −1 \end{matrix} ) × w

si w est un relèvement de σ ≠ 1 dans Gal(E/F) à W_{E/F}.

iii)

s = ( \begin{matrix}1 \\ & ξ \\ & & ξ^{2} \end{matrix} ) ξ^{2} ≠ 1

LH^{0} = ^{L}B_{H}^{0} = ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0}

{Y_{α^{∨}}} = ∅ .

Le groupe H est un tore T qui est isomorphe soit à un sous-groupe de Cartan d'un sous-groupe de Borel de G^{∗} soit à un sous-groupe de Cartan de G^{∗} défini par une extension cubique de E dont le groupe de Galois sur F est S_{3}.

2. La Formule des Traces Stable Entrevue Il faudra revenir sur la définition des groupes endoscopiques, surtour pour comprendre comment elle

sort de l'étude de la conjugaison stable; cependant, nous sommes maintenant en état de décrire une formule des traces stables bien que pas du tout en état de la démontrer. Nous faisons l'hypothèse suivante:

Le centre de ^{L}G^{0} est connexe

Cette hypothèse est nécessaire pour étendre le plongement ^{L}H^{0} ↪ ^{L}G^{0} à un L-homomorphisme ϕ_{H} du groupe endoscopique ^{L}H (voir [1]). Cette extension n'est pas toujours unique. L'hypothèse n'est pas grave et finalement tout à fait naturelle. En particulier G étant donné sur le corps global F on peut toujours trouver une extension G̃,

1 → A → G̃ → G → 1 ,

où A est un tore, telle que les applications

G̃(F) → G(F), G̃(F_{v}) → G(F_{v}), G̃(A) → G(A)

soient surjectives tandis que G̃ vérifie l'hypothèse. Cela nous permet de ramener l'étude des représentations de G à celles de G̃. L'existence de G̃ est vérifiée dans [18].

Soit Z la composante connexe du centre de G, et soit _{0}Z un sous-groupe fermé de Z(A) pour lequel 0Z Z(F) est fermé et le quotient _{0}Z Z(F) \ Z(A) compact. Pour simplifier on suppose que

0Z = ∏_{v}_{0}Z_{v} ,

le produit étant prís sur les places de F. Soit χ un caractère de _{0}Z trivial sur _{0}Z ∩ Z(F). La valeur absolue |χ| s'étend en un caractère de G(A). Soit L_{χ}^{2}(G(F) \ G(A)) l'ensemble des (classes de) fonctions mesurables sur G(F) \ G(A) vérifiant

i) ϕ(zg) = χ(z)ϕ(g) z ∈ _{0}Z ii) ∫_{_{0}ZG(F)\G(A)} |ϕ(g)|^{2}|χ|^{−2}(g) dg < ∞

Le groupe G(A) agit dans L_{χ}^{2}(G(F) \ G(A)), et si on a une fonction raissonnable f sur G(A), on pose

𝒯(f) = ∑_{π} m(π) trace π(f) ,

m(π) étant la multiplicité avec laquelle la représentation irréductible π intervient dans L_{χ}^{2}(G(F) \ G(A)). Pour être raisonnable, la fonction f doit vérifier en particulier l'équation

f(zg) = χ^{−1}(z)f(g) z ∈ _{0}Z

et alors

π(f) = ∫_{_{0}Z\G(A)} f(g)π(g)dg .

D'habitude, on suppose que

f(g) = ∏_{v} f_{v}(g_{v}) ,

les f_{v} vérifiant les hypothèses habituelles.

Je fais remarquer qu'il n'est pas encore vérifié en général que la somme définissant 𝒯(f) converge. Pour la suite on peut toujours la remplacer par la somme sur les représentations cuspidales. Mais puisque nous ne savons stabiliser en général qu'une partie de la formule des traces, cela n'aura pas beaucoup d'importance.

On choisit pour chaque classe dans 𝔖 un représentant des données et pour chaque représentant un L-homomorphisme ϕ_{H}: ^{L}H → ^{L}G étendant le plongement ^{L}H^{0} ↪ ^{L}G^{0}.

Nous cherchons à définir la formule des traces stables de telle façon que l'on ait l'égalité suivante:

(2.2)  𝒯(f) = ∑_{𝔖∈𝔖} ι(G, H) {𝒮𝒯(f^{H}) − Ξ(f^{H})}

La sommation porte sur les classes d'équivalence de données endoscopiques. La fonction f^{H} sur H(A) est attachée à f, d'une façon qui reste à expliquer, mais pour laquelle le cas de SL(2) sert comme modèle.

L'expression 𝒮𝒯(f^{H}) est la valeur de la trace stable sur H(A) sur la fonction f^{H}. La constante ι(G, H) ne dépend que de G et H, ou plutôt de G et de la classe 𝔖. Enfin, Ξ(f^{H}) est un terme correctif comme celui qui est déjà apparu pour le groupe SL(2).

Je vais expliquer dans le dernier chapitre comment on manie les termes elliptiques réguliers de la formule des traces pour obtenir une formule stabilisée, mais en supposant que les fonctions f^{H} existent.

Je donnerai aussi quelques exemples non triviaux pour vous convaincre de leur existence. Ce qui reste, même pour les cas particuliers, sont les termes paraboliques et les termes elliptiques singuliers. Pour ceux-là il faut se débattre avec la formule des traces d'Arthur, ce que je n'ai guère commencé f̀aire.

3. Conjugaison stable Dans ce paragraphe F sera soit un corps global soit un corps local. Soit T un sous-groupe de Cartan de

G, et soit 𝔄(T) = 𝔄(T/F) l'ensemble de tous les g dans G(F̄), F̄ étant la clôture séparable de F, tels que T^{g} = g^{−1}T g est aussi défini sur F, ainsi que l'isomorphisme t ↦ g^{−1}tg entre T et T^{g}. Soit ϑ(T) = ϑ(T/F) le quotient

T (F̄)\𝔄(T)/G(F) .

Deux sous-groupes de Cartan T et T′ sont dits stablement conjugués sur F s'il existe un g dans 𝔄(T/F) tel que T′ = T^{g}. On attache à g ∈ 𝔄(T) la classe du cocycle {α_{σ}} = {σ(g)g^{−1} | σ ∈ Gal(F̄/F)} dans H^{1}(F, T), et on obtient alors un plongement

ϑ(T) ↪ H^{1}(F/T) .

Soit G_{sc} le recouvrement simplement connexe du groupe dérivé G_{der} de G. Puisque on peut toujours supposer g dans G_{der}, et puis le relever à G_{sc}, on a

ϑ(T) ⊆ ℰ(T) = ℰ(T/F) = Image H^{1}(F, T_{sc}) ,

T_{sc} étant l'image inverse de T dans G_{sc}. Enplus ϑ(T) est l'image de ϑ(T_{sc}) et

ϑ(T_{sc}) = Noyau (H^{1}(F, T_{sc}) → H^{1}(F, G_{sc}))

qui n'est pas toujours un groupe, quoique ϑ(T) = ℰ(T) si F est un corps local nonarchimédien. En effet, dans ce cas H^{1}(F, G_{sc}) = 1.

On se souvient que X_{∗}(T) est le groupe des co-poids de T et que, T étant défini sur F, le groupe Gal(F̄/F) agit sur X_{∗}(T). Il agit aussi sur X_{∗}(T_{sc}) et X_{∗}(T_{sc}) ⊆ X_{∗}(T).

Définition de 𝔎(T/F).

a) Si F est un corps local soit 𝔎(T/F) le groupe des caractères complexes (pas nécessairement unitaires) de X_{∗}(T_{sc}) qui sont triviaux sur l'intersection de X_{∗}(T_{sc}) avec le réseau engendré par {σμ − μ | σ ∈ Gal(F̄/F), μ, ∈ X_{∗}(T)}.

b) Si F est un corps global soit 𝔎(T/F) le groupe des caractères complexes de X_{∗}(T_{sc}) qui sont triviaux sur l'intersection de X_{∗}(T_{sc}) avec le réseau engendré par {σμ − μ | σ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}), μ ∈ X_{∗}(T)} pour n'importe quelle place v de F et n'importe quel prolongement de v à F̄.

Il est évident que l'on a un plongement

𝔎(T/F) → 𝔎(T/F_{v})

si F est un corps global et v une place de F.

Soit F un corps local et considérons l'intégrale orbitale

Φ_{T} (γ, f) = ∫_{T (F)\G(F)} f(g^{−1}γg)dg ,

γ étant régulier dans T (F) et f étant une fonction sur G(F) assez bonne pour que ces intégrales existent. Si a ∈ 𝔄(T) la valeur de

Φ_{T^{a}}(γ^{a}, f)

ne dépend que le l'image δ de a dans ϑ(T) et on l'écrit parfois

Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}, f)

Soit K un corps qui déploie T. On se souvient que selon le théorème de Tate-Nakayama, le groupe ℰ(T) est isomorphe au quotient de groupe

{λ ∈ X_{∗}(T_{sc}) | Nm_{F/K}λ = 0}

par son intersection avec le sous-groupe de X_{∗}(T) engendré par les éléments σμ − μ, σ ∈ Gal(K/F), μ ∈ X_{∗}(T). Donc chaque κ ∈ 𝔎(T/F) définit un caractère de ℰ(T) et nous posons

Φ_{T}^{κ} (γ, f) = ∑_{ϑ(T/F)} κ(δ)Φ_{T} (γ^{δ}, f)

En prenant κ = 1 on obtient une intégrale stable

Φ_{T}^{st}(γ, f) = Φ_{T}^{1} (γ, f) = ∑_{ϑ(T/F)} Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}, f)

Nous avons déjà défini les distributions stables. Nous voudrions aussi définir la conjugaison stable de deux éléments γ et γ′ de G(F). Si le centralisateur de γ est un sous-groupe de Cartan T, la bonne définition devrait être la suivante: γ et γ′ sont stablement conjugués si et seulement s'il existe un g ∈ 𝔄(T) tel que γ′ = γ^{g}. Pour les autres paires la définition correcte n'est pas si évidente bien que l'on puisse en deviner une. Elle devrait vérifier les deux propriétés suivantes (au moins pour un corps local de caractèristique nulle):

a) la classe de conjugaison stable de n'importe quel γ est la réunion d'un ensemble fini de classes de conjugaison ordinaire;

b) la classe stable {γ}_{st} est la réunion de {γ_{1}}, …, {γ_{r}}, qui sont des classes de conjugaison ordinaires; soit G_{γ_{i}} le centralisateur de γ_{i}; il devrait exister des constantes c_{1}, …, c_{r} (pas nécessairement égales) telles que

f ⟼ ∑_{i=1}^{i=r} c_{i} ∫_{G_{γ_{i}(F)\G(F)}} f(g^{−1}γ_{i}g)dg

est une distribution stablement invariante.

L'ensemble {γ}_{st} sera l'ensemble minimal qui vérifie (a) et (b). Mais ceci est une disgression. Ce qu'il nous faut faire à présent est de trouver les liens entre les groupes endoscopiques, les couples (T, κ) et les intégrales orbitales.

4. Construction des données endoscopiques Pour commencer expliquons comment on attache à un couple (T, κ) des données endoscopiques. Pour

définir ^{L}G on fixe ψ: G → G^{∗} défini sur F̄. Le groupe G^{∗} est pourvu d'un sous-groupe de Borel B_{G^{∗}} et d'un sous-groupe de Cartan T_{G^{∗}} ⊆ B_{G^{∗}}. Ces deux groupes sont définis sur F. Choisissons g ∈ G^{∗}(F̄) de sorte que la restriction η de adg ∘ψ à T l'envoie sur T_{G^{∗}}. Cela nous donne une identification de X_{∗}(T_{G^{∗}}) et X_{∗}(T) comme modules sur Z, mais pas comme modules sous Gal(F̄/F). On note σ_{T} l'action de σ ∈ Gal(F̄/F) définie par T.

Le caractère κ devient un caractère de X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}), que l'on étend en un caractère s de X_{∗}(T_{G^{∗}}). Puisque

LT^{0} = Hom(X_{∗}(T_{G^{∗}}), C^{×}) ,

on a s ∈ ^{L}T^{0}. C'est la première donnée d'un ensemble de données endoscopiques et définit tout de suite la seconde ^{L}H^{0}. Nous prenons ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0} et

LB_{H}^{0} = ^{L}H^{0} ∩^{L}B^{0} .

Pour la cinquième nous prenons n'importe quel ensemble de Y_{α^{∨}} qui satisfont à la condition exigée.

L'ensemble des racines de ^{L}T_{H}^{0} dans ^{L}H^{0} est invariant relativement à σ_{T}. On écrit

σ_{T} = ω(σ)σ_{H} ,

où ω(σ) est un élément du groupe de Weyl de ^{L}H^{0} et σ_{H} est un automorphisme de X_{∗}(T_{G^{∗}}) qui laisse l'ensemble des racines simples de ^{L}T_{H}^{0} dans ^{L}B_{H}^{0} invariant. On a

σ_{H}τ_{H} = (στ)_{H} .

D'ailleurs σ_{H} s'étend d'une faĉon unique en un automorphisme de (^{L}H^{0},^{L}B_{H}^{0},^{L}T_{H}^{0}, {Y_{α^{∨}}}) et ρ: σ ↦ σ_{H} est la sixième donnée.

Il est évident que la condition (1) est remplie. La condition (2) est une conséquence de la définition de 𝔎(T/F). Il n'y a pas de choix unique de g. Un autre choix remplace η par η′ = ω ∘η, où ω est dans le groupe de Weyl de T_{G^{∗}} dans G^{∗}. Il est facile de vérifier que ce nouveau choix mène à des données équivalentes.

Soit H le groupe quasi-déployé attaché aux données. Fixons un sous-groupe de Borel de H sur F et un sous-groupe de Cartan T_{H} sur F qu'il contient. Puisque X^{∗}(T_{H}) = X_{∗}(^{L}T_{H}^{0}) et X^{∗}(T_{G^{∗}}) = X_{∗}(^{L}T^{0}) l'égalité ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0} donne un isomorphisme T_{H} → T_{G} qui n'est pas toutefois défini sur F. Le théorème de Steinberg ([34]) implique néanmoins qu'il existe un sous-groupe de Cartan T_{H} sur F et un automorphisme intérieur ν: T_{H} → T_{H} défini sur F̄ et tel que l'isomorphisme de T et T_{H}, implicite dans le diagramme suivant, soit défini sur F.

T_{H} ⟶^{ν} T_{H} ⟶ T_{G^{∗}}
η ↖
T

Nous aurons beaucoup à faire avec les diagrammes de cette sorte. Il est toujours entendu qu'ils s'obtiennent de la façon suivante. On fixe d'abord un automorphisme intérieur de ^{L}G^{0} qui envoie ^{L}T_{H}^{0} sur ^{L}T^{0} et ^{L}B_{H}^{0} dans ^{L}B^{0}. Cet automorphisme fixe un isomorphisme T_{H} → T_{G^{∗}} sur F̄. Alors on prend pour ν application provenant d'un automorphisme intérieur de H et pour η la restriction à T de adg ∘ ψ, g ∈ G^{∗}(F̄).

III. Le transfert d^{'}intégrales orbitales

1. Les facteurs de transfert Dans ce paragraphe nous allons exposer ce que l'on a su vérifier concernant l'existence des fonctions

f^{H}. Pour un corps archimédien il y a une belle théorie due à Shelstad, qui repose en partie sur l'analyse harmonique de Harish-Chandra et par conséquent donne des fonctions f^{H} dans l'espace de Schwartz-Harish-Chandra, tandis que la formule des traces exige des fonctions à décroissance plus rapide, et même de préférence des fonctions à support compact. Mais ses résultats me semblent quand même miraculeux, et ce sont eux qui m'ont convaincu de la valeur des groupes endoscopiques. Ils sont exposés dans les articles [24], [30], [31], et [32].

Pour les corps non archimédiens nous n'avons que des résultats fragmentaires dûs à Kottwitz et à Rogawski et qui reposent sur une analyse approfondie des aspects combinatoires des immeubles de Bruhat-Tits. Leurs résultats portent surtout sur le lemme fondamental et ne laissent guère de doute sur sa validité. Ils se trouvent dans [11] et [24].

Ces deux travaux contiennent aussi des résultats portant sur d'autres aspects des intégrales orbitales dont nous n'aurons pas l'occasion de faire mention.

Avant de donner un aperçu des ces résultats il faut expliquer, en partie au moins, ce que l'on attend des fonctions f^{H}. Je suis en général les articles de Shelstad. Soient F un corps local et G un groupe réductif connexe sur F. Nous fixons un ensemble de données endoscopiques. Au besoin on peut les remplacer par des données équivalentes de telle façon que ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0} et ^{L}B_{H}^{0} = ^{L}H^{0} ∩^{L}B^{0}. On se souvient que pour définir LG il faut choisir une forme quasi-déployée G^{∗} de G et un isomorphisme ψ: G → G^{∗} tel que ψ^{−1}σ(ψ): G → G est intérieur pour tout σ ∈ Gal(F̄\F). Il faut de plus choisir un sous-groupe de Borel B_{G^{∗}} de G^{∗} et un sous-groupe de Cartan T_{G^{∗}} de B^{∗}, les deux sous-groupes étant définis sur F. On se souvient qu'on a

X^{∗}(^{L}T^{0}) = X_{∗}(T_{G^{∗}})

c'est-à-dire le réseau de poids du ^{L}T^{0} est égal au réseau de co-poids de T_{G^{∗}}.

Puisque nous avons supposé que ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0} nous pouvons identifier

(3.1)  X_{∗}(T_{H}) = X^{∗}(^{L}T^{0}) = X_{∗}(T_{G^{∗}}) ,

ce qui nous donne un isomorphisme T_{H} → T_{G^{∗}}.

Si T_{H} est un sous-groupe de Cartan de H choisissons un isomorphisme ν: T_{H} → T_{H}, donné par adh avec h ∈ H(F̄). Il ne sera pas en général défini sur F. Selon un théorème de Steinberg [34] il existe un sous-groupe de Cartan T_{G^{∗}} de G^{∗} et un isomorphisme η^{∗}: T_{G^{∗}} → T_{G^{∗}} défini par adg^{∗}, avec g^{∗} ∈ G^{∗}(F̄), tels que l'isomorphisme entre T_{H} et T_{G^{∗}} donné par

(3.2)  D^{∗}: T_{H} ⟶^{ν}T_{H} ⟶ T_{G^{∗}} ⟵^{η^{∗}} T_{G^{∗}}

soit défini sur F. Si γ_{H} ∈ T_{H}(F), soit γ_{G^{∗}} son image dans T_{G^{∗}}(F).

On dit que la classe de conjugaison stable contenant T_{G^{∗}} relève de G s'il existe un sous-groupe de Cartan T_{G} de G sur F et un g ∈ G(F̄) els que ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} = ψ ∘ adg envoie T_{G} sur T_{G^{∗}} et est défini sur F. On voit facilement que les classes de conjugaison stable {T_{G}}_{st} et {T_{G^{∗}}}_{st} se déterminent mutuellement. Donc, d'après le théorème de Steinberg on a un plongement de l'ensemble des classes de conjugaison stable de G dans celui des classes de conjugaison stable de G^{∗}.

Soit D le diagramme

T_{H} ⟶^{ν} T_{H} ⟶  T_{G^{∗}}  ⟵^{η^{∗}} T_{G^{∗}}
η↖ ↑^{ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}}}
T_{G}

Ici η = η^{∗} ∘ ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}}. Les isomorphismes de T_{H} avec T_{G} ou T_{G^{∗}} données par le diagramme sont tous définis sur F, et un γ_{H} dans T_{H}(F) s'envoie sur γ^{G^{∗}} ou γ_{G}.

La donnée s se trouve dans

LT_{H}^{0} = ^{L}T^{0} = Hom(X^{∗}(^{L}T^{0}), C^{∗}) .

Vu la condition (2.a) que les données vérifient, et la définition de l'équivalence, on peut même remplacer s par zs, ou z est dans le centre de ^{L}G^{0}, et donc supposer que s est dans le centre de ^{L}H. En particulier ρ = ρ_{H} donne l'action du groupe de Galois sur ^{L}T^{0} ou X^{∗}(^{L}T^{)} et on a alors

ρ_{H}(σ)(s) = s ,

pour tout σ ∈ Gal(F̄/F). Soit σ_{T_{H}} l'action de l'élement σ du groupe de Galois sur X_{∗}(T_{H}) provenant du fait que T_{H} est un tore sur F. Identifiant X_{∗}(T_{H}) et X_{∗}(T_{H}) au moyen de η, on a

σ_{T_{H}} = ω_{H}(σ)ρ_{H}(σ), σ ∈ Gal(F̄/F) ,

où ω_{H}(σ) est dans le groupe de Weyl Ω(^{L}T^{0},^{L}H^{0}). Puisque l'élement s est dans le centre de ^{L}H^{0},

ω_{H}(σ)(s) = s ,

on en déduit que:

σ_{T_{H}} (s) = ρ_{H}(σ)(s) = s .

Mais σ_{T_{H}} = σ_{T_{G^{∗}}} = σ_{T_{G}} et il en résulte que s définit un élément κ de 𝔎(T_{G}/F) ou un élément κ^{∗} de 𝔎(T_{G^{∗}}/F). L'élement κ est, par exemple, la restriction de s à X_{∗}(T_{G_{sc}}) ⊆ X_{∗}(T_{G}).

Pour introduire la fonction f^{H} il faut fixer pas seulement une classe 𝔖 de données endoscopiques, ou plutôt un représentant de 𝔖, mais aussi un L-homomorphisme ϕ_{H}: ^{L}H → ^{L}G étendant le plongement LH^{0} ↪ ^{L}G^{0}. Les données étant fixées et ϕ_{H} étant aussi fixé, on veut attacher à chaque diagramme D une fonction

Δ(γ_{H}) = Δ(γ_{H}, D) = Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H})

sur l'ensemble des éléments γ_{H} dans T_{H}(F) tels que γ_{G} est régulier dans T_{G}(F).

Bien sûr, il y aura des conditions à remplir. La condition fondamentale est que f étant une fonction lisse et à support compact sur G(F) il devrait exister au moins une fonction f^{H} lisse à support compact sur H(F) telle que

(3.3)  Φ_{T_{H}}^{st} (γ_{H}, f^{H}) = 0

si γ_{H} ∈ T_{H}(F) est régulier mais aucun diagramme D n'est attaché à T_{H}, tandis que

(3.4)  Φ_{T_{H}}^{st} (γ_{H}, f^{H}) = Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H})Φ_{T_{G}}^{κ}(γ_{G}, f)

si D est attaché à T_{H} et γ_{G} est régulier dans T_{G}(F).

Il est bien entendu que les mesures ω_{G} et ω_{H} sur G(F) et H(F) sont fixées et que celle sur T_{G}(F) s'obtient, en utilisant le diagramme D, à partir de celle sur T^{H}(F). Donc f^{H} dépend de ω_{G} et ω_{H}.

Si la fonction f^{H} vérifie (3.3) et (3.4) nous écrirons f ↦ f^{H}, bien que f^{H} ne soit pas en général unique. Les fonctions Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}) sont implicites dans la notation.

Bien sûr, quoique fondamentale, cette condition ne nous interdit pas de prendre Δ(γ_{H}) ≡ 0. Mais il y a une autre condition portant sur les fonctions sphériques.

Supposons que ^{L}H et ^{L}G sont quasi-déployés, déployés sur une extension non ramifiée, et que ϕ_{H} est non ramifié. Alors on exige qu'il y ait une constante c ≠ 0 telle que

f ⟼ cϕ_{H}^{∗}(f)

pour chaque f ∈ ℋ_{G}.

Ce sont là toutes les conditions locales dont on aura besoin pour déduire une formule des traces stables, mais il y aura aussi des conditions globales sur le produit des fonctions Δ(γ_{H}) locales que j'expliquerai plus tard. Néanmoins il y a une condition locale cachée dont il faut se rendre compte si on veut développer une théorie entièrement locale. Mais, si on veut vérifier les théorèmes locaux par voie globale il faut supprimer cette condition au début pour la faire sortir comme théorème à la fin, parce que l'on ne peut pas la formuler sans des renseignements sur les L-paquets locaux.

Pour le corps réel ou le corps complexe, les résultats nécessaires sont déjà acquis et on peut formuler la condition locale d'une façon explicite. Il y a une application duale à la flèche f ↦ f^{H}. Elle envoie une distribution stablement invariante Θ sur H(F) sur une distribution invariante Θ^{G} sur G(F), et se définit par l'égalité

Θ(f^{H}) = Θ^{G}(f) .

Soit Π un L-paquet local tempéré. Il y a un problème sur lequel je reviendrai plus tard. C'est celui de trouver des constantes a(π) ∈ C^{∗} telles que

χ_{Π} = ∑_{π∈Π} a(π)χ_{π}

est une distribution stablement invariante. Pour les groupes réels on peut prendre chaque a(π) égal à 1. De toute faĉon, soit Π un L-paquet tempéré pour H(F) et supposons que son ϕ_{H}-image ϕ_{H}(Π) est défini. Supposons par exemple que F soit R ou C. Alors si θ = χ_{Π} on exige qu'il existe des constantes ε(π), π ∈ ϕ_{H}(Π), telles que

(3.5)  θ^{G} = ∑_{π∈ϕ_{H}(Π)} ε(π)χ_{Π} .

Quand G n'est pas quasi-déployé la ϕ_{H}-image peut-être vide, pour des raisons expliquées par Borel à Corvallis. Alors θ^{G} devrait être 0.

2. Quelques résultats de Shelstad Elle commence en caractérisant les intégrales orbitales stables attachées aux fonctions f dans l'espace

de Schwartz-Harish-Chandra. Bien que nous ne voulions pas nous perdre dans les détails techniques de la théorie des groupes réels, il faut néanmoins essayer de comprendre cette caractérisation parce que tous les résultats ultérieurs de Shelstad reposent dessus. Tout groupe sur C définissant par restriction des scalaires un groupe sur R, on peut supposer que F est réel.

Si on veut tenir compte des choix de mesures sur T (F) et G(F) qui définissent Φ_{T} (γ, f) ou Φ_{T}^{st}(γ, f) on écrit

Φ_{T} (γ, f; ω_{T} , ω_{G})

ou

Φ_{T}^{st}(γ, f; ω_{T} , ω_{G}) .

Pour chaque sous-groupe de Cartan T de G sur F et chaque ω_{T} et ω_{G}, on se donne une fonction Φ_{T} (γ; ω_{T} , ω_{G}) sur l'ensemble Treg(F) des éléments réguliers dans T (F), et on se demande s'il existe une fonction f dans l'espace de Schwartz-Harish-Chandra telle que

Φ_{T} (γ; ω_{T} , ω_{G}) = Φ_{T}^{st}(γ, f; ω_{T} , ω_{G})

pour tout T, tout ω_{G}, et tout ω_{T}.

Il y a une condition évidente et facile à vérifier dans la pratique:

i) si α, β > 0 alors

Φ_{T} (γ, αω_{T} , βω_{G}) = \frac{β}{α}Φ_{T} (γ, ω_{T} , ω_{G})

Il y a une autre condition évidente mais pas si facile à vérifier dans la practique:

ii) si a ∈ 𝔄(T), alors

Φ_{T^{a}}(γ^{a}, ω_{T}^{a} , ω_{G}) = Φ_{T} (γ, ω_{T} , ω_{G})

Il y a trois sortes de racines de T, les réelles, les complexes, et les purement imaginaires, qui prennent des valeurs purement imaginaires sur l'algèbre de Lie de T (F). Soit I l'ensemble des racines purement imaginaires et soit

Treg^{I}(F) = {t ∈ T (F) | α(t) ≠ 1 si α ∈ I} .

Alors Treg^{I}(F) ⊇ Treg(F). L'espace T (F) est une réunion finie d'espaces affines réels et on obtient Treg^{I}(F) en écartant de T (F) un nombre fini d'hyperplans. On définit d'une façon plus ou moins évidente l'espace de Schwartz de Treg^{I}(F). C'est l'espace des fonctions qui se comportent comme les fonctions de Schwartz habituelles sauf qu'elles peuvent sauter aux hyperplans α(t) = 1, α ∈ I.

Soit

R_{T} (γ) = ∏_{α∉I} |α(γ) − 1|^{\frac{1}{2}} ∏_{{α∈I \atop α>0}}(1 − α(γ^{−1})) .

Pour définir T_{T} (γ) il faut choisir un ordre sur les racines de T. Soit

ψ_{T} (γ, ω_{T} , ω_{G}) = R_{T} (γ)Φ_{T} (γ; ω_{T} , ω_{G})

La troisième condition est:

iii) La fonction ψ_{T} (γ; ω_{T} , ω_{G}) s'étend en une fonction de Schwartz sur Treg^{I}(F).

Ily enfin une quatrième condition qui porte sur les sauts mais qui est assez compliquée et je préfère renvoyer à l'article [29] de Shelstad pour un énoncé précis. La caractérsiation de Shelstad affirme que si toutes ces conditions sont vérifiées alors il existe une fonction f dans l'espace de Schwartz-Harish-Chandra telle que

Φ_{T} (γ, ω_{T} , ω_{G}) = Φ^{st}(γ, f; ω_{T} , ω_{G})

pout tout T, tout ω_{T}, et tout ω_{G}.

Problème. Démontrer que si les supports des fonctions Ψ_{T} (γ, ω_{T} , ω_{G}) sont relativement compacts dans T (F) alors on peut prendre pour f une fonction à support compact.

Dés que l'on sait résoudre ce problème, on peut utiliser les autres résultats de Shelstad pour vérifier que, si f est à support compact, alors on peut prendre f^{H} à support compact.

Le diagramme D définit un ensemble de racines positives de T_{H} ou T_{G}, celles qui s'envoient sur les racines positives de T_{G^{∗}}. Bien que H ne soit pas un sous-groupe de G, les racines positives de T_{H} forment un sous-ensemble des racines positives de T_{G}, parce que les racines de ^{L}T^{0} dans ^{L}H^{0} sont des racines de LT^{0} dans ^{L}G^{0}. Soit I_{G/H}^{+} l'ensemble de racines positives imaginaires de G qui ne sont pas de racines de H, et soit A_{G/H}^{+} l'ensemble des racines positives de G qui ne sont ni imaginaires ni racines de H. Shelstad pose

′Δ(γ, D) = ∏_{α∈I_{G/H}^{+}}(1 − α(γ^{−1})) ∏_{α∈A_{G/H}^{+}} |1 − α(γ^{−1})| |α(γ)|^{\frac{1}{2}} ,

et elle prend

Δ(γ, D, ϕ_{H}) = (−1)^{q(G,H)}ε(T_{G}, D)Λ(γ, D, ψ_{H})′Δ(γ, D)

Ici q(G, H) est un entier bien défini, et elle introduit le facteur (−1)^{q(G,H)} pour des raisons de convenances qui ne nous concernent pas. Le facteur ε(T_{G}, D) est +1 ou −1 et Λ(γ, D, ψ_{H}) est un caractère de T (F).

Il faut choisir les ε(T, D) et les Λ(γ, D, ϕ_{H}) de telle façon que l'on puisse appliquer la caractérisation des intégrales orbitales stables sur H(F) aux fonctions définies par les formules (3) et (4). En effet, trois miracles s'accomplissent, mais pas tout seuls.

D'abord, bien que les divers termes de la somme

∑_{ϑ(T/F)}′Δ(γ, D)κ(δ)Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}; ω_{T^{γ}} , ω_{G})

peuvent avoir des singularités sur les hyperplans

α(γ) = 1 α ∈ I_{G/H} ,

les singularités se neutralisent dans la somme, de sorte que la condition (iii) se vérifie. Ensuite il s'avère que pour chaque choix de ϕ_{H} on peut trouver, ce qui n'est pas du tout évident, un caractère Λ(γ, D, ψ_{H}) tel que, la condition de symétrie (ii) soit vérifiée. En le définissant on n'oublie d'ailleurs pas la formule (3.5).

Il reste à tenir compte de la condition (iv) que nous n'avons pas donnée explicitement. Elle entraîne des relations entre les ε(T, D) de deux sous-groupes de Cartan “voisins”. Le troisième miracle est que ces relations sont compatibles, les unes avec les autres.

3. Les corps non archimédiens Pour les corps non-archimédiens des résultats généraux n'existent pas. Soit F un corps non-archimédien.

Prenons pour groupe G le groupe SL(n), n étant un nombre premier impair. Dans ce cas le groupe endoscopique le plus intéressant est le groupe H des éléments de normes 1 dans E^{∗}, E étant une extension cyclique de F de degré n. le groupe^{L}H^{0} est le quotient de

GL(1, C) × … × GL(1, C) (n fois)

par le groupe GL(1, C) qui y est plongé en diagonale, et l'application ϕ_{H} envoie (x_{1}, …, x_{n}) sur

( \begin{matrix}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & x_{n} \end{matrix} )

Pour étendre ϕ_{H} à ^{L}H il n'est pas nécessaire de passer aux L-groupes relatifs au groupe de Weil. On peut prendre

LH = ^{L}H^{0} ⋊ Gal(E/F)

et alors ϕ_{H} envoie un élément σ ∈ Gal(E/F) sur g × σ où g est une matrice de permutation convenable. Pour être explicite nous choisissons la classe des données définissant H en sorte que

s = ( \begin{matrix}1 \\ & λ \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ^{n−1} \end{matrix} )

oú λ est une racine n-ième primitive de l'unité.

On a T_{H} = H et un diagramme D n'est pas autre chose qu'un plongement de H dans G sur F. Avant de définir les facteurs Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}), nous demandons quelle est la relation entre les intégrales Φ_{T_{G}}^{κ}(γ_{G}, f) et Φ_{T_{G′}}^{κ} (γ′_{G}, f) attachées aux deux diagrammes différents. C'est une question qui se pose en général et à laquelle on peut répondre sans difficulté. Soient D et D′ les deux diagrammes.

On a un diagramme commutatif

L'élément ω est dans le groupe de Weyl absolu de T_{H} dans H, et donc dans le groupe de Weyl absolu de T_{G^{∗}} dans G^{∗}. L'homomorphisme μ est défini par un élément a ∈ 𝔄(T/F). Il est clair que a définit une application de 𝔎(T/F) sur 𝔎(T′/F), et que κ′ = κ^{a} si κ et κ′ sont les éléments de 𝔎(T/F) et 𝔎(T′/F) définis par s. Donc, on a

Φ_{T_{G′}}^{κ′} (γ′_{G′}, f) = Φ_{T_{G}^{a}}^{κ^{a}}(γ_{G}^{a}, f)

Mais si a représente δ dans ϑ(T/F) alors κ(δ) est défini et on a le lemme suivant (voir Prop. 4.1 de [30]).

Lemme 3.1: Si a ∈ 𝔄(T/F) représente δ ∈ ϑ(T/F) et κ ∈ 𝔎(T/F) alors

Φ_{T}^{κ} (γ, f) = κ(δ)Φ_{T^{a}}^{κ^{a}}(γ^{a}, f) .

L'application g ↦ ag nous donne une bijection de 𝔄(T^{a}/F) sur 𝔄(T/F) et du ϑ(T^{a}/F) sur ϑ(T/F) que nous notons ε ↦ δε. On a alors:

Φ_{T}^{κ} (γ, f) = ∑_{ϑ(T/F)} κ(ε)Φ_{T^{ε}}(γ^{ε}, f)

= ∑_{ϑ(T^{a}/F)} κ(δε)Φ_{T^{aε}}(γ^{aε}, f)

= κ(δ) ∑_{ϑ(T^{a}/F)} κ^{a}(ε)Φ_{T^{aε}}(γ^{aε}, f)

parce que

σ(ah)h^{−1}a^{−1} = (σ(a)a^{−1})a(σ(h)h^{−1})a^{−1} ,

de sorte que

κ(δε) = κ(δ)κ^{a}(ε) .

Il résulte du lemme que si T = T_{G} et si a est défini par les deux diagrammes D et D′, alors

Δ(γ_{H}^{a}, D′, ϕ_{H}) = κ(δ)Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}) .

En général ces équations sont des conditions de compatibilité. Mais quand H est un tore, elles ont pour conséquence qu'il ne faut définir Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}) que pour un seul D, c'est-à-dire pour un seul plongement de H dans G.

Revenant au groupe G = SL(n) et au groupe endoscopique H, nous fixons un plongement de H dans G et une diagonalisation de H. Soient γ_{1}, …, γ_{n} les valeurs propres de γ ∈ H relatives à cette diagonalisation. Nous prenons

Δ(γ, D, ϕ_{H}) = ∏_{i<j} |γ_{i} − γ_{j}| .

Il s'agit donc de vérifier que

f^{H}(γ) = Δ(γ, D, ϕ_{H})Φ_{T} (γ, f)

s'étend à l'ensemble T (F) en une fonction lisse. Ici T est l'image de H dans G, et on écrit γ_{H} = γ_{G} = γ, osant oublier les conventions strictes en identifiant H et T.

Vu l'arbitraire dans le choix du plongement H ↪ G, un choix canonique des Δ(γ, D, ϕ_{H}) n'existe pas en général. Le mieux qu'on puisse espérers est que quand on passe au cas global on puisse choisir les facteurs locaux d'une façon compatible en sorte que leur produit soit canonique. Nous reviendrons sur ce problème. Il se rencontre déjà pour SL(2).

Soit G̃ le groupe GL(n) et soit T̃ le tore dans G̃ qui contient T. Donc T̃(F) ≃ E^{∗}. Si g ∈ GL(F) on peut écrire g = tg_{1} où t ∈ T̃(F̄) et g_{1} ∈ SL(n, F̄). Il est évident que g_{1} ∈ 𝔄(T/F) parce que

g_{1}^{−1}tg_{1} = g^{−1}tg, t ∈ T (F̄) , .

On obtient alors une application G̃(F) → ϑ(T) = ξ(T) qui définit en fait une bijection

NmE\F^{×} ≃ T̃(F)\GL(n, F)/SL(n, F) → ϑ(T) = ξ(T) = H^{1}(F, T) ,

parce que G est simplement connexe. Donc le caractère de ξ(T) donné par κ définit aussi un caractère κ de G̃(F) ou de F^{×}. Avec des choix convenables des mesures, on a

Φ_{T} (γ, f) = ∫_{T̃(F)\G̃(F)} f(g^{−1}γg)κ(g)dg .

Le groupe G̃(F) agit sur G(F) et on pose

f^{g}(κ) = f(gxg^{−1})

Il est évident que

(3.6)  Φ_{T}^{κ} (γ, f^{g}) = κ(g)Φ_{T}^{κ} (γ, f) .

J'esquisse maintenant une preuve que f^{H}(γ) s'étend à T (F) en fonction lisse, c'est-à-dire localement constante.

Il suffit de considérer un voisinage de l'identité. On peut développer Φ_{T}^{κ} (γ, f^{g}) en somme de germes (Shalika, A theorem on semi-simple p-adic groups, Ann. of Math. 96 (1972)). L'équation (3.6) entraîne que seuls les germes attachés aux éléments unipotents réguliers apparaissent. On se débrouille alors en observant que l'application de G sur l'espace vectoriel de dimension n − 1 donnée par les fonctions symétriques des valeurs propres est lisse aux éléments réguliers et en faisant le calcul de quelques déterminants.

Mais, même après avoir vérifié que les facteurs de transfert existent, il reste à vérifier ce que j'appelle le lemme fondamental, qui affirme que pour des G, H et ϕ_{H} non ramifiés on a f ↦ cϕ_{H}^{∗}(f).

Ici, le groupe H est non ramifié si et seulement si l'extension E/F est non-ramifiée. Le groupe H(F) est alors compact et l'algèbre de Hecke ℋ_{H} est isomorphe à C. Si on prend la fonction f_{1} à valeur constante (mesure H)^{−1}α alors sa transformée de Satake f̂_{1} est la fonction sur ^{L}H^{0} × Φ à valeur constante α. Ici Φ est un élément de Frobenius.

Si h est dans ^{L}H^{0}, alors ϕ_{H}(h × Φ) = g × Φ, où g est le produit d'une matrice diagonale et d'une matrice de permutation, la permutation étant cyclique d'ordre n. Donc g est conjugué à un multiple de

g_{0} = ( \begin{matrix}1 \\ & λ \\ & & λ^{2} \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & λ^{n−1} \end{matrix} )

où λ est une racine n-ième primitive de l'unité.

L'algebre de Hecke ℋ_{G} est isomorphe à une algèbre de fonctions sur P GL(n, C). Selon les définitions, l'application ϕ_{H}^{∗} envoie la fonction f ∈ ℋ_{G} sur la fonction f_{1} ∈ ℋ_{H} telle que

f_{1}(h) = (mesure H)^{−1}f̂(g_{0})

Le lemme fondamental s'énonce alors: Soient donnés le groupe H non-ramifié et un plongement non-ramifié ϕ_{H} de H dans G. Il existe une constante c telle que, pour toute fonction f ∈ ℋ_{G},

Φ_{T}^{κ} (γ, f) = cΔ(γ, D, ϕ_{H})^{−1}f̂(g_{0})

Kottwitz l'a démontré pour n = 3. Il utilise l'immeuble de Bruhat-Tits attaché à G. Pour n = 3 la constante c est le produit d'une racine cubique de l'unité et de (mesure H)^{−1}. La racine de l'unité est 1 si T (F) est contenu dans le sous-groupe compact maximal de G(F) définissant ℋ_{G}.

Pou le groupe unitaire spécial à trois variables et ses formes intérieures on n'a pas encore vérifié l'existence des f^{H}. Mais il y a un résultat de Rogawski qui est intéressant à cet égard ([24], [25]). Lui aussi utilise les immeubles.

Soit F un corps local à caractéristique résiduelle impaire et soit E une extension quadratique non ramifiée de F. On prend pour G le groupe unitaire spécial quasi-déployé attaché à E; c'est donc le groupe défini par la forme

(x̄_{1}, x̄_{2}, x̄_{3}) ( \begin{matrix}& & 1 \\ & −1 \\ 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )

où la barre dénote la conjugaison dans E relative à F. Nous avons déjà vu que le groupe unitaire déployé à deux variables H est un groupe endoscopique pour G.

Bien que les groupes endoscopiques ne soient pas en général des sous-groupes des groupes auxquels ils sont attachés, cet H-ci se plonge dans G, donnant le sous-groupe

\{( \begin{matrix}∗ & 0 & ∗ \\ 0 & ∗ & 0 \\ ∗ & 0 & ∗ \end{matrix} )\}

Soit Gal(E/F) = {1, σ} et soit a le cocycle de Gal(E/F) dans H(F̄) défini par a_{1} = 1,

a_{σ} = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & −1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Il est trivial, et il existe alors un h ∈ H(E) tel que

a_{σ} = hσ(h^{−1}) .

Si A est le groupe des matrices diagonales, le groupe

T = h^{−1}Ah = A^{h}

est défini sur F et T (F) est compact. Ce groupe est contenu dans H et dans G.

Si on prend T_{H} = T il y a un diagramme D évident. On a G = G^{∗} et on prend T_{G^{∗}} = T_{G} = T et ψ_{T_{G,T_{G^{∗}}}} égal à l'identité. De plus on prend T_{H} = T_{G} = A et ν = η = adh^{−1}. Nous rappelons que D nous définit un élément κ dans 𝔎(T/F).

Si

γ = ( \begin{matrix}∗ & 0 & ∗ \\ 0 & δ & 0 \\ ∗ & 0 & ∗ \end{matrix} )

est dans T (F) soit γ_{2} la valeur propre δ et soient γ_{1} et γ_{3} les deux autres valeurs propres.

On pose:

\begin{aligned}Δ_{H}(γ) & = |\frac{(γ_{1} − γ_{3})^{2}}{γ_{1}γ_{3}} |_{F}^{1/2} \\ Δ_{G}(γ) & = |(γ_{1} − γ_{2})(γ_{3} − γ_{2})|_{E}^{1/2}Δ(H(γ) \\ ω(γ) & = ω_{1}((γ_{1} − γ_{2})(γ_{3} − γ_{2})) , \end{aligned}

où ω_{1} est le caractère quadratique non-ramifié de E^{∗}.

Soit f_{0} l'unité dans l'algèbre de Hecke ℋ_{G} et f_{0}^{H} l'unité dans l'algèbre de Hecke ℋ_{H}. Alors Rogawski a démontré le théorème suivant.

Pour tout γ régulier dans T (F) on a

ω(γ)Δ_{G}(γ)Φ_{T}^{κ} (γ, f_{0}) = Δ_{H}(γ)Φ_{T}^{st}(γ, f_{0}^{H}) .

On est porté à croire que pour ϕ_{H} non-ramifié:

Δ(γ, D, ϕ_{H}) = ω(γ)|(γ_{1} − γ_{2})(γ_{3} − γ_{2})|_{E}^{1/2} .

IV. Les L-Paquets

Bien que le but de ces notes soit de donner une esquisse de la manière dont on commence à stabiliser la formule des traces et non d'entamer la vérification des résultats locaux, il me semble quand même utile de donner un aperçu des résultats déjà acquis sur la structure des L-paquets. Sauf pour les résultats de Shelstad pour les groupes réels, qui ont la vertu de mettre au jour les liens entre cette structure et les groupes endoscopiques, les théorèmes déjà vérifiés sont très sporadiques, et leurs auteurs ne cherchent pas toujours à les encadrer dans une philosophie générale, ce qui a des avantages évidents mais aussi des inconvénients. Je me restreins aux résultats locaux, les théorèmes globaux n'étant vérifiés que pour SL(2). Ceux-ci ont été exposés dans [33].

1. Les Groupes Réels Commençons avec les groupes réels, renvoyant le lecteur au papier [32] pour les démonstrations. Shel-

stad n'y considère que les L-paquets tempérés, la structure des L-paquets non-tempérés restant tout-à-fait obscure. On ne sait même pas leur attacher des distributions stablement invariantes, bien que ce soit là un problème qui pourrait s'avérer important pour l'étude des variétés de Shimura.

En général, pour un groupe réel un L-paquet de représentations de G(R) est attaché à un homomorphisme ϕ du groupe de Weil W_{C/R} dans ^{L}G tel que le diagramme

W_{C/R} ⟶^{ϕ} ^{L}G
id↘  ↙
W_{C/R}

est commutatif et les ϕ(W) sont semi-simples. Un tel homomorphisme est dit admissible, et on dénote le L-paquet Π_{ϕ}. C'est toujours un ensemble fini et s'il contient une représentation tempérée alors il ne contient que des représentations tempérées. Le L-paquet Π_{ϕ} est tempéré si et seulement si l'image d'un ensemble compact dans W_{C/R} par ϕ est relativement compact dans ^{L}G.

Soit Π_{ϕ} tempéré. On est amené, en grande partie par les résultats de Knapp-Zuckermann, à attacher quelques groupes à ϕ: le centralisateur S_{ϕ} de ϕ(W) dans ^{L}G^{0}; sa composante connexe S_{ϕ}^{0}; le centralisateur Z^{W} de ^{L}G dans ^{L}G^{0}, et le quotient

𝒮_{ϕ} = S_{ϕ}/Z^{W} S_{ϕ}^{0}

C'est un groupe abélien dans lequel le carré de chaque élément est 1. Nous verrons plus tard que pour les corps p-adiques ce groupe 𝒮_{ϕ} n'est pas toujours abélien, ce qui entraîne des conséquences frappantes.

Deux homomorphismes admissibles ϕ et ϕ′ dans W_{C/R} dans^{L}G sont dits équivalents s'il existe g ∈ ^{L}G^{0} tel que ϕ′ = adg ∘ ϕ, le L-paquet Π_{ϕ} est plutôt attaché à la classe de ϕ. On le note Π_{{ϕ}}. Si on remplace ϕ par ϕ′ alors on remplace S_{ϕ} par gS_{ϕ}g^{−1} et S_{ϕ}^{∘} par gS_{ϕ}^{∘}g^{−1}. Donc les deux groupes 𝒮_{ϕ} et 𝒮_{ϕ′} sont isomorphes et à isomorphisme intérieur près, l'isomorphisme est unique. Pour le corps réel ou le corps complexe ils sont abéliens et par conséquent canoniquement isomorphes. Nous attacherons quand même en général un groupe 𝒮_{{ϕ}} ≃ 𝒮_{ϕ} à la classe {ϕ}, et en tant qu'il ne s'agit que de classes de conjugaison dans 𝒮_{{ϕ}} nous pourrons le faire impunément.

Pour le corps réel (et donc le corps complexe aussi) Shelstad attache à chaque élément π de Π_{{ϕ}} une fonction complexe 𝔵 ↦ ⟨𝔵, π⟩ sur 𝒮_{{ϕ}}. Ces fonctions vérifient deux conditions importantes:

(i) La valeur ⟨𝔵, π⟩ ne dépend que de la classe de conjugaison de 𝔵 dans 𝒮_{{ϕ}} (Je souligne cette condition bien qu'elle ne dise rien pour le corps réel).

(ii) L'ensemble des fonctions ⟨ · , π⟩ est linéairement indépendant. Il y a une autre condition que je ne souligne pas bien qu'elle soit assez pénible à établir.

(iii) La fonction 𝔵 ↦ ⟨𝔵, π⟩ est un caractère de 𝒮_{{ϕ}}.

L'ensemble des fonctions ⟨ · , π⟩ ne donne pas toujours une base des fonctions sur 𝒮_{{ϕ}}, mais il résulte de (ii) que l'ensemble de fonctions

{ ∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨𝔵, π⟩ χ_{π} | 𝔵 ∈ 𝒮_{ϕ}} ,

χ_{π} étant le caractère de π, engendre le même espace de fonctions sur G(F) que l'ensemble

{χ_{π} |∈ Π_{ϕ}}

Nous allons voir que cela permet de ramener l'étude des caractères tempérés à l'étude des caractères tempérés stablement invariants, qui sont pour les groupes réels les sommes

∑_{π∈Π_{{ϕ}}} χ_{π} = ∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨1, π⟩ χ_{π} .

Soit donné un ensemble γ = {s,^{L}H^{0},^{L}B_{H}^{0},^{L}T_{H}^{0}}, {γ_{α^{v}}}, ρ) de données endoscopiques et un L-plongement ψ_{H}: ^{L}H ↪ ^{L}G qui étend le plongement ^{L}H^{0} ↪ ^{L}G^{0}. On suppose que s est contenu dans le centre de ^{L}H. Supposons enfin que l'on a choisi les fonctions Δ(γ, ϕ_{H}, D) selon la prescription de Shelstad de sorte que les fonctions f^{H} existent. Soit ϕ′: W_{C/R} → ^{L}H un homomorphisme admissible et soit ϕ = ϕ_{H} ∘ ϕ′. L'élément s = ϕ_{H}(s) est contenu dans S_{ϕ} et définit alors un élément 𝔵 dans 𝒮_{ϕ}, son image.

La somme

Θ = χ_{ϕ′} = ∑_{π∈Π_{ϕ′}} χ_{π}

est une distribution stablement invariante et on peut définir la distribution Θ^{G} sur G(F) par l'équation

Θ^{G}(f) = Θ(f^{H})

Theoreme [32]: Il existe une constante c({Δ}, ϕ′) telle que

Θ^{G} = c({Δ}, ϕ′) ∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨𝔵, π⟩ χ_{π} .

C'est ce résultat qui nous permet de ramener l'étude des caractères tempérés sur G(F) à l'étude des caractères tempérés stablement invariants sur les groupes endoscopiques attachés à G. Il y a seulement à vérifier que chaque classe {𝔵} dans 𝒮_{{ϕ}} provient de données endoscopiques.

Si ϕ est donné et si s est contenu dans S_{ϕ}, alors s définit ^{L}H^{0}, dans lequel on peut choisir ^{L}B_{H}^{0} et ^{L}T_{H}^{0}. On choisit aussi les Y_{α^{∨}}. Si w ∈ W_{C/R} alors ϕ(w) normalise ^{L}H^{0} et il existe a(w) ∈ ^{L}H^{0} tel que a(w)ϕ(w) normalise ^{L}B_{H}^{0}, ^{L}T_{H}^{0} et fixe l'ensemble des Y_{α^{∨}}. Soit ρ(w) l'automorphisme de ^{L}H^{0} donné par a(w)ϕ(w). Il ne dépend que de l'image de w dans le groupe de Galois. Donc ϕ et s définissent un ensemble complet de données endoscopiques.

Le fonctions 𝔵 ↦ ⟨𝔵, π⟩ ne sont pas canoniquement définies, et ne peuvent pas l'être. Néanmoins la nature des choix qu'il faut faire pour les définir reste obscure et le restera je suppose tant que l'on ne saura pas les définir pour les corps p-adiques. Nous y passons maintenant, mais seulement pour indiquer quelques problèmes.

2. Les groupes non archimédiens On espère que l'on peut classifier les L-paquets pour un corps non archimédien en utilisant le produit

direct

𝒲 = SL(2, C) × W_{F} ,

W_{F} étant le groupe de Weil

W_{F} = lim_{⟵} W_{K/F} [K: F] < ∞

On voudrait attacher à chaque homomorhisme ϕ de 𝒲 dans le groupe ^{L}G qui vérifie les conditions suivantes un L-paquet de représentations de G(F):

1) ϕ se factorise par un groupe

SL(2, C) × W_{K/F} , [K: F] < ∞ ;

2) ϕ est analytique sur SL(2, C) et continu sur W_{K/F};

3) le diagramme

↘ ↙_{W_{K/F}}^{𝒲 ⟶ ^{L}G}

est commutatif; 4) les images ϕ(w) des w ∈ W_{K/F} sont semi-simples;

5) si l'image de 𝒲 est contenue dans un sous-groupe parabolique ^{L}P de ^{L}G, alors ^{L}P relève de G (voir [4] ou [15]).

On définit S_{ϕ} comme le centralisateur de ϕ(𝒲) dans ^{L}G^{0}, et on pose encore

𝒮_{ϕ} = S_{ϕ}/Z^{W} S_{ϕ}^{0} .

On voudrait encore attacher à chaque élément π de Π_{{ϕ}} une fonction centrale sur 𝒮_{ϕ} en sorte que les conditions (i) et (ii) soient vérifiées. On voudrait aussi établir que:

(iv) si Π_{ϕ} est tempéré alors

∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨1, π⟩ χ_{π} = χ_{ϕ}

est stablement invariant;

(v) si γ est un ensemble de données endoscopiques, si ϕ′ est un homomorhisme admissible et tempéré de 𝒲 dans ^{L}H, si ϕ = ϕ_{H} ∘ ϕ′, et si Θ = χ_{ϕ′}, alors

Θ^{G} = c({Δ}, ϕ′) ∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨𝔵, π⟩ χ_{π} ,

Θ^{G} étant comme avant.

Pour le groupe GL(n) les groupes 𝒮_{{ϕ}} se réduisent toujours à {1} parce que le centralisateur d'un sousgroupe réductif de GL(n, C) est toujours connexe. De plus on pense que les L-paquets ne contiennent qu'un seul élément et chaque distribution inariante est déjà stablement invariante. Donc si on prend ⟨1, π⟩ = 1 les conditions (i), (ii) et (iv) sont vérifiées, et les groupes endoscopiques étant les sous-groupes de Levi des sous-groupes paraboliques, la condition (v) se réduit à la formule bien connue pour le caractère des représentations induites. Pourtant pour avoir une théorie conséquente il faut savoir que les représentations induites tempérées sont irréductibles, ce qui est connu (voir Bernstein-Zelevinsky [2]).

Pour le groupe G = SL(n) les groupes 𝒮_{{ϕ}} ne sont pas toujours triviaux. On prend ^{L}G = P GL(n, C). Si ϕ est donné, et si s ∈ S_{ϕ} on relève s et chaque élément ϕ(w) dans l'image de 𝒲 à des éléments s̃ et ϕ̃(w) dans GL(n, C) et on pose

⟨s, w⟩ = s̃ϕ̃(w)s̃^{−1}ϕ̃(w)^{−1} .

C'est une racine n-ième de l'unité qui est 1 pour w ∈ SL(2, C). Donc w ↦ ⟨s, w⟩ est un homomorphisme continu de W_{F}, et par conséquent de F^{×}, dans C^{×} et on obtient un plongement

𝒮_{ϕ} → Hom(F^{×}, C^{×}) .

Si l'ensemble Π_{ϕ} est en quelque sorte un dual de 𝒮_{ϕ}, on s'attendrait à pouvoir le représenter comme quotient de F^{×}. Mais le groupe GL(n, F) agit sur les classes de représentations de SL(n, F). On pose

π^{h}(g) = π(hgh^{−1}), h ∈ GL(n, F), g ∈ SL(n, F) .

Le centralisateur de la classe π sera noté G_{π}. Soit

U = {det h | h ∈ G_{π}}

Si on suppose que le L-paquet Π contenant π est l'ensemble {π^{h} | h ∈ GL(n, F)}, on obtient une bijection entre Π et F^{×}/U en envoyant π^{h} sur det h.

Si on observe que cette bijection dépend du choix de π dans Π on trouve une autre raison pour que la fonction ⟨𝔵, π⟩ attachée à π ne puisse pas être définie d'une façon unique.

On a donc deux points de vue à l'égard des L-paquets pour SL(n, F). On peut les étudier d'une manière concrète en passant à GL(n, F), ou, si on est toqué des L-groupes, on peut essayer de partir du cadre général des groupes 𝒲_{{ϕ}}. Gelbart et Knapp ont su faire le lien entre les deux ([5], [6]), au moins pour les représentations de la série principale.

Pour cela il fait introduire le R-groupe aui a été introduit avant le groupe 𝒮_{{ϕ}} et qui le précède dans l'ordre temporel comme dans l'ordre alphabétique. Son rôle est semblable à celui de 𝒮, mais il est dual non pas de l'ensemble de toutes les représentations dans un L-paquet mais seulement à celles qui sont contenues dans une représentation induite donnée. Donc il devrait être un quotient de groupe 𝒮_{{ϕ}}, ne coincidant pas avec lui sauf pour les L-paquets déduits d'une représentation induite d'un sous-groupe de Borel, parce que le sous-groupe de Levi est alors un groupe abélien avec des L-paquets réduits à un seul élément. C'est ce qui se passe pour les groupes réels.

Pour les groupes p-adiques le R-groupe n'est défini jusqu'à présent que pour les groupes de Chevalley. Nous allons vérifier, ce qui est d'ailleurs facile, qu'il coîncide avec le groupe 𝒮_{{ϕ}}, et puis nous allons examiner les résultats de C. D. Keys ([9]) pour voir s'ils confirment nos hypothèses.

Prenons G un groupe déployé simplement connexe de sorte que ^{L}G^{0} est un groupe adjoint. Pour notre objectif il suffit de prendre le L-groupe relatif à F, et alors ^{L}G = ^{L}G^{0}. Pour le L-homomorphisme nous prenons un homomorphisme continu ϕ de W_{F/F} = F^{×} dans ^{L}T^{0}.

On fixe dans G un sous-groupe de Borel B et un sous-groupe de Cartan T dans B les deux étant définis sur F. Donc les poids de ^{L}T^{0} sont les co-poids de T. Si a ∈ F^{×} et si λ est un poids de ^{L}T^{0}, soit a^{λ} l'élément de T (F) tel que μ(a^{λ}) = a^{⟨μ,λ⟩} pour chaque poids de T. Ces éléments engendrent T (F). Soit ξ_{λ} le caractère de F^{×} défini par l'équation

ξ_{λ}(a) = λ(ϕ(a)) .

On vérifie facilement qu'il existe un caractère unique ξ_{ϕ} de T (F) tel que

ξ_{ϕ}(a^{λ}) = ξ_{λ}(a) .

Comme d'habitude, on étend ξ_{ϕ} en un caractère de B(F), et on forme la représentation induite

ρ_{ϕ} = Ind(G(F), ξ_{ϕ}) ,

utilisant le décalage habituel en sorte que ρ_{ϕ} est unitaire quand ξ_{ϕ} l'est, comme on le suppose désormais. Alors les éléments du L-paquet Π_{ϕ} attaché à ϕ sont les composantes irréductibles de ρ_{ϕ}.

La composante connexe de S_{ϕ}^{0} de S_{ϕ}, le centralisateur de ϕ(F^{×}), est évidemment le groupe engendré par ^{L}T^{0} et les sous-groupes à un paramètre attaché aux racines α^{∨} telle que ξ_{α^{∨}} ≡ 1, ce qui est équivalent à l'équation ξ_{ϕ}(a^{α^{∨}}) ≡ 1. Soit Δ_{ϕ} l'ensemble de racines positives simples relatives à S_{ϕ}^{0} ∩^{L}B^{0} et soit R l'ensemble des éléments r ∈ S_{ϕ} tels que

(i) adr(^{L}T^{0}) = ^{L}T^{0}, (ii) adr(S_{ϕ}^{0} ∩^{L}B^{0}) = S_{ϕ}^{0} ∩^{L}B^{0}, (iii) adr(χ_{α^{∨}}) = χ_{rα^{∨}} si α^{∨} ∈ Δ_{ϕ}. Il est évident que S_{ϕ} est le produit semi-direct de S_{ϕ}^{0} et de R et que le groupe R est le groupe défini par Keys. Donc 𝒮_{ϕ} ≃ R, le groupe Z^{W} étant trivial.

Le caractère χ_{ρ_{ϕ}} de ρ_{ϕ} se calcule facilement et on voit immédiatement qu'il est stablement invariant. On est alors porté à définir le caractère du L-paquet Π_{ϕ} comme

χ_{ρ} = χ_{ρ_{ϕ}} .

On a l'égalité

χ_{ϕ} = ∑_{π∈Π_{ϕ}} ⟨1, π⟩ χ_{π} ,

où ⟨1, π⟩ est la multiplicité avec laquelle π intervient dans ρ_{ϕ}.

Ce sont Knapp et Zuckerman qui ont cherché exprès un caractère ϕ pour lequel le groupe R n'est pas abélien [10]. Donnons leur exemple qui fait beaucoup rêver.

Soit G le groupe simplement connexe du type D_{4} et soit F un corps à caractèristique résiduelle impaire. Le groupe ^{L}G est donc SO(8, C)/{±1}. Il y a trois caractères de F^{×} d'ordre 2, μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}. Posons

ϕ(a) = ( \begin{matrix}μ_{1}(a) \\ & μ_{2}(a) \\ & & μ_{3}(a) \\ & & & 1 \\ & & & & μ_{1}^{−1}(a) \\ & & & & & μ_{2}^{−1}(a) \\ & & & & & & μ_{3}^{−1}(a) \end{matrix} )

On vérifie d'abord que S_{ϕ}^{0} = ^{L}T^{0}, le roupe des matrices diagonales. Le groupe R = 𝒮_{ϕ} s'identifie à un sous-groupe du groupe de Weyl, et le groupe de Weyl est le groupe des applications

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ⟼ (±x_{σ(1)}, ±x_{σ(2)}, ±x_{σ(3)}, ±x_{σ(4)}) ,

σ étant une permutation et le nombre de changements de signe étant pair. Les caractères μ étant d'ordre deux, chaque application

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) → (±x_{1}, ±x_{2}, ±x_{3}, ±x_{4})

est dans R.

Les seules permutations dans R sont (12)(34), (13)(24), et (14)(23), parce que

( \begin{matrix}μ_{1}(a)μ(a) \\ & μ_{2}(a)μ(a) \\ & & μ_{3}(a)μ(a) \\ & & & μ(a) \\ & & & & μ_{1}^{−1}(a)μ(a) \\ & & & & & μ_{2}^{−1}(a)μ(a) \\ & & & & & & μ_{3}^{−1}(a)μ(a) \\ & & & & & & & μ(a) \end{matrix} )

est égal à ϕ(a) si μ ∈ {μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, 1}, et {μ_{1}μ, μ_{2}μ, μ_{3}μ, μ} est une permutation de {μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, 1}.

Donc R est un groupe non-abélien d'ordre 32, avec 16 représentations irréductibles de degré 1 et une représentation irréductible de degré 4. D'autre part Π_{ϕ} contient 17 représentations et 16 des nombres ⟨1, π⟩ sont égaux à 1 tandis qu'un est égal à 4. Les éléments du L-paquet sont paramétrisés par les représentations irréductibles du grupe R, et les nombres ⟨1, π⟩ sont égaux aux dimensions de ces représentations, ce qui est vraiment émerveillant.

Keys a étudié le cas général et a vérifié que le phénomène découvert par Knapp-Zuckermann se rencontre toujours. Le nombre des composantes irréductibles de ρ_{ϕ} est le nombre des représenttions irréductibles du groupe fini R, et les multiplicités ⟨1, π⟩ avec lesquelles elles interviennent dans ρ_{ϕ} sont égales aux degrés des représentations irréductibles de R.

Les seuls groupes pour lesquels F n'est pas abélien sont les groupes de types D_{n} ou E_{7}, E_{8}. Les résultats pour les groupes de type E_{6}, E_{7}, E_{8} ne se trouvent pas dans la thèse de Keys, mais il sait les traiter aussi.

V. Quelques Problèmes Globaux

Avant de passer à la stabilisation de la formule des traces je voudrais dire quelques mots sur les problèmes les plus immédiats à résoudre. Pour le groupe SL(3) et les formes tordues de SU(3) il s'agit d'abord de vérifier le principe de fonctorialité pour les plongements ϕ_{H}: ^{L}H ↪ ^{L}G et par suite d'obtenir des résultats sur L-paquets locaux analogues à ceux de Shelstad.

On constate pourtant que pour SL(3), le principe de fonctrialité pour le plongement défini pour le groupe des éléments de normes 1 dans E^{×}, E étant une extension cyclique de degré 3, a été déjà établi par Piatetski-Shapiro (voir H. Jacquet, I. I. Piatetski-Shapiro, J. Shalika Automorphic forms on GL_{3}, II, Ann. of Math., v. 109 (1979)). Donc dans ce cas les résultats nouveaux seront les résultats locaux.

Le groupe U(2) quasi-déployé se trouve parmi les groupes endoscopiques attachés à une forme tordue G de SU(3). Si cette forme tordue est elle-même un groupe unitaire on peut établir une partie du principe de fonctorialité en utilisant la représentation de Weil (voir l'article [12] de Kudla).

En géneral la forme quasi-déployée G^{∗} de SU(3) se trouve parmi les groupes endoscopiques attachés à G. Donc la formule des traces stables ramène l'étude des représentations automorphes de G(A) à celle des groupes de dimension plus basse et à celle des représentations automorphes de G^{∗}(A).

Je ne vois qu'un seul moyen d'étudier la partie stable de la formule des traces pour G^{∗}(A). Si G^{∗} est défini par rapport à l'extension quadratique E de F il faut vérifier que l'on peut changer la base de F à E, G^{∗} devenant G_{1} = SL(3)/E et puis exploiter, tant que l'on peut, les résultats connus pour SL(3). Quelques des résultats locaux nécessaire sont déjà acquis et dûs à Kottwitz, mais on aura besoin d'une formule tordue des traces pour G_{1} qui n'est pas une conséquence immédiate de la formule d'Arthur. De plus, les formules tordues doivent être stabilisées.

Il y aura aussi des théorèmes à vérifier qui ne sont pas des conséquences formelles du principe de fonctorialité. Ce sont les variétés de Shimura qui nous ont poussé à étudier la L-indiscernabilité. Pour en avoir, passons à la forme projective de G. Le L-groupe devient SL(3, C) × Gal(E/F), et pour éviter des explications à présent inutiles, je vais supposer que F est Q et que E est imaginaire. Soit ρ_{0} le plongement de ^{L}G^{0} = SL(3, C) dans GL(3, C). C'est une représentation de dimension 3. Nous posons

ρ = Ind(^{L}G,^{L}G^{0}, ρ_{0}) .

Comme j'ai expliqué dans mon exposé [17], on pense que la fonciton zêta d'une variété de Shimura attachée à G est le produit de puissances des facteurs des fonctions L (s − \frac{d}{2}, π, ρ) et une des raisons d'introduire les groupes endoscopiques est de donner une égalité précise qu'on essayera de vérifier ensuite par d'autres moyens. En particulier, on utilisera les groupes endoscopiques pour factoriser les fonctions L(s, π, ρ).

Supposons le quotient G(Q)\G(A) compact mais le groupe G déployé sur R. La variété de Shimura est alors de dimension 2, et les représentations qui me troublent le plus sont celles qui donnent de la cohomologie dans les degrés 1 et 3. Si π = ⊗π_{v} est une telle représentation, alors selon les résultats qui se trouvent dans le livre de Borel-Wallach, il y a deux possibilités pour π_{∞}.

Considérons les deux homomorphismes ϕ^{1}, ϕ^{2} de W_{C/R} dans ^{L}G définis par

\begin{matrix}ϕ^{1}: z & ⟼ ( \begin{matrix}z \\ & z^{−1}z̄ \\  & z̄^{−1} \end{matrix} ) × z  z ∈ C^{×} \\ ϕ^{2}: z & ⟼ ( z̄ ; zz̄^{−1} ; z^{−1} ) × z  z ∈ C^{×} \\ ϕ^{j}: σ & ⟼ ( \begin{matrix}−i \\ & 1 \\ & & i \end{matrix} ) × σ  j = 1, 2 . \end{matrix}

On prend pour W_{C/R} le groupe engendré par C^{×} et σ avec σ^{2} = −1. Suivant la classification des représentations des groupes réels, les L-paquets Π_{ϕ^{1}} et Π_{ϕ^{2}} ne contiennent qu'un élément: Soient π^{1} ∈ Π_{ϕ^{1}} et π^{2} ∈ Π_{ϕ^{2}}. Ils sont les deux possibilités pour π_{∞}. Bien qu'on pense que χ_{π^{1}} et χ_{π^{2}} se trouvent dans la partie stable de la formule des traces, elles ne sont pas stables. Donc il ne faut pas attendre à démêler la formule des traces stable sans peine.

Mais π^{1} et π^{2} donnent une partie de dimension un de la cohomologie dans les degrés 1 et 3. En somme une partie de dimension deux de la cohomologie totale. Donc il ne semble pas être possible que les fonctions L(s−d, π^{i}, ρ), qui sont des produits eulèrients de degré 6 sur Q ou de degré 3 sur E, apparaissent elles-même dans le produit donnant la fonction zêta. Il faut plutôt trouver des facteurs de degré 2 sur E, la variété de Shimura étant définie sur E. Elles seront selon toute probabilité des facteurs de L(s − d, π^{i}, ρ), moyennant des modifications à un nombre fini de places.

On constate ensuite que même ces facteurs de degré 2 sur E doivent se factoriser, parce que les π^{i} donnent de la cohomologie dans les deux dimensions 1 et 3, et la fonction zêta elle-même se factorise au moyen des fonctions L attachées à la cohomologie dans chaque dimension. Donc si π_{∞} est égale à π^{1} ou π^{2}, il semble que L(s, π, ρ) sera le produit de trois facteurs eulériens de degré 1. Mais si π relève à la représentation π′ de PGL(3, A_{E}) alors L(s, π, ρ) = L(s, π′) si L(s, π′) est la fonction L standard de Godement-Jacquet. Donc on est porté à croire que π′ sera une représentation eisensteinienne provenant d'un sous-groupe de Borel de P GL(3), et c'est cela qu'il s'agit de vérifier, ce qui suggérera que la variété de Picard de la variété de Shimura est de type CM.

Le représentations de G ou plutôt de G^{∗} qui se relèvent en des représentations eisensteiniennes doivent se manifester assez clairement pendant la démonstration de la possibilité d'un changement de base. Mais il est difficile de prévoir si les résultats de Jacquet-Shalika nous permettront d'établir que si le relèvement de π est cuspidal alors π_{∞} n'est ni π^{1} ni π^{2}.

Il y a un autre problème que Rapoport m'a signalé. Bien qu'il l'ait résolu par des méthodes géométrique [28] on voudrait trouver une solution dans le cadre des représentations automorphes. On suppose que le groupe G est défini par un corps non-commutatif M de dimension 3 sur E et par une involution de M. Donc G n'est pas un groupe unitaire sur Q bien qu'il le soit sur R. On se demande, pour des raisons qui ne nous concernent pas à présent, si dans ce cas-ci il n'y a aucune représentation automorphe π de G(A) pour laquelle π_{∞} est π^{1} ou π^{2}. Donc on se demande si la variété de Picard est triviale. Si on a résolu le problème pour G^{∗} posé ci-dessus on pourra globalement résoudre celui pour G en tenant compte de la forme de l'application locale f → f^{G^{∗}}.

Enfin on voudra passer à d'autres groupes, surtout au groupe symplectique à quatre variables, mais personne n'a aboré ce groupe du côté de la formule des traces. Son L-groupe est le groupe projectif symplectique sur C qui se plonge dans P GL(4, C), le L-groupe de SL(4). Pour obtenir des bons résultats sur le groupe symplectique et d'autres groupes avec le même groupe adjoint il faudra probablement vérifier le principe de fonctorialité pour ce plongement, ce qui se fera peut-être au moyen d'une formule des traces tordues pour l'automorphisme extérieur A → ^{t}A^{−1} de SL(4). Je ne suis pas sûr, et je ne sais même pas si cela est pour le proche avenir.

VI. Des Propriétés Supplémentaires Locales

Supposons que nous ayons un diagramme

\begin{aligned}T_{H} & ⟶^{ν} & T_{H} & ⟶ & T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} \\ & & & & & & T_{G} \end{aligned}  (D)

En remplaçant T_{G} par T_{G^{∗}}, ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} par l'ientité, et η par η_{∗} on obtient le diagramme D_{∗} pour le groupe G^{∗}. Supposons de plus que les deux facteurs de transfert Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}) et Δ(γ_{H}, D_{∗}, ϕ_{H}) soient définis. Les résultats de Shelstad suggèrent que le quotient

\frac{Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H})}{Δ(γ_{H}, D_{∗}, ϕ_{H})}

sera une constante qui dépend de D et peut-être de ϕ_{H} mais pas de γ_{H}. Vu le facteur arbitraire dans Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H}) cette constante ne se laisse pas prédire.

Mais si on a deux diagrammes D et D′ avec le même H et si on définit c(D′, D) par

(6.1)  \frac{Δ(γ′_{H}, D′, ϕ_{H})}{Δ(γ′_{H}, D′_{∗}, ϕ_{H})} = c(D′, D) \frac{Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H})}{Δ(γ_{H}, D_{∗}, ϕ_{H})} ,

alors c(D′, D), qu'on suppose indépendant de γ_{H} et γ′_{H}, ne dépend pas de ce facteur arbitraire, et le problème de le trouver explicitement se pose.

Dans ce chapitre nous définissons pour n'importe quel corps local de caractèristique zéro un invariant c(D′, D) attaché aux diagrammes D et D′. Pour le corps réel et le corps complexe nous vérifions à l'aide des résultats de Shelstad que l'égalité (6.1) est satisfaite. Il nous faudra pourtant dans la suite supposer qu'elle est vérifiée en général.

Nous commençons en rappelant des théorm̀es de Poitou-Tate dont nous aurons besoin. Comme dans les notes polycopiées de Lang ([14]) nous les déduisons de la dualité de Tate-Nakayama.

1. Rappel des résultats locaux de Poitou-Tate Soit F un corps local de caractéristique zéro et soit U un module galoisien fini sur F, donc un Gal(F̄/F)-

module. Le module U étant donné on construit

Û = Hom(U, Q/Z)

et

A(F̄) = Hom(Û, F̄^{×}) ,

qui sont tous les deux des modules galoisiens finis, et A(F̄) est l'ensemble des points géométriques sur F̄ d'un groupe multiplicatif A sur F.

Nous fixons un entier positif n tel que l'ordre de chaque élément de U divise n. Alors

Û = Hom(U, n^{−1}Z/Z) = Hom(u, Z/nZ) .

Si K ⊆ K′ sont deux extensions galoisiennes de F dans F̄ et si Gal(F̄/K) opère trivialement sur U alors on a un plongement

H^{−1}(Gal(K/F), U) → H^{−1}(Gal(K′/F), U) ,

et

H^{−1}(U) = \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{−1}(Gal(K/F), U)

est le quotient de U par le sous-groupe engendré par

{σu − u|σ ∈ Gal(F̄/F), u ∈ U} .

Si on suppose encore, et on le suppose toujours, que K est suffisamment grand pour que Gal(F̄/K) agisse trivialement alors on a

A(K) = Hom(Û, K^{×}) .

L'inflation donne des homomorphismes

H^{2}(Gal(G/F), A(K)) → H^{2}(Gal(K′/F), A(K′)) ,

et nous posons

H^{2}(A(F̄)) = \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{2}(Gal(K/F), A(K)) .

Le premier résultat dont nous aurons besoin est le suivant.

Lemme 6.1: Il existe pour chaque U un isomoprhisme

H^{1}(U) → H^{2}(A(F̄)) ,

et ces isomoprhismes sont fonctoriels relatifs à U.

Avant de la vérifier nous donnons l'énoncé d'un deuxième lemme dont nous aurons besoin. Le groupe

H^{1}(A(F̄)) = \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{1}(Gal(K/F), A(K))

est défini aussi comme limite directe, mais pour un corps local de caractéristique zéro cette suite se stabilise. Si (A(F) = A(F̄) cela est évident parce que

H^{1}(Gal(K/F), A(K)) = Hom(Gal(K/F), A(F)) ,

et le corps F n'a qu'un nombre fini d'extensions abéliennes d'un degré donné. Pour le vérifier en général on choisit une extension galoisienne finie L telle que A(F̄) = A(L), et on utilise le diagramme à lignes et colonnes exactes ([26], p. 125):

1  1
↓ ↓
1 → H^{1}(Gal(L/F), A(L)) → H^{1}(Gal(K/F), A(K)) → H^{1}(Gal(K/L), A(K))
∥ ↓ ↓
1 → H^{1}(Gal(L/F), A(L)) → H^{1}(Gal(K′/F)), A(K′)) → H^{1}(Gal(K′/L), A(K′))
↓ ↓
H^{1}(Gal(K′/K), A(K′)) = H^{1}(Gal(K′/K), A(K′))

Il s'agit bien sûr d'un diagramme compliqué qui se réduit à un calcul simple. De toute façon si l'on a une classe α dans H^{1}(Gal(K′/F), A(K′)) et si son mage β dans H^{1}(Gal(K′/L), A(K′)) provient de H^{1}(Gal(K/L), A(K)), alors l'image de β et donc de α dans H^{1}(Gal(K′/K), A(K′)) est zéro. On conclut que α provient de H^{1}(Gal(K/F), A(K)).

On a aussi des homomoprhismes surjectifs

H^{−2}(Gal(K′/F), U) → H^{−2}(Gal(K/F), U)

Si {λ_{σ′}|σ′ ∈ Gal(K′/F)} est un cycle, on l'envoie sur {λ_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)}, où

λ_{σ} = ∑_{σ′→σ} λ_{σ′} .

Puisque la condition imposée sur un cycle est

∑_{σ} σ^{−1}λ_{σ} = ∑_{σ} λ_{σ} ,

on vérifie sans peine que l'homomorphisme est surjectif. On choisit pour tout σ une image inverse σ̄ et si {λ_{σ}} est donné on pose λ_{σ′} = λσ̄ si σ′ → σ et σ′ = σ̄ mais λ_{σ′} = 0 si σ′ → σ et σ′ ≠ σ̄. Nous posons

H^{−2}(U) = \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), U) .

C'est aussi une suite qui se stabilise.

Cela se vérifie en trois étapes. On observe d'abord que la suite

H^{−2}(Gal(K′/K), U) → H^{−2}(Gal(K′/F), U) → H^{−2}(Gal(K/F), U) → 0

est exacte même si l'action de Gal(K′/K) sur U n'est pas triviale. Il s'agit en effet d'un fait bien connu. Si l'image de {λ_{σ′}} est zéro on peut supposer que

∑_{σ′→σ} λ_{σ′} = 0

pour chaque σ. Un bord est de la forme

μ_{σ′} = ∑_{τ∈Gal(K′/F)} τ^{−1}μ_{τ,σ′} + μ_{σ′,τ} − μ_{τ^{−1},τσ}

Si σ ≠ 1 et si σ′ est donné soit σ′ = σ̄ρ, ρ ∈ Gal(K′/K). Si μ_{τ_{1},τ_{2}}(σ′) = 0 sauf pour τ_{1} = σ̄, τ_{2} = ρ et si μ_{σ̄,ρ} = λ_{σ′} alors son bord est zéro sauf à ρ, σ̄ et σ′, où il prend respectivement les valeurs σ̄^{−1}λ_{σ′}, λ_{σ′}, et −λ_{σ′}, ou, si ρ = 1, σ̄^{−1}λ_{σ′} et 0. On conclut qu'on peut supposer que λ_{σ′} = 0 si σ ≠ 1, c'est-à-dire que {λ_{σ′}} provient de H^{−2}(Gal(K′/K), U).

Pour vérifier que la suite se stabilise quand l'action de Gal(F̄/F) est triviale on peut supposer que U = Z/mZ de sorte que

H^{−2}(Gal(K/F), U) = Gal(K/F)/ ⋂_{ϕ} N(ϕ) ,

où ϕ parcourt l'ensemble des homomorphismes de Gal(K/F) dans Z/mZ et N(ϕ) est ls noyau de ϕ. Pour traiter le cas général on utilise le diagramme à lignes et colonnes exactes:

H^{−2}(Gal(K′/K), U) = H^{−2}(Gal(K′/K), U)
↓ ↓
H^{−2}(Gal(K′/L), U) → H^{−2}(Gal(K′/F), U) → H^{−2}(Gal(L/F), U) → 1
↓ ↓ ∥
H^{−2}(Gal(K/L), U) → H^{−2}(Gal(K/F), U) → H^{−2}(Gal(L/F), U) → 1

Si α dans H^{−2}(Gal(K′/F), U) s'envoie sur 0 dans H^{−2}(Gal(K/F), U) il provient d'un élément β dans H^{−2}(Gal(K′/K), U). Si la flèche verticale en bas à gauche est injective alors l'image de β dans H^{−1}(Gal(K′/L), U) est zéro. Il en résulte que α est zéro.

Nous vérifions maintenant le Lemme 6.1 et le lemme suivant.

Lemme 6.2: Il existe pour chaque U un isomorphisme

H^{−2}(U) → H^{1}(A(F̄))

et ces isomorphismes sont fonctoriels en U.

Mais nous ne voulons pas seulement vérifier l'existence de ces isomorphismes mais aussi les donner d'une façon explicite. Nous expliquons maintenant comment ils se définissent.

Si ε est une racine n-ième de l'unité dans F̄ et si u est dans N, alors ε^{u} sera l'élément de A(F̄) qui envoie û dans Û = Hom(U, Z/nZ) dans ε^{⟨u,û⟩}.

Soit K/F une extension galoisienne suffisamment grande mais finie et soit α = {α_{ρ,σ}} un représentant de la classe fondamentale de K/F. Soit K′ une extension de K dans F̄ qui contient les racines n-ièmes des α_{ρ,σ}. Soit β = {β_{ρ,σ}} tel que

β_{ρ,σ}^{n} = α_{ρ,σ} ,

et définissons le 3-cocycle

δ = {δ_{ρ′,σ′,τ′}|ρ′, σ′, τ′ ∈ Gal(K′/F)}

à valeurs dans le groupe des racines n-ièmes de l'unité par

δ_{ρ′,σ′,τ′} = ρ′(β_{σ,τ})β_{ρσ,τ}^{−1} β_{ρ,σ}^{−1}

si ρ, σ, τ sont les images de ρ′, σ′, τ′ dans Gal(K/F). Puisque δ_{ρ′,σ′,τ′} ne dépend que de ρ′, σ, τ me permets d'écrire δ_{ρ′,σ,τ} ou δ_{ρ′,σ′,τ}.

Chaque élément de H^{−1}(U) est représenté par un élément u de U tel que pour un K suffisamment grand

∑_{σ∈Gal(K/F)} σu = 0 .

Nous posons

(6.2)  b_{ρ′,σ′} = ∏_{τ∈Gal(K/F)} δ_{ρ′,σ′,τ}^{−ρστu} ∈ A(K′)

J'affirme que b = {b_{ρ′,σ′}} est un 2-cocycle.

En effet on a les égalités

π′(δ_{ρ′,σ,τ})δ_{π′,ρ′,σ,τ}^{−1} δ_{π′,ρ,σ} = 1 .

Donc le bord de b, qui est donné par

Π_{τ} π′(δ_{ρ′,σ,τ})^{−πρστu}δ_{π′,ρ′,σ,τ}^{πρστu} δ_{π′,ρσ,τ}^{−πρστu}δ_{π′,ρ,τ}^{πρτu}

est égal à

Π_{τ} δ_{π′,ρ,σ}^{−πρστu} = δ_{π′,ρ,σ}^{−πρσΣτu} = 1 .

Que la classe de b dans H^{2}(A(F̄)) ne dépend pas du choix de u, {α_{ρ,σ}}, {β_{ρ,σ}} et K′ résulte d'un calcul facile, mais la vérification directe qu'elle ne dépend pas de K m'échappe, bien qu'une telle vérification doit en principe exister. Heureusement la preuve que {u} → {b} est un isomorphisme établit au même temps qu'il est bien défini.

Supposons que {u_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} définisse un élément de H^{−2}(Gal(K/F), U). Nous posons

(6.3)  b_{ρ′} = Π_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσu_{τ}} .

On vérifie sans peine que {b_{ρ′}} est un cocycle, et définit donc un élément de H^{1}(A(F̄)). Nous donnerons plus tard la preuve qu'on obtient de cette façon un homomorphisme bien défini de H^{−2}(U) dans H^{1}(A(F̄)) pourvu que K soit assez grand, et en particulier que

H^{−2}(Gal(K′/F), U)  →  H^{−2}(Gal(K/F), U)
↘  ↙
H^{1}(A(F̄))

est commutatif.

Pour les démonstrations nous choisissons une extension finie de F telle que U se donne comme Gal(L/F)- module et ensuite deux suites exactes:

0 → X → Y → U → 0 ; (6.4) 0 → V̂ → Ŵ → Û → 0 . (6.5)

Dans ces suites X, Y, V̂, et Ŵ sont des Z-modules de rang fini et sans torsion sur lesquels Gal(L/F) agit, et Y et Ŵ sont des Gal(L/F)-modules libres.

Dualisant nous obtenons:

0 → Ŷ → X̂ → Û → 0 ; (6.6) 0 → W → V → U → 0 . (6.7)

On a posé, par exemple, X̂ = Hom(X, Z). On a X̂ ⊆ Hom(Y, Q). Soit ⟨λ, λ̂⟩ la valeur de λ ∈ X̂ à λ̂ ∈ Y. Si λ représente u et λ̂ représente û alors

⟨u, û⟩ ≡ ⟨λ, λ̂⟩ (mod Z)

où on a pris pour Û le groupe Hom(U, n^{−1}Z/Z). Si on prend Hom(U, Z/nZ) alors

⟨u, û⟩ ≡ n ⟨λ, λ̂⟩ (mod nZ) .

Soient S_{X} et S_{Y} les tores algèbriques attachés à X et Y. Donc

S_{X}(F̄) = Hom(X, F̄^{×}) ,

et on a une suite exacte

1 → A(F̄) → S_{X}(F̄) → S_{Y} (F̄) → 1 .

Si α est dans F̄^{×} et λ dans X soit α^{λ} l'élément dans S_{X}(F̄) qui envoie λ̂ sur α^{⟨λ,λ̂⟩}. On observe que si ε est une racine n-ième de l'unité et u dans U est représenté par λ dans Y alors l'image de ε^{u} ∈ A(F̄) est ε^{nλ} ∈ S_{X}(F).

Nous avons un diagramme commutatif qu'il reste à expliquer:

(6.8)

0 → H^{−1}(U) →  \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), X)  →  \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), Y)
↓  ↓
0 → H^{2}(A(F̄)) → \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{2}(Gal(K/F), S_{X}(K)) → \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{2}(Gal(K/F), S_{Y} (K)) .

La suite horizontale en bas est la suite évidente qu'on obtient en utilisant le théorème 90 de Hilbert qui affirme que

H^{1}(Gal(F̄/F), S_{Y} (F̄)) = 0 ,

ainsi que l'égalité

H^{2}(Gal(F̄/F), S_{X}(F̄)) = \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{2}(Gal(K/F), S_{X}(K))

et la même égalité pour Y.

la suit ehorizontale en haut s'obtient des diagrammes commutatifs:

0 → H^{−1}(Gal(K/F), U) → H^{0}(Gal(K/F), X) → H^{0}(Gal(K/F), Y)
↓ ↓ ↓
0 → H^{−1}(Gal(K′/F), U) → H^{0}(Gal(K′/F), X) → H^{0}(Gal(K′/F), Y) .

La deuxième et la troisième flèche verticale sont données par λ → [K′: K]λ.

L'isomorphisme

H^{0}(Gal(K/F), X) → H^{2}(Gal(K/F), S_{X}(K))

donné par la théorie de Tate-Nakayama est

λ → {α_{ρ,σ}^{λ}}

si λ est un élément invariant de X. Puisque l'inflation de la classe fondamentale {α_{ρ,σ}} de K à K′ est la [K′: K]-ième puissance de la classe fondamentale de K′, ces isomorphismes commutent avec la limite directe, et on obtient le diagramme (6.8), qui donne alors un isomorphisme H^{−1}(U) → H^{2}(A(F̄)).

Pour l'expliciter nous choisissons un élément λ de Y dont l'image u dans U représente une classe donnée. alors

μ = ∑_{σ∈Gal(K/F)} σλ

est contenu dans X et est invariante. Son image dans H^{2}(Gal(K/F), S_{X}(K)) est la classe de {α_{ρ,σ}^{μ}}. Dans S_{Y} (K) le bord de

{a_{σ}} = { ∏_{τ∈Gal(K/F)} α_{σ,τ}^{στλ}}

est

Π_{τ} ρ(α_{σ,τ})^{ρστλ} α_{ρσ,τ}^{−ρστλ} α_{ρ,τ}^{ρτλ} = α_{ρ,σ}^{μ} .

Donc pour trouver l'image de la classe donnée dans H^{2}(A(F̄)) on relève {a_{σ}} à S_{X}(K′), K′ étant une extension galoisienne convenable de F contenant K. En effet λ′ = nλ est dans X et

b_{σ} = ∏_{τ∈Gal(K/F)} β_{σ,τ}^{στλ′}

est un relèvement de a_{σ}. Avant de calculer le bord il faut se rendre compte que les éléments b_{σ} ne sont pas dans S_{X}(K) mais dans S_{X}(K′), et nous posons b_{σ′} = b_{σ} si σ′ → σ. De la même façon nous posons a_{ρ′,σ′} = a_{ρ,σ} si ρ′ → ρ, σ′ → σ. Si {c_{ρ′,σ′}} est le bord de {b_{ρ′}} l'image de la classe donnée est la classe de

(6.9)  {a_{ρ′,σ′}^{μ} c_{ρ′,σ′}^{−1}} .

Mais

\begin{aligned}c_{ρ′,σ′} & = ∏_{τ∈Gal(K/F)} ρ′(β_{σ,τ})^{ρστλ′} β_{ρσ,τ}^{−ρστλ′} β_{ρ,τ}^{ρτλ′} \\ & = \{∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρστλ′}\} .\{β_{ρ,σ}^{Σ_{τ} ρστλ′}\} . \end{aligned}

Puisque

∑_{τ∈Gal(K/F)} τλ′ = nμ

et μ est déjà dans X le deuxième facteur du produit est α_{ρ,σ}^{μ}. Par conséquent (6.9) est égal à

{∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{−ρστλ′}} ,

qui est, avec nos conventions de notation,

{∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{−ρστλ′}} ,

le 2-cocycle donné par (6.2).

Nous revenons maintenant à (6.3), pour lequel nous construisons un diagramme commutatif à lignes exactes:

(6.10)

\begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), W) → \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), V) → H^{−2}(U) → 0
↓ ↓
\begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), S_{W} (K)) → \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), S_{V} (K)) → H^{1}(A(F̄)) → 0

De ce diagramme on pourra au moins déduire l'existence de l'isomorphisme du lemma 6.2.

La construction de la suite en haut est évidente. Pour celle en bas, on définit d'abord un homomorhisme

H^{0}(Gal(K′/F), S_{W} (K′)) → H^{0}(Gal(K/F), S_{W} (K))

en envoyant la classe représentée par s, prise modulo Nm_{K′/F} S_{W} (K′), sur sa classe modulo Nm_{K/F} S_{W} (K). Cela, et les homomorphismes analogues pour S_{V}, nous donne les limites inverses et la première flèche.

Pour la deuxième on choisit une extension galoisienne de F finie mais suffisamment grande pour que

Nm_{K_{0}/F} S_{V} (K_{0}) ⊆ S_{V} (F)^{n} .

Alors la même relation est valable pour chaque K qui contient K_{0}. Puisque le noyau de S_{W} (F̄) → S_{V} (F̄) est A(F̄) l'ordre de chacun de ses éléments est divisible par n. Donc si s ∈ S_{V} (F) est l'image de t dans S_{W} (F̄) on a

σ(t) = a_{σ}t , a_{σ} ∈ A(F̄)

pour chaque σ ∈ Gal(F̄/F), et t^{n} ∈ S_{W} (F).

Par conséquent, si on attache à chaque s dans S_{V} (F) le bord d'une image inverse de s dans S_{W} (F̄) on obtient pour chaque K contenant K_{0} un homomorphisme bien défini de

H^{0}(Gal(K/F), S_{V} (K)) = S_{V} (F)/Nm_{K/F} S_{V} (K)

dans H^{1}(A(F̄)). En passant à la limite on obtient la deuxième flèche de la ligne en bas. L'exactitude résulte du théorème 90 de Hilbert.

Le deux flèches verticales seront définies par la dualité de Tate-Nakayama. Plus explicitement, si {λ_{σ}}, qui satisfait l'équation

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ^{−1}λ_{σ} = ∑_{σ∈Gal(K/F)} λ_{σ} ,

représente une classe dans H^{−2}(Gal(K/F), V), alors l'isomorphisme de H^{−2}(Gal(K/F), V) sur H^{0}(Gal(K/F), S_{V} (K)) envoie cette classe sur

a = ∏_{στ} α_{σ,τ}^{στλ}

Toutefois il faut vérifier que ces isomorphismes sont compatibles avec les limites inverses. Nous prenons une extension finie K̄ contenant K et nous rappelons comment on déduit la classe fondamentale de l'extension K/F de celle de K̄/F. Puisque il ne s'agit que d'un rappel nous prenons pour point de départ le groupe de Weil. On se souvient du diagramme:

1 → K̄^{×} → W_{K̄/F} → Gal(K̄/F) → 1
↓ ↓ ↓
1 → K^{×} → W_{K/F} → Gal(K/F) → 1 .

La flèche à gauche est la norme.

Si on prend pour chaque σ̄ dans Gal(K̄/F) une image inverse uσ̄ dans W_{K̄/F} alors

uρ̄ uσ̄ = ᾱ_{ρ̄,σ̄}u_{ρ̄σ̄} ,

et ᾱ_{ρ̄,σ̄} donne la classe fondamentale de K̄/F. La façon la plus convenable de choisir les uσ̄ est de choisir d'abord pour chaque σ dans Gal(K/F) une image inverse, notée encore σ, dans Gal(K/F) et, les u_{σ} et u_{π}, π ∈ Gal(K̄/K) étant choisis avec u_{1} = 1, de poser

u_{πσ} = u_{π}u_{σ} .

Alors

ᾱ_{π,σ} = 1
ᾱ_{π_{1},π_{2}σ} = ᾱ_{π_{1},π_{2}} .

L'image de u_{π_{1}} dans W_{K/F} est contenu dans K^{×} et est égale à

∏_{π∈Gal(K̄/K)} ᾱ_{π,π_{1}} .

Si ρσ = τ dans Gal(K/F) et si ρσ = π_{ρ,σ}τ dans Gal(K̄/F), où π_{ρ,σ} est dans Gal(K̄/K) alors

u_{ρ}u_{σ} = ᾱ_{ρ,σ}u_{π_{ρ,σ}}u_{τ} .

On prend pour représentant d'un élément σ de Gal(K/F) dans W (K/F) l'image de u_{σ} de sorte que la classe fondamentale de K/F est donnée par

α_{ρ,σ} = (Nm_{K̄/K} ᾱ_{ρ,σ})( ∏_{π∈Gal(K̄/K)} ᾱ_{π,π_{ρ,σ}})

= (Nm_{K̄/K} ᾱ_{ρ,σ})( ∏_{π∈Gal(K̄/K)} ᾱ_{π,ρσ}) .

L'image de la classe de {λ̄τ̄|τ̄ ∈ Gal(K̄/F)} dans H^{0}(Gal(K̄/F), S_{V} (K̄)) est représentée par
a = ∏_{σ,τ∈Gal(K/F)} ∏_{π_{1},π_{2}∈Gal(K̄/K)} ᾱ_{π_{1}σ,π_{2}τ}^{σλ̄_{π_{2}} τ} .

Mais

\begin{aligned}ᾱ_{π_{1}σ,π_{2}τ} & = π_{1}σ(ᾱ_{π_{2},τ})^{−1}ᾱ_{π_{1}σπ_{2},τ} ᾱ_{π_{1}σ,π_{2}} \\ & = ᾱ_{π_{1}σπ_{2},τ} ᾱ_{π_{1}σ,π_{2}} \end{aligned}

Puisque on prend la produit sur π_{1} on peut remplacer le premier facteur par

ᾱ_{π_{1}σ,τ} = π_{1}(ᾱ_{σ,τ})ᾱ_{π_{1},στ} ᾱ_{π_{1},σ}^{−1} = π_{1}(ᾱ_{σ,τ})ᾱ_{π_{1},σ,τ} .

Donc si

λ_{τ} = ∑_{π∈Gal(K̄/K)} λ̄_{πτ}

on a

\overline{a} = \{∏_{α,τ} α_{σ,τ}^{σλ_{τ}} \}\{ ∏_{π_{1},π_{2},σ,τ} ᾱ_{π_{1}σ,π_{2}}^{αλ̄_{π_{2}τ}}\}

Pour érifier la compatibilité avec les limites inverses il suffit de vérifier que le deuxième facteur à droite est une norme.

On remplace π_{1}σ par σπ_{1} et observe que

ᾱ_{σπ_{1},π_{2}} = σ \binom{}{ᾱ_{π_{1},π_{2}}} ᾱ_{σ,π_{1}π_{2}}ᾱ_{σ,π_{1}}^{−1} .

Prenant la produit on obtient

∏_{τ} ∏_{σ} σ( ∏_{π_{1},π_{2}} ᾱλ̄_{π_{2}τ} ; π_{1},π_{2}) ,

ce qui est évidemment une norme.

Il reste à veerifier que l'isomorphisme défini par le diagramme (6.10) est celui de (6.3). Si K contient K_{0} et si {u_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} définit un élément dans H^{−2}(Gal(K/F), U) on peut trouver des λ_{σ} dans V tels que λ_{σ} → u_{σ} et

∑ σ^{−1}λ_{σ} = ∑ λ_{σ} .

On forme ensuite

a = ∏_{σ,τ} α_{σ,τ}^{σλ_{τ}}

dans S_{V} (F), dont une image inverse dans S_{W} (F̄) est

b = ∏_{σ,τ} β_{σ,τ}^{σλ′_{τ}} ,

où λ′_{τ} = nλ_{τ}. Le bord de b est

∏_{σ,τ} ρ′(β_{σ,τ})^{ρσλ′_{τ}} β_{σ,τ}^{−σλ′_{τ}} = ∏_{σ,τ} ρ′(β_{σ,τ})^{ρσλ′_{τ}} β_{ρσ,τ}^{−ρσλ′_{τ}}

qui est égal à

{∏_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσλ′_{τ}} }{∏_{σ,τ} β_{ρ,στ}^{−ρσλ′_{τ}} }{∏_{σ,τ} β_{ρ,σ}^{ρσλ′_{τ}} }

Puisque ∑ τ^{−1}λ′_{τ} = ∑ λ′_{τ} ce produit se réduit à

∏_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσλ′_{τ}} = ∏_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσu_{τ}}

Les deux lemmes sont maintenant démontrés et nous passons à la définition de l'invariant θ(E, E′).

2. L’invariant θ(E, E′)

On se donne comme dans le chapitre III, ψ: G → G^{∗} et le sous-groupe de Cartan T_{G^{∗}}. Nous voulons attacher à un couple de diagrammes:

\begin{aligned}E & : \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} \\ & & T_{G} \end{aligned} \\ E′ & : \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵^{η′_{∗}} & T′_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ_{T{′ \atop G},T{′ \atop G^{∗}}} \\ & & T_{G} \end{aligned} \end{aligned}

un invariant θ(E, E′) dans X_{∗}(T′_{G_{sc}^{∗}}).

Puisque tous les objets de ces diagrammes se relèvent d'une façon unique au revêtement simplement connexe nous pouvons y passer tout de suite en supposant que G lui-même est simplement connexe. L'isomorphisme ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} s'étend à un homomorphisme φ_{T_{G},T_{G}^{∗}} de G sur G^{∗} défini à un élément de adT^{∗}(F̄) près. Pour l'instant nous fixons φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} aussi bien que φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}}. Il existe un g ∈ G^{∗}(F̄) tel que

φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} = ad g ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} .

Puisque les deux diagrammes donnent des isomorphismes de T_{G^{∗}} et T′_{G^{∗}} sur T_{G^{∗}} ils donnent aussi un isomorphisme de T_{G^{∗}} sur T′_{G^{∗}} et de X_{∗}(T_{G^{∗}}) sur X_{∗}(T′_{G^{∗}}), ce qui nous permet de les identifier comme modules sur Z, mais pas comme modules galoisiens. Les actions de σ dans le groupe de Galois seront notées σ_{T_{G^{∗}}} et σ_{T′_{G^{∗}}}. On identifie aussi – en définissant θ – les deux modules X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) et X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}), et donc les quotients

U = X_{∗} (T_{G_{ad}^{∗}}) /X_{∗}(T_{G^{∗}})

et

U′ = X_{∗} (T′_{G_{ad}^{∗}}) /X_{∗}(T′_{G^{∗}})

Sur les quotients l'identification est compatible avec les actions du groupe de Galois.

Selon les hypothèses

σ (φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} ) φ−1_{T_{G},T_{G^{∗}}} = ad t_{σ}

avec t_{σ} ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(F̄) si σ ∈ Gal(F̄/F). Alors

σ (φ_{T{′ \atop G},T{′ \atop G^{∗}}} ) φ−1_{T{′ \atop G},T{′ \atop G^{∗}}} = ad(σ(g)t_{σ}g^{−1}) = ad s_{σ}

avec s_{σ} ∈ T′_{G_{ad}^{∗}}(F̄).

Le groupe de type multiplicatif défini par U est le centre A de G^{∗} ou de G. Soit n son ordre. A cause des suites exactes

\begin{aligned}1 & → & T_{G^{∗}}(F̄) & → & T_{G_{ad}^{∗}}(F̄) & → & A(F̄) & → & 1 \\ 1 & → & T′_{G^{∗}}(F̄) & → & T′_{G_{ad}^{∗}}(F̄) & → & A(F̄) & → & 1 \end{aligned}

les classes de {t_{σ}} et {s_{σ}} nous donnent des images dans H^{2}(F, A). Pour les calculer on prend des images inverses y_{σ} dans T_{G^{∗}}(F̄) des t_{σ} et des images inverses x_{σ} dans T′_{G^{∗}}(F̄) des s_{σ}, et puis on prend leurs bords. Nous prenons les y_{σ} vérifiant pour unique condition que σ → y_{σ} est une fonction localement constante sur Gal(F̄/F), et alors, ce qui sera une condition importante par la suite, nous prenons

(6.11)  x_{σ} = σ(g)y_{σ}g^{−1} .

Un calcul immédiat donne

ρ(x_{σ})x_{ρ}x_{ρσ}^{−1} = ρσ(g)ρ(y_{σ})ρ(g)^{−1}ρ(g)y_{ρ}g^{−1}g y_{ρσ}^{−1}ρσ(g^{−1})
= ρσ(g) [ρ(y_{σ})y_{ρ}y_{ρσ}^{−1}] ρσ(g^{−1})
= ρ(y_{σ})y_{ρ}y_{ρσ}^{−1}

parce que ce dernier élément est contenu dans le centre.

D'autre part si on prend l'extension galoisienne K/F suffisamment grande alors les s_{σ} et t_{σ} ne dépendent que de σ ∈ Gal(K/F) et selon la théorie de Tate-Nakayama on a des égalités

\begin{aligned}s_{σ} & = \{ ∏_{τ∈Gal(K/F)} α_{σ,τ}^{στλ′}\}σ(a)a^{−1} , \\ t_{σ} & = \{ ∏_{τ∈Gal(K/F)} α_{σ,τ}^{στλ}\}σ(b)b^{−1} \end{aligned}

où {α_{σ,τ} } est la classe fondamentale, λ ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) satisfait

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}} λ = 0

et λ′ ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) satisfait

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T′_{G^{∗}}} λ′ = 0 .

D'ailleurs a ∈ T′_{G_{ad}^{∗}}(F̄), b ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(F̄). On observe que σ dénote soit un élément de Gal(F̄/F), soit son image dans Gal(K/F).

On définit β_{ρ,σ} comme dans les preuves du lemme 6.1 et du lemme 6.2 et on pose μ = nλ, μ′ = nλ′. Alors le bord de {x_{σ}} est dans la classe du bord de

∏_{τ∈Gal(K/F)} β_{σ,τ}^{στμ′} ,

qui se calcule facilement. Comme précédemment, nous dénotons l'image de σ ∈ Gal(F̄/F) dans Gal(K′/F) par σ′.

\begin{aligned}∏_{τ} σ′ (β_{σ,τ}^{ρστμ′}) β_{ρ,τ}^{ρτμ′}β_{ρσ,τ}^{−ρστμ′} & = \{∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρστμ′}\}\{∏_{τ} β_{ρ,σ}^{ρστμ′}\} \\ & = ∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρστμ′} . \end{aligned}

La classe du bord de {y_{σ}} est celle de

∏_{τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρστμ} .

On déduit du lemme 6.1 qu'il existe des éléments ν_{σ} dans X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) tels que

λ − λ′ − ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T′_{G}}^{−1}ν_{σ} − ν_{σ} ∈ X_{∗}(T′_{G^{∗}}) .

Puisque

∏_{τ} α_{σ,τ}^{στ} (ε^{−1}ν − ν) = ∏_{τ} (α_{σ,τε}α_{σ,τ}^{−1} )^{στν}

= σ(∏_{τ} α_{τ,ε}^{−τν})(∏_{τ} α_{στ,ε}^{στν})

= σ(∏_{τ} α_{τ,ε}^{−τν})(∏_{τ} α_{τ,ε}^{τν})

est un bord pour chaque ε, nous pouvons remplacer λ′ par

λ′ + ∑_{σ} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ν_{σ} − ν_{σ}

et supposer que

(6.12)  λ − λ′ ∈ X_{∗}(T′_{G^{∗}}) .

Sous l'hypothèse (6.12) nous allons définir

θ = θ(E, E′) = θ(E, λ; E′, λ′) .

L'influence de λ et λ′ sur θ minimale.

Si d est un relèvement de b à T_{G^{∗}}(F̄) on peut choisir pour y_{σ}:

y_{σ} = {∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ}}σ(d)d^{−1} .

Alors si c est un relèvement de a à T′_{G^{∗}}(F̄) on a

x_{σ} = {∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′}} {σ(c)c^{−1}} ε_{σ} ,

où ε_{σ} est contenu dans A(F̄). En prenant les bords de {x_{σ}} et {y_{σ}} et en tenant compte de (6.12) on constate que

ρ(ε_{σ})ε_{ρ}ε_{ρσ}^{−1} = 1 .

Donc {ε_{σ}} définit une classe dans H^{1}(F, A) qui correspond à une classe de H^{−2}(F, U). Si K est suffisamment grand, plus précisément si K ⊇ K_{0}, cette classe est donnée par un ensemble {u_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} ⊆ U et u_{σ} se relève en ν_{σ} ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}). Nous posons

θ(E, λ; E′, λ′) = λ − λ′ − ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ν_{σ} − ν_{σ} .

Les ν_{σ} seront presque aussi importants que θ. Pour souligner qu'eux aussi, ils dépendent de E, E′, λ et λ′ nous écrivons

ν_{σ} = ν_{σ}(E, E′) = ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) .

Bien qu'ils ne sont pas bien définis,, on a au moins le lemme suivant, qui nous suffit.

Lemme 6.3: (a) Si K, λ, et λ′ sont donnés et si K est suffisamment grand alors la différence entre deux choix des ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) est égale à ω_{σ}^{1} + ω_{σ}^{2} + ω_{σ}^{3} où ω_{σ}^{1} ∈ X_{∗}(T′_{G^{∗}}), ω_{σ}^{2}, ω_{σ}^{3} ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}),

∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ}^{2} = ∑ ω_{σ}^{2}

et

∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ}^{3} = ∑ ω_{σ}^{3}

(b) Si K est suffisamment grand et si K ⊆ K̄ alors on peut prendre

ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) = ∑_{σ̄→σ} νσ̄(E, λ; E′, λ′)

Pour vérifier le lemme nous considérons tour à tour l'influence des divers choix faits dans la définition des ν_{σ}. Les termes ω_{σ}^{1} tiennent compte de l'ambiguïté dans le relèvement des u_{σ}. Si on remplace {u_{σ}} par

{u_{σ} − ∑_{τ}(τ^{−1}v_{τ,σ} + v_{σ,τ} − v_{στ^{−1},τ})}

alors on remplace ν_{σ} par

ν_{σ} − ∑_{τ} τ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} η_{τ,σ} + η_{σ,τ} − η_{στ^{−1},τ} ,

η_{σ,τ} étant un relèvement de v_{σ,τ}. Mais si

ω_{σ}^{2} = ∑_{τ} τ_{T′_{g^{∗}}}^{−1} η_{τ,σ} + η_{σ,τ} − η_{στ^{−1},τ}

alors

∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ}^{2} = ∑ ω_{σ}^{2} .
Il est possible de remplacer β_{σ,τ} par ε_{σ,τ} β_{σ,τ} avec ε_{σ,τ}^{n} = 1. Alors y_{σ} se multiplie par

∏_{τ} ε_{σ,τ}^{στμ}

et x_{σ} se multiplie par le même facteur. Mais

∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′}

se multipliant par

∏_{τ} ε_{σ,τ}^{στμ′}

et

∏_{τ} ε_{σ,τ}^{στ(μ−μ′)}

étant égal à

∏_{τ} ε_{σ,τ}^{στn(λ−λ′)} = 1

les facteurs ε_{σ} ne changent pas.

Si les éléments a et b sont donnés, un nouveau choix de c ou de d ne modifie {ε_{σ}} que par un bord, et par conséquent ne modifie pas θ(E, E′). Pour vérifier que l'invariant ne dépend pas du choix de a et b il faut supposer que l'extension K/F est suffisamment grande pour que:

Nm_{K/K_{0}}T_{G_{ad}^{∗}}(F) ⊆ T_{G_{ad}^{∗}}(F)^{n}
Nm_{K/K_{0}}T′_{G_{ad}^{∗}}(F) ⊆ T′_{G_{ad}^{∗}}(F)^{n} .

Supposons que nous remplaçons a par ae avec e ∈ T′_{G_{ad}^{∗}}(F) et b par bfs avec f ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(F). Alors il existe η′_{σ} ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) et η_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) tels que

e = {∏_{ρ,σ} α_{ρ,σ}^{ρη′_{σ}}}p^{n},  p ∈ T′_{G_{ad}^{∗}}(F) ,
f = {∏_{ρ,σ} α_{ρ,σ}^{ρη_{σ}}}q^{n},  q ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(F) ,

et

∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} η′_{σ} = ∑ η′_{σ}
∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} = ∑ η_{σ} .

Nous avons déjà constaté que p^{n} et q^{n} se relèvent à T′_{G^{∗}}(F) et T_{G^{∗}}(F) respectivement. Un relèvement possible du premier facteur de e est

∏_{ρ,σ} β_{ρ,σ}^{ρξ′_{σ}} ξ′_{σ} = nη′_{σ} ,

dont le bord est

\begin{aligned}∏_{σ,τ} ρ′(β_{σ,τ})^{ρσξ′_{τ}} β_{σ,τ}^{−σξ′_{τ}} & = \{∏_{σ,τ} β_{ρ,σ}^{ρσ(Στ^{−1}ξ′_{τ} −ξ′_{τ})}\}\{∏_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσξ′_{τ}} \} \\ & = ∏_{σ,τ} δ_{ρ′,σ,τ}^{ρσξ′_{τ}} \end{aligned}

Faisant le même calcul pour f nous trouvons que nous avons finalement remplacé u_{σ} par

ν_{σ} + η′_{σ} − η_{σ} (mod X_{∗}(T′_{G^{∗}})) .

Soit

{α_{σ,τ} σ(γ_{τ})γ_{σ}γ−1_{στ}}

un autre représentant de la classe fondamentale. Si δ_{σ} est une racine n-ième de γ_{σ} et si σ′_{0} est un relèvement donné de σ ∈ Gal(K/F) à Gal(K′/F) on peut remplacer β_{σ,τ} par

β_{σ,τ} σ′_{0}(δ_{τ})δ_{σ}δ_{στ}^{−1} .

Alors

∏_{τ} α_{στ}^{στλ} → {∏_{τ} α_{στ}^{στλ}}{∏_{τ} σ(γ_{τ})^{στλ}γστλ_{σ}γ−στλ_{στ}}

Puisque ∑ τλ = 0, le deuxième facteur est égal à

σ(∏_{τ} γτλ_{τ})(∏_{τ} γτλ_{τ})^{−1}

et il faut remplacer b par

b ∏_{τ} γ−τλ_{τ}

et d par

d ∏_{τ} γ−τμ_{τ} .

De la même façon

c → c ∏_{τ} δ_{τ}^{−τμ′} .

D'autre part

∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ} → {∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ}}{∏_{τ} σ′_{0}(δ_{τ})^{στμ}δ_{στ}^{−στμ}}

Donc

y_{σ} → y_{σ} ∏_{τ}(σ′_{0}(δ_{τ})σ(δ_{τ}^{−1}))^{στμ} ,

où σ ∈ Gal(F̄/F) et σ′_{0} et un relèvement donné de son image dans Gal(K/F) à Gal(K′/F). Le quotient

σ′_{0}(δ_{τ})σ(δ_{τ}^{−1})

est une racine n-ième de l'unité de sorte que

∏_{τ}(σ′_{0}(δ_{τ})σ(δ_{τ}^{−1}))^{στμ} ∈ A(F̄) .

En traitant ∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′} de la même façon on déduit que

ε_{σ} → ε_{σ} ∏_{τ}(σ′_{0}(δ_{τ})σ(δ_{τ}^{−1}))^{στ(μ−μ′)} = ε_{σ} ,

parce que

μ − μ′ = n(λ − λ′)

et λ − λ′ ∈ X_{∗}(T′_{G^{∗}}).

Le premier énoncé du lemme est maintenant vérifié et nous passons au deuxième. On se souviente de l'égalité

α_{ρ,σ} = ∏_{π∈Gal(K̄/K)} π(ᾱ_{ρ,σ})ᾱ_{π,ρσ}

vérifiée au paragraphe précédent. Si

∑_{σ∈Gal(K/F)} σλ = 0

on a

∏_{τ̄∈Gal(K̄/F)} ᾱ_{σ̄,τ̄}^{στλ} = ∏_{τ∈Gal(K/F)} ∏_{π∈Gal(K̄/K)} ᾱ_{σ̄,πτ}^{στλ} ,

où comme ci-dessus τ dénote soit un élément de Gal(K/F) soit un relèvement donné dans le groupe Gal(K̄/F). On a de plus

\begin{aligned}∏_{τ} ∏_{π} ᾱ_{σ̄,πτ}^{στλ} & = ∏_{τ} ∏_{π} \{ᾱ_{σ̄π,τ} ᾱ_{σ̄,π}ᾱ(ᾱ_{π,τ})^{−1}\}^{στλ} \\ & = ∏_{τ} ∏_{π} ᾱ_{σ̄π,τ}^{στλ} \end{aligned}

parce que ᾱ_{π,τ} = 1. Nous pouvons remplacer σ̄ par σ et σπ pour obtenir

∏_{τ} ∏_{π} ᾱ_{πσ,τ}^{στλ} = ∏_{τ}{∏_{π} π(ᾱ_{σ,τ})ᾱ_{π,στ} }^{στλ} ,

parce que ᾱ_{π,σ} = 1. On en déduit qu'en passant de K à K̄ il ne faut pas changer λ ou λ′ et par conséquent aucun des a, b, c, d.

En définissant β̄_{σ̄,τ̄} on obtient une extension K̄′ du corps K. Si π ∈ Gal(K̄/K) soit π′ un relèvement fixe à Gal(K̄′/K) et si σ̄ ∈ Gal(K̄/K) soit σ̄′ un relèvement fixe à Gal(K̄′/F). Nous choisissons β̄_{ρ̄,σ̄} de telle façon que β̄_{π,σ} = 1, et nous prenons

β_{ρ,σ} = ∏_{π∈Gal(K̄/K)} π′(β̄_{ρ,σ})β̄_{π,ρσ} .

Calculons le produit

∏_{τ,π} β̄_{σ̄,πτ}^{στμ}

Il est égal à

∏_{τ,π} {β̄_{σ̄π,τ} β̄_{σ̄,π}σ̄′(β̄_{π,τ})^{−1}}^{στμ} ∏_{τ,μ} δ_{σ̄′,π,τ}^{στμ}

Le premier facteur est égal à

∏_{τ} ∏_{π} β̄_{σ̄π,τ}^{στμ} = ∏_{τ,π} π′(β̄_{σ,τ})β̄_{π,στ} β_{π,σ}^{−1}δ_{π′,σ,τ}^{−στμ} .

On en déduit que le passage de K à K̄ entraîne le remplacement de y_{σ} par

ȳ_{σ} = y_{σ} ∏_{τ,π} δ_{σ̄′,π,τ}^{στμ} δ_{π′,σ,τ}^{−στμ} .

Un calcul semblable avec λ′ au lieu de λ nous montre que

ε_{σ} → ε̄_{σ} = ε_{σ} ∏_{τ,π} δ_{σ̄′,π,τ}^{στ(μ−μ′)}δ_{π′,σ,τ}^{στ(μ′−μ)} = ε_{σ} .

Le deuxième énoncé est alors vérifié.

Il nous reste à découvrir l'influence des choix de λ et λ′.

Lemme 6.4: Supposons que

λ_{1} = λ + ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} − η_{σ},  η_{σ} ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) ,
λ′_{1} = λ′ + ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ξ_{σ} − ξ_{σ} ,  ξ_{σ} ∈ X(T′_{G_{ad}^{∗}}) ,

où

∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} − η_{σ} ≡ ∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ξ_{σ} − ξ_{σ} (mod X_{∗}(T′_{G^{∗}})) .

Alors

ν_{σ}(E, λ_{1}; E′, λ′_{1}) = ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) + η_{σ} − ξ_{σ} .

Un calcul facile que nous avons déjà eu l'occasion de faire nous montre que

∏_{τ} α_{σ,τ}^{στλ_{1}} = {∏_{τ} α_{σ,τ}^{στλ}}σ(∏_{τ,ε} α_{τ,σ}^{−τη_{ε}})(∏_{τ,ε} α_{τ,ε}^{τη_{ε}}) ,

de sorte que

b → b_{1} = b ∏_{τ,ε} α_{τ,ε}^{τη_{ε}} .

De la même façon

a → a_{1} = a ∏_{τ,ε} α_{τ,ε}^{τξ_{ε}} .

Donc

\begin{aligned}c → c_{1} & = c ∏_{τ,ε} β_{τ,ε}^{τξ′_{ε}} ,  ξ′_{ε} = nξ_{ε} \\ d → d_{1} & = d ∏_{τ,ε} β_{τ,ε}^{τη′_{ε}} ,  η′_{ε} = nη_{ε} . \end{aligned}

On en déduit que y_{σ} est multiplié par

∏_{τ,ε} β_{σ,τ}^{στε^{−1}η′_{ε}}β_{σ,τ}^{−στη′_{ε}}σ′(β_{τ,ε})^{στη′_{ε}}β_{τ,ε}^{−τη′_{ε}} = ∏_{τ,ε} δ_{σ′,τ,ε}^{στη′_{ε}} .

On se souvient que σ dénote ici un élément de Gal(F̄/F) aussi bien que son image dans Gal(K/F), et que σ′ est l'image de σ dans Gal(K′/F). Le produit à droite est un élément central et selon sa définition x_{σ} se multiplie par le même facteur.

Puisque

{∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′}}σ(c)c^{−1}

se multiplie par

∏_{τ,ε} δ_{σ′,τ,ε}^{στξ′_{ε}} ,

l'élément ε_{σ} se multiplie par

∏_{τ,ε} δ_{σ′,τ,ε}^{στ(η′_{ε}−ξ′_{ε})} ,

ce qui implique que ν_{σ} se remplace par

ν_{σ} + η_{σ} − ξ_{σ} .

Les lemmes 6.3 et 6.4 impliquent les propriétés suivantes de l'invariant θ(E, λ; E′, λ′).

Lemme 6.5:

(a) Si λ et λ′ sont donnés l'invariant θ(E, λ; E′, λ′) est défini à un élément ∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ} − ω_{σ} près, où ω_{σ} = ω_{σ}^{1} + ω_{σ}^{2} + ω_{σ}^{3}, les ω_{σ}^{i} satisfaisant les conditions du lemme 6.3.

(b) Si on ne fixe pas λ et λ′ alors l'invariant θ(E, E′) = θ(E, λ; E′, λ′) est défini à un élément ∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ} − ω_{σ} près, où

ω_{σ} = ω_{σ}^{1} + ω_{σ}^{2} + ω_{σ}^{3}, ω_{σ}^{1} ∈ X_{∗}(T′_{G^{∗}}) ,

et

∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} (ω_{σ}^{2} + ω_{σ}^{3}) − (ω_{σ}^{2} + ω_{σ}^{3}) = ∑ (σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} − σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ) ω_{σ}^{2}

Avant de tenir les invariants ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) et θ(E, λ; E′, λ′) pour définis, il faut tenir compte de l'influence des choix de g, φ_{T_{G},T_{G^{∗}}}, et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}}.

Si φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} sont donnés, la seule façon de modifier g est de le remplacer par γg, γ ∈ A(F̄), ce qui remplace ε_{σ} par σ(γ)ε_{σ}γ^{−1}. Par conséquent les invariants ne changent pas.

On peut remplacer φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} par

ad(f)φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} , f ∈ T_{G^{∗}}(F̄)

et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} par

ad(e)φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} , e ∈ T′_{G^{∗}}(F̄) .

Soient ē et f̄ les images de e et f dans G_{ad}^{∗}(F̄). Alors

t_{σ} → σ(f̄)t_{σ}f̄^{−1} y_{σ} → σ(f)t_{σ}f^{−1} ,
g → e g f^{−1},
s_{σ} → σ(ē)s_{σ}ē^{−1}, x_{σ} → σ(e)^{−1}x_{σ}e^{−1} .

Sonc ni λ, ni λ′, ni {ε_{σ}} ne se modifient, mais seulement c et d, ce qui ne change pas les invariants. Nous passons maintenant à quelques propriétés de l'invariant θ(E, E′).

3. Des propriétés de l'invariant θ(E, E′)

Soient Z(E, E′) l'ensemble des {ω_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} ⊆ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) = X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) tels que ω_{σ} = ω_{σ}^{1} +ω_{σ}^{2} +ω_{σ}^{3} où les ω_{σ}^{i} satisfont les conditions du lemme 6.3. Quoiqu'il est facile de tenir compte du comportement de Z(E, E′) quand le corps K s'élargit, ce qui nous importe à l'instant est que {ν_{σ}(E, λ; E′, λ′)} est défini modulo Z(E, E′) pour un K donné mais suffisamment grand, et nous voulons vérifier ses propriétés élémentaires.

Lemme 6.6: On a

{ν_{σ}(E, λ; E′, λ′)} ≡ {−ν_{σ}(E′, λ′; E, λ)} (mod Z(E, E′)) .

On observe que Z(E, E′) = Z(E′, E) comme la symétrie exige. L'effet de la substitution E ↔ E′ etλ ↔ λ′ est évidemment de remplacer {ε_{σ}} par {ε_{σ}^{−1}} et donc {u_{σ}} par {−u_{σ}} et {ν_{σ}} par {−ν_{σ}}.

Lemme 6.7: On a

{ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) + ν_{σ}(E′, λ′; E′′, λ′′)} ≡ {ν_{σ}(E, λ; E′′, λ′′)}

modulo Z(E, E′) + Z(E′, E′′).

Si

φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} = ad g ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}}

et

φ_{T′′_{G},T′′_{G^{∗}}} = ad h ∘ φ_{T′_{G},T′_{g^{∗}}}

alors

φ_{T′′_{G},T′′_{G^{∗}}} = ad hg ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} .
Si x_{σ} = σ(g)y_{σ}g^{−1} et w_{σ} = σ(h)x_{σ}h^{−1} alors.
w_{σ} = σ(hg)y_{σ}g^{−1}h^{−1} .

Mais si

y_{σ} = (∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ})σ(d)d^{−1}

et

x_{σ} = (∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′})(σ(c)c^{−1})ε_{σ}

alors pour définir ν_{σ}(E′, E′′) il faut remplacer x_{σ} par x̄_{σ} = x_{σ}ε_{σ}^{−1} et w_{σ} par w̄_{σ} = w_{σ}ε_{σ}^{−1}. Soit

w̄_{σ} = (∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′′})(σ(e)e^{−1})γ_{σ}

de sorte que

w_{σ} = (∏_{τ} β_{σ,τ}^{στμ′′})(σ(e)e^{−1})γ_{σ}ε_{σ} .

Donc la classe dans H^{1}(Gal(K/F), A(K)) attachée à E, λ, E′′, λ′′ est la produit de celles attachées à E, λ, E′, λ′ et E′, λ′, E′′, λ′′; d'où le lemme.

Les Débuts d’une Formule des Traces Stables 71

Si h ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F) on peut attacher à E un diagramme adjoint E′ relatif à h en posant T′_{G^{∗}} = ad h^{−1}(T_{G^{∗}}), T′_{G} = T_{G}, η′_{∗} = η_{∗} ∘ ad h, et

ψ_{T{′ \atop G},T{′ \atop G^{∗}}} = ad h^{−1} ∘ ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} .

L'homomorphisme η ne change pas. D'une façon plus graphique: le cocycle {a} = {σ(h)h^{−1}} est contenu dans T_{G_{sc}^{∗}}(K) et définit un invariant η dans X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}). Lemme 6.8: On peut prendre λ′ = λ − η et on a alors

ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) ≡ 0 (mod(Z(E, E′))) .

On a g = h^{−1};
s_{σ} = ad σ(h^{−1})t_{σ}ad(h) = ad(h^{−1})((ad a_{σ}^{−1})t_{σ}) ,

d'où la possibilité de prendre λ′ = λ − η. De plus

x_{σ} = ad h^{−1}(a_{σ}^{−1}y_{σ}) .

Mais

a_{σ}^{−1} = (∏_{σ,τ} α_{σ,τ}^{−στη})σ(e)e^{−1} = (∏_{σ,τ} β_{σ,τ}^{−στξ})(σ(e)e^{−1})

xi ξ = nη. Donc si μ = nλ,

x_{σ} = ad h^{−1}((∏_{σ,τ} β_{σ,τ}^{στ(μ−ξ)})(σ(ed)d^{−1}e^{−1})) .

Tenant compte de nos conventions on déduit de cette égalité que ε_{σ} ≡ 1, et le lemme est vérifié.

On peut aussi attacher à h ∈ 𝔄(T_{G}/F) un diagramme adjoint E′ avec ψ_{T{′ \atop G},T_{G^{∗}}} = ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} ∘ ad h Soit η ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}}) l'invariant attaché à {a_{σ}} = {σ(h)h^{−1}}. Le lemme suivant se vérifie de la même façon que le lemme 6.8.

Lemme 6.9: Onpeut prendre λ′ = λ + η et alors on a

ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) ≡ 0 (mod(Z(E, E′))) .

La dernière propriété de {ν_{σ}(E, λ; E′, λ′)} à vérifier est plus difficile à formuler. Supposons que F soit non archimédien et que sa caractéristique résiduelle soit première à l'ordre du centre de G_{sc}. Nous supposons en plus que K/F est une extension non ramifiées assez grande pour que chacun des tores dans les diagrammes se déploie sur K et que ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} et ψ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} proviennent d'isomorphismes φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} définis sur K. Nous supposons aussi que G est quasi-déployé sur F. Soient U et U^{∗} des sous-groupes compacts hyper-spéciaux donnés de G(K) et G^{∗}(K) invariants sous l'action de Gal(K/F). Si 𝔛 et 𝔛^{∗} sont les immeubles de Bruhat-Tits attachés à G(K) et G^{∗}(K) alors U et U^{∗} sont attachés à des sommets x ∈ 𝔛 et x^{∗} ∈ 𝔛^{∗}. Nous supposons que x est contenu dans les appartements de T_{G} et de T′_{G} et que x^{∗} est contenu dans les appartements de T_{G^{∗}} et T′_{G^{∗}}. Si toutes ces conditions sont vérifiées nous disons que la couple E, E′ est non ramifié relativement à U, U^{∗} ou smplement non ramifié si U et U^{∗} ne sont pas explicités.

Lemme 6.10: Si E, E′ est non ramifié on peut choisir λ = λ′ = 0 et on a alors

ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) ≡ 0 (mod Z(E, E′)) .

Les préparatifs sont plus difficiles que la vérification. En effet φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} définissent des bijections 𝔛 → 𝔛^{∗}. En remplaçant au besoin φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} par ad t ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} et φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} par ad t ∘ φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} avec t ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(K) et t′ ∈ T′_{G_{ad}}(K) nous pouvons supposer que

φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} (x) = φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} (x) = x^{∗} .

Alors t_{σ} est contenu dans le stabilisateur T_{G_{ad}^{∗}}(K)_{x^{∗}} de x^{∗} dans T_{G_{ad}^{∗}}(K).

Mais le groupe

H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{ad}^{∗}}(K)_{x^{∗}})

est réduit à l'élément neutre et on a

t_{σ} = σ(b)b^{−1}, b ∈ T_{G_{ad}^{∗}}(K)_{x^{∗}} .

Puisque la caractéristique résiduelle est première à l'ordre du centre de G_{sc}, nous pouvons supposer, en élargissant K au besoin, que b se relève en d ∈ T_{G^{∗}}(K), et nous prenons

y_{σ} = σ(d)d^{−1} .

On a

φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} = ad g ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}}

où ad g est dans G_{ad}^{∗}(K) et fixe x^{∗}. En prenant une extension non ramifiée encore plus grande nous pouvons supposer que g ∈ G_{sc}^{∗}(K) et donc g ∈ U^{∗}. Alors

x_{σ} = σ(gf)f^{−1}g^{−1} ∈ T′_{G_{sc}^{∗}}(K)_{x^{∗}} .

Puisque

H^{1}(Gal(K/F), T′_{G_{sc}^{∗}}(K)_{x^{∗}}) = 1

on a

x_{σ} = σ(c)c^{−1} ,

et le lemme résulte des définitions.

Supposons qu'on ait deux diagrammes D et D′ de la sorte introduite dans le chapitre III. Donc, par exemple, soit D le diagramme

En enlevant T_{H}, T′_{H}, et T_{H}, nous obtenons des diagrammes E et E′.

Nous supposons dans la suite de ce chapitre que E, E′, ou E′′ proviennent de D, D′, ou D′′ et que les mêmes données endoscopiques interviennent dans D, D′, et D′′. La donnée s définit un caractère de X_{∗}(T_{H}) et aussi, à l'aide des identifications permises par les diagrammes, un caractère κ = κ(D) = κ(D′) de X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) = X_{∗}(T′_{G_{sc}^{∗}}) = X_{∗}(T′′_{G_{sc}^{∗}}).

Lemme 6.11:

(a) La valeur κ(θ(E, E′)) est bien définie.

(b) On a

κ(θ(E, E′)) = κ(θ(E′, E))^{−1}

et

κ(θ(E, E′′)) = κ(θ(E, E′))κ(θ(E′, E′′))

Les définitions sont telles que κ est égal à 1 sur

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ^{−1}μ_{σ} − μ_{σ}

si {μ_{σ}} ∈ Z(D, D′). Donc κ(θ(E, λ; E′, λ′)) est bien défini. Si μ_{σ} ∈ X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) alors

∑ (σ_{T′_{g^{∗}}}^{−1} − σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ) μ_{σ} = ∑(ω(σ)^{−1} − 1)σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} μ_{σ}

où

σ_{T′_{G^{∗}}} = σ_{T_{G^{∗}}} ω(σ) .

Puisque ω(σ) est contenu dans la groupe de Weyl de H,

κ((ω(σ)^{−1} − 1)σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} μ_{σ}) = 1 .

En tenant compte du lemme 6.5 (b), on conclut que κ(θ(E, E′)) est bien défini.

Quant à l'affirmation (b), on a

θ(E, E′) = λ − λ′ − ∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) − ν_{σ}(E, λ; E′, λ′) .

La première égalité résulte du lemme 6.6 et de l'égalité

κ(∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} )ν_{σ}(E, λ; E′, λ′)) = 1 .

La seconde résulte de la même façon du lemme 6.7.

Si h est dans 𝔄(T_{G^{∗}}/F) ou dans 𝔄(T_{G}/F) alors on peut construire le diagramme adjoint associé. Lemme 6.12:

(a) Supposons que h ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F) et soit μ ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) l'invariant attaché à {σ(h)h^{−1}}. Si D′ est le diagramme adjoint défini par h alors

κ(θ(E, E′)) = κ(μ) = κ(h) .

(b) Supposons que h ∈ 𝔄(T_{G}/F) et soit μ ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}}) l'invariant attaché à {σ(h)h^{−1}}. Si D′ est le diagramme adjoint défini par h alors

κ(θ(E, E′)) = κ^{−1}(μ) = κ^{−1}(h) .

Ce sont des conséquences immédiates des lemmes 6.8 et 6.9 et des définitions.

4. Une hypothèse locale Supposons que E et E′ proviennent de D et D′ que le même groupe H intervienne dans D et D′ de

sorte qu'on peut s'attendre à ce que c(D′, D) soit défini. L'hypothèse locale affirme que

c(D′, D) = κ(θ(E′, E)) .

Tant que les facteurs de transfert ne sont pas définis on ne peut pas vérifier cette hypothèse. Les lemmes suivants vont la rendre vraisemblable.

Lemme 6.13:

(a) L'hypothèse est valable si D′ = D.

(b) Si l'hypothèse est valable pour D′, D alors elle est valable pour D, D′.

(c) Si l'hypothèse est valable pour D′, D et D′′ alors elle est valable pour D′′, D.

Le lemme suit du Lemme 6.11 et des égalités évidentes:

θ(E, E) = 0; c(D, D) = 1; c(D, D′) = c(D′, D)^{−1}; c(D′′, D) = c(D′′, D′)c(D′, D) .

Lemme 6.14:

(a) Soit D donné; soit h ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F); et soit D′ le diagramme adjoint défini par h. Alors l'hypothèse est valable pour D′, D.

(b) Soit D donné; soit h ∈ 𝔄(T_{G}/F); et soit D′ le diagramme adjint défini par h. Alors l'hypothése est valable pour D′, D.

Si D′ est défini par h ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F) alors
Φ_{T_{G}}^{κ}(γ_{G}, f) ≡ Φ_{T′_{G}}^{κ′}(γ′_{G}, f)

parce que T_{G} = T′_{G}. Donc

Δ(γ_{H}, D′, ϕ_{H}) = Δ(γ_{H}, D, ϕ_{H})

et

Δ(γ_{H}, D_{∗}, ϕ_{H}) = c(D′, D)Δ(γ_{H}, D′_{∗}, ϕ_{H}) .

Pour des diagrammes adjoints γ_{H} = γ′_{H}.

On se souvient que, selon le lemme 3.1,

Φ_{T′_{G^{∗}}}^{κ′} (γ′_{G^{∗}} , f) = κ(h)^{−1}Φ_{T_{G^{∗}}^{κ}} (γ_{G^{∗}} , f) .

Donc

Δ(γ_{H} , D′_{∗}, ϕ_{H}) = κ(h)Δ(γ_{H} , D_{∗}, ϕ_{H})

et

c(D′, D) = κ(h)^{−1} .

Le lemme suit de cette égalité et des Lemmes 6.11 et 6.12.

De la même façon, si D′ est défini par h ∈ 𝔄(T_{G}/F) on a

Δ(γ_{H} , D′, ϕ_{H}) = c(D′, D)Δ(γ_{H} , D, ϕ_{H})

et un calcul tout à fait pareil vérifie l'énconcé.

Soit D un diagramme donné et soit ω un élément du groupe de Weyl de T_{H}. Le diagramme nous permet de transporter ω à T_{G^{∗}} et T_{G}. Soit T′_{H} = T_{H}, T′_{G} = T_{G}, T′_{G^{∗}} = T_{G^{∗}} mais

ν′ = ν ∘ ω, η′ = η ∘ ω, η′_{∗} = η_{∗} ∘ ω

Lemme 6.15: On a c(D′, D) = 1 et l'hypothèse est valable pour D’, D.

Les deux diagrammes envoient γ_{H} sur les même éléments γ_{G^{∗}} et γ_{G} de T_{G^{∗}} et T_{G} et κ = κ′. Puisque

Φ_{T_{H}}^{st} (γ, f^{H}) = Δ(γ_{H} , D, ϕ_{H})ϕ_{T_{G}}(γ_{G}, f)
= Δ(γ_{H} , D′, ϕ_{H})Φ_{T_{G}}^{κ′}(γ_{G}, f)

pour tout f, on a

Δ(γ_{H} , D′, ϕ_{H}) = Δ(γ_{H} , D, ϕ_{H}) .

De la même façon

Δ(γ_{H} , D′_{∗}, ϕ_{H}) = Δ(γ_{H} , D_{∗}, ϕ_{∗})

et c(D′, D) = 1.

Lemme 6.16: Si les sous-groupes de Cartan T_{H} et T′_{H} qui interviennent dans D et D′ sont stablement conjugués alors l'hypothèse est valable.

On a un diagramme commutatif

dans lequel ω est un élément du groupe de Weyl de T_{H} et ξ est défini sur F. Les Lemmes 6.13 et 6.15 nous permettent de supposer que ν′′ = ν.

Soit D′′ le diagramme obtenu de D en substituant T′_{H} à T_{H} et ν′ à ν. Il est évident que c(D′′, D) = 1 et que l'hypothèse est valable pour D′′, D. Nous pouvons alors supposer que T′_{H} = T_{H} et que ν′ = ν.

Cela implique l'existence de g ∈ 𝔄(T_{G}/F) et de g_{∗} ∈ 𝔄(T_{F} /F) et d'un diagramme commutatif,

T_{G} ⟶^{ad_{g∗}} T′_{G^{∗}}
↑_{ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}}} ↑
T_{G^{∗}}  ⟶_{ad_{g}} T′_{G}

Donc D′ s'obtient de D en prenant le diagramme adjoint d'abord relatif à g_{∗}, et ensuite relatif à g. le lemme en résulte.

Lemme 6.17: L'hypothèse est valable pour les facteurs de transfert de Shelstad.

Pour vérifier l'hypothèse pour D et D′ il suffit de vérifier l'existence de D̄ et D̄′ attachés aux mêmes données endoscopiques pour lesquels elle est valable et tels que T_{H} et T̄_{H} aussi bien que T′_{H} et T̄′_{H} soient stablement conjugués.

Supposons que T_{H} intervienne dans le diagramme D et que α_{H} soit une racine réelle de T_{H}. On la transporte à T_{G} et T_{G^{∗}} pour obtenir des racines réelles α_{G} et α_{G^{∗}}. De la façon habituelle on attache à α_{G} et α_{G^{∗}} des homomorphismes: SL(2) → G; SL(2) → G^{∗}. Ils sont définis sur R. Soient G_{α} et G_{α}^{∗} leurs images.

Soient T′_{H}, T′_{G}, et T′_{G^{∗}} des sous-groupes de Cartan obtenus en prenant la transformation de Cayley inverse relative à α_{H}, α_{G}, et α_{G^{∗}}. Cela nous donne ad s_{H}: T′_{H} → T_{H}, ad s_{G}: T′_{G} → T_{G}, et ad s_{G^{∗}}: T′_{G^{∗}} → T_{G}. Nous prenons s_{G} ∈ G_{α}(C), s_{G^{∗}} ∈ G_{α}^{∗}(C).

Si nous définissons

ν′ = ν ∘ ad s_{H}, η′ = η ∘ ad s_{G}, η′_{∗} = η_{∗} ∘ ad s_{G^{∗}} ,

et

ψ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} = ad s_{G_{∗}}^{−1} ∘ ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} ∘ ad s_{G}

nous obtenons un nouveau diagramme. Vu la transitivité du Lemme 6.13 et le fait que chaque T_{H} se lie au sous-groupe de Cartan fondamental par une suite de transformations de Cayley inverses il suffit de vérifier l'hypothèse pour le couple que nous venons de construire. Puisqu'on prend

Λ(γ_{H} , D, ϕ_{H}) = Λ(γ_{H} , D^{∗}, ϕ_{H})

dans la définition de Shelstad, nous pouvons supposer que G est simplement connexe.

La définition (3.7) nous donne

\frac{ε(T′_{G}, D′)}{ε(T_{G}, D)} = c(D′, D)\frac{ε(T′_{G^{∗}}, D′)}{ε(T_{G^{∗}}, D)} .

Les quotients à gauche et à droite sont essentiellement ce que Shelstad note ε_{κ_{0}}(m, n)ε_{+}(m, n) dans le §10 de [29], soit pour le groupe G^{∗}, soit pour le groupe G. Les facteurs ε_{+}(m, n) des deux côtés étant évidemment égaux, on obtient

ε_{κ′}(s) = c(D′, D)ε_{κ′}(s_{∗})

où s = s_{G}, s_{∗} = s_{G}. Mais selon la définition du §4 de [29] et notre choix de s et s^{∗},

ε_{κ′}(s) = ε_{κ′}(s_{∗}) = 1 .

Il reste à vérifier que κ(θ(E, E′)) = 1. Nous reprenons la notation employée dans la définition de θ(E, E′). Nous prenons

φ_{T′_{G},T′_{G^{∗}}} = ad(s_{∗}^{−1}) ∘ φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} ∘ ad s

et

g = s_{∗}^{−1}φ_{T_{G},T_{G^{∗}}} (s) .
La racine α_{H} se transporte à une racine α′_{G^{∗}} de T′_{G^{∗}} et κ(α′_{G^{∗}}) = 1. Il suffit de vérifier que

θ(E, E′) ∈ Zα′_{G^{∗}} + ∑_{Gal(K/F)}(σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} − 1)X_{∗}(T′_{G^{∗}}) .

Le quotient

X_{∗}(T′_{G^{∗}})/Zα′_{G^{∗}}

est un module galoisien isomorphe à

X_{∗}(T′_{G^{∗}}/T′_{G^{∗}} ∩ G_{α}^{∗}) .

Mais

T′_{G^{∗}}/T′_{G^{∗}} ∩ G_{α}^{∗} ≃ T′_{G^{∗}}G_{α}^{∗}/G_{α}^{∗} = T_{G^{∗}}G_{α}^{∗}/G_{α}^{∗} ≃ T_{G^{∗}}/T_{G^{∗}} ∩ G_{α}^{∗} .

Si x̄_{σ} et ȳ_{σ} sont les projections de x_{σ} et y_{σ} sur ce quotient, alors x̄_{σ}ȳ_{σ}^{−1} = 1. Si η = λ′ − λ, si η̄ est η modulo Zα′_{G} et si c et d ont des images c̄ et d̄, on a aussi

x̄_{σ}ȳ_{σ}^{−1} = (∏_{τ} α_{σ,τ}^{στη̄})(σ(c̄d̄^{−1})c̄^{−1}d̄)ε̄_{σ} .

Pour terminer nous avons besoin de quelques considérations générales. Pour simplifier les notations, nous posons

X = X_{∗}(T′_{G^{∗}}), Y = X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}})

et

X̄ = X_{∗}(T′_{G^{∗}}/T′_{G^{∗}} ∩ G^{∗}), X_{1} = Zα′_{G^{∗}} .

Nous construisons ensuite un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes:

0  0  0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ X_{1} ⟶ Y_{1} ⟶ U_{1} ⟶ 0
↓ ↓ ↓
0 ⟶ X ⟶ Y ⟶ U ⟶ 0
↓ ↓ ↓
0 ⟶ X̄ ⟶ Ȳ ⟶ Ū ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0  0  0

Dans ce diagramma Y_{1} = QX_{1} ∩ Y.

Le groupe de type multiplicatif attaché à U est le centre A de G et de G^{∗}. Si

SX̄ = T_{G^{∗}}G_{α}^{∗}/G_{α}^{∗}

et SȲ sont les tores attachés à X̄ et Ȳ, alors le noyau de l'homomorphisme SX̄ → SȲ est le groupe Ā attaché à Ū.

L'image {ε̄_{σ}} de {ε_{σ}} est un cocycle à valeurs dans Ā et la classe correspondante dans H^{−2}(F, Ū) est donnée par l'image dans Ū de l'ensemble

{ν̄_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} ⊆ Ȳ .

On se souvient que {ε_{σ}} est attaché à {u_{σ}| ∈ Gal(K/F)} et que u_{σ} se relève à ν_{σ} ∈ Y, qu'on projette ensuite sur ν̄_{σ}.

Puisque il y a un plongement Ā(K) → SX̄(K) le cycle {ε̄_{σ}} définit un cycle à valeurs dans SX̄(K), où K est suffisamment grand. J'affirme que ce cycle correspond à la classe de

ν̄ = ∑ σ^{−1}ν̄_{σ} − ν̄_{σ}

dans H^{−1}(Gal(K/F), X̄). En nous souvenant que x̄_{σ}ȳ_{σ}^{−1} = 1, nous en déduisons que la classe de η̄ + ν̄ est triviale. Donc

η̄ + ν̄ ∈ ∑(σ^{−1} − 1)X̄

et

η + ν ∈ Zα′_{G^{∗}} + ∑(σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} − 1)X_{∗}(T′_{G^{∗}}) .

Mais

η + ν = λ′ − λ + ∑ σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ν_{σ} − ν_{σ} = −θ(E, E′) .

On peut énconcer le fait dont nous avons besoin sous forme d'un lemme général.

Lemme 6.18: Soit

0 → X̄ → Ȳ → Ū → 0

une suite exacte de Gal(K/F)-modules, avec Ū fini et Ȳ de type fini sur Z. Si Ā est le groupe de type multiplicatif attaché à Ū et si {ε̄_{σ}} est attaché à {ν̄_{σ}} alors son image dans H^{1}(Gal(K/F), SX̄(K)) est attaché à ν̄ = ∑ σ^{−1}ν̄_{σ} − ν̄_{σ}.

Si ū_{τ} est l'image de ν̄_{τ} dans Ū alors selon les définitions la classe de {ε̄_{σ}} est celle de

∏_{σ,τ∈Gal(K/F)} δ_{ρ,σ,τ}^{ρσū_{τ}} , ρ ∈ Gal(F̄/F) .

Suivant nos conventions ce cycle a pour image dans SX̄(F̄)

∏_{ρ,τ∈Gal(K/F)} δ_{ρ,σ,τ}^{ρσnν̄_{τ}} .

En substituant la formule explicite pour δ_{ρ,σ,τ} on obtient

{∏_{σ,τ} ρ(β_{σ,τ})^{ρσnν̄_{τ}} }{∏_{σ,τ} β_{ρσ,τ}^{−ρσnν̄_{τ}} }{∏_{σ,τ} β_{ρ,στ}^{ρσnν̄_{τ}} β_{ρ,σ}^{−ρσnν̄_{τ}} } .

Le produit des deux premiers facteurs est le bord de

∏_{σ,τ} β_{στ}^{σnν̄_{τ}} ,

et le dernier produit s'écrit

∏_{σ,τ} β_{ρ,σ}^{ρσn(τ^{−1}ν̄_{τ} −ν̄_{τ})} = ∏_{σ} β_{ρ,σ}^{ρσnν̄} = ∏_{σ} α_{ρ,σ}^{ρσν̄} .

VII. Des Propriétés Supplémentaires Globales

Avant d'entamer la stabilisation il nous faut définir un invariant global et établir ses propriétés. Pour cela on aura besoin de quelques théorèmes globaux de Poitou-Tate ([22], [35]) dont je rappellerai les démonstrations parce que je ne connais pas une référence tout à fait à mon goût. Mais nous commençons avec un lemme plus élémentaire.

1. Un lemme préliminaire Comme d'habitude G^{∗} est un groupe réductif quasi-déployé dont les formes simplement connexe et

adjointe sont G_{sc}^{∗} et G_{ad}^{∗}, mais il est maintenant défini sur le corps global F. Soit T^{∗} un sous-groupe de Cartan de G^{∗} sur F et T_{sc}^{∗} et T_{ad}^{∗} les sous-groupes de Cartan de G_{sc}^{∗} et G_{ad}^{∗} qui relèvent de T^{∗}. Soit L une extension galoisienne finie de F sur laquelle T^{∗} se déploie.

On a un homomorphisme

ξ_{1}: H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) → H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{ad}^{∗})) .

D'autre part, si on étend chaque place v de F à une place de L on a

ξ_{2}: ⊕_{v}H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) → H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) .

La somme se prend sur les places de F.

Lemme 7.1: Le noyau de ξ_{1} est contenu dans l'image de ξ_{2}.

Nous pouvons supposer que G^{∗} est simplement connexe et simple sur F, et puis, en utilisant le lemme de Shapiro, qu'il est absolument simple.

On pose

Y_{v} = {λ ∈ X_{∗}(T^{∗})| ∑_{σ∈Gal(L_{v}/F_{v})} σλ = 0} ,
V = { ∑_{σ∈Gal(L/F)} σμ_{σ} − μ_{σ}|μ_{σ} ∈ X_{∗}(T^{∗})} ,

et

Z = V + ∑_{v} Y_{v} .

Il faut vérifier que si λ ∈ X_{∗}(T^{∗}) et

λ = ∑_{σ∈Gal(L/F)} σμ_{σ} − μ_{σ}

avec μ_{σ} ∈ X_{∗}(T_{ad}^{∗}), alors λ ∈ Z.

Supposons d'abord que σ ∈ Gal(L/F), μ ∈ X_{∗}(T_{ad}^{∗}), et σμ−μ ∈ X_{∗}(T^{∗}). Nous vérifions que σμ−μ ∈ Z. Choisissons une place v et un τ ∈ Gal(L/F) tels que τστ^{−1} ∈ Gal(L_{v}/F_{v}). Alors τστ − τμ est contenu dans Y_{v} de sorte que

σμ − μ = [τσμ − τμ] − [τ(σμ − μ) − (σμ − μ)]

est contenu dans Z.

Donc si σμ − μ ∈ X_{∗}(T^{∗}) pour chaque μ ∈ X_{∗}(T_{ad}^{∗}), on a

ρσμ − μ = [ρ(σμ − μ) − (σμ − μ) + [σμ − μ] + [ρμ − μ] ≡ ρμ − μ (mod Z)

pour tout ρ ∈ Gal(L/F).

Soit Gal(L/E) le sous-groupe des σ dont l'action sur X_{∗}(T^{∗}) soit donnée par un élément du groupe de Weyl. L'extension E est galoisienne. Si G^{∗} est déployé, c'est-à-dire, si E = F, alors le lemme se déduit immédiatement de notre première observation. Si l'extension est cyclique du degré k nous choisissons des représentants 1, σ, σ^{2}, …, σ^{k−1} dans Gal(L/F) suivant Gal(L/E). Selon la deuxième observation nous pouvons supposer que

λ = (σμ_{1} − μ_{1}) + (σ^{2}μ_{2} − μ_{2}) + ⋯ + (σ^{k−1}μ_{k−1} − μ_{k−1})

Puisque

σ^{i}μ_{i} − μ_{i} = (σ^{i}μ_{i} − σ^{i−1}μ_{i}) + (σ^{i−1}μ_{i} − σ^{i−2}μ_{i}) + ⋯ + (σμ_{i} − μ_{i})

on a en fait

λ = σμ − μ ,

et λ est contenu dans Z.

Le démonstration du lemme est donc terminée sauf dans le cas où Gal(E/F) ≃ S_{3} et que G^{∗} est une forme de D_{4}. Le quotient X_{∗}(T^{∗})\X_{∗}(T_{ad}^{∗}) est alors Z_{2} ⊕ Z_{2} et l'action de Gal(E/F) est donnée par un isomorphisme

Gal(E/F) ≃ GL(2, Z_{2}) .

Soient

\begin{aligned}ρ & ∼ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) \\ σ & ∼ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) \end{aligned} .

On a

λ = (ρμ − μ) + (σν − ν) + (σρη − η) + (σρ^{2}ξ − ξ) .

Puisque

σρη − η = (σρη − η) + (ρη − η)

et

σρ^{2}ξ − ξ = (σρ^{2}ξ − ρ^{2}ξ) + (ρ^{2}ξ − ξ) ,

on peut même supposer que

λ = ρμ − μ + σν − ν .

Si σν − ν ∈ X_{∗}(T^{∗}) alors ρμ − μ ∈ X_{∗}(T^{∗}), et il résulte de nos observations préliminaires que λ ∈ Z. Sinon on remarque que

λ = ρμ − σμ + ση − η, η = ν + μ .

En examinant les matrices ρ − σ et σ − 1 on se rend compte que cette égalité implique que ρμ − σμ et ση − η sont contenus dans X_{∗}(T^{∗}). Donc ση − η ∈ Z. De plus

ρμ − σμ = [ρ(μ − ρ^{−1}σμ) − (μ − ρ^{−1}σμ)] − [ρ^{−1}σμ − μ] .

Puisque

ρ^{−1}σμ − μ = ρ^{−1}(σμ − ρμ)

l'expression de gauche est dans Z.

2. Rappel des résultats globaux de Poitou-Tate Ainsi que pour un corps local on commence avec un module galoisien fini sur F et on introduit Û et le

groupe multiplicatif A. Nous posons

H^{1}(F, A) = \begin{matrix}lim \\ ⟶ \\ K \end{matrix} H^{1}(Gal(K/F), A(K)).

Soit

P^{1}(F, A) = ∏ ∐_{v} H^{1}(F_{v}, A)

le produit direct restreint introduit dans le chapître II.6 de [28]. Nous posons enfin

H^{−2}(F, U) = \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), U).

Le seul lemme global dont nous aurons besoin est le suivant.

Lemme 7.2: Pour chaque U il existe une suite exacte

H^{1}(F, A) → P^{1}(F, A) → H^{−2}(F, U)

et ce suites sont fonctorielles relativement à U.

Si v est une place de F nous fixons un plongement F̄ ↪ F̄_{v} et alors, on a des homomorphisme Gal(F̄_{v}/F_{v}) ↪ Gal(F̄/F) et

H^{−2}(F_{v}, U) → H^{−2}(F, U).

En effet si {μ_{σ}} définit une classe dans H^{−2}(Gal(K_{v}/F_{v}), U) nous choississons K ⊆ F̄ de sorte que KF_{v} = K_{v}, ce qui donne un plongement Gal(K_{v}/F_{v}) ↪ Gal(K/F). Si on pose v_{σ} = u_{σ} pour σ dans Gal(K_{v}/F_{v}) et v_{σ} = 0 sinon, on obtient une classe dans H^{−2}(Gal(K/F), U), et on peut passer à la limite.

Il faut vérifier la compatibilité entre les homomoprhismes locaux et globaux.

Lemme 7.3: Le diagramme

H^{1}(F_{v}, A) ⟶ H^{−2}(F_{v}, U)
↓ ↓
P^{1}(F, A) ⟶ H^{−2}(F, U)

est commutatif.

Pour vérifier ces lemmes nous introduisons un groupe Q^{1}(F, A) pour lequel l'existence d'une suite exacte

(7.1)  H^{1}(F, A) → P^{1}(F, A) → Q^{1}(F, A)

sera évidente.

Pour définir un élément de Q^{1}(F, A) on se fixe les données suivantes:

a) Pour chaque place v de F une extension galoisienne finie K′_{v} de F_{v} ainsi qu'une extension galoisienne finie K de F telles que K ⊆ K′_{v} pour chaque v. On exige que K′_{v} soit non ramifiée pour presque tout v.

b) Un 2-cocycle {ε_{ρ,σ}} de Gal(K/F) à valeurs dans A(K).

c) Pour chaque place v une chaîne {β_{σ′}(v)|σ′ ∈ Gal(K′_{v}/F_{v})} à valeurs dans A(K′_{v}) telle que

ε_{ρ,σ} = ρ′(β_{σ′}(v))β_{ρ′}(v)β_{ρ′σ′}^{−1}(v)

si σ, ρ sont les images de ρ′ et σ′ dans Gal(K/F).

Puisque on peut toujours prendre des inflations les choix des K′_{v} ne sont pas importants. Deux données correspondantes à {β_{σ′}(v)} et {β_{σ′}^{1}(v)} sont dites équivalentes si

β_{σ′}^{1}(v) = β_{σ′}(v)σ(γ(v))γ(v)^{−1}δ_{σ′}

avec γ(v) ∈ A(K′_{v}) et δ_{σ′} ∈ A(F̄′). Les éléments δ_{σ′} sont définis pour σ′ ∈ Gal(F̄/F), et sont localement constants et indépendants de v.

L'existence et l'exactitude de la suite (7.1) sont évidentes. Il s'agit maintenant de trouver un isomorphisme

Q^{1}(F, A) ≃ H^{−2}(F, U).

On définit les modules V et W ainsi que pour un corps local. L'isomoprhisme cherché se déduit d'un diagramme à lignes exactes:

\begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), W)  ⟶  \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{−2}(Gal(K/F), V)  ⟶ H^{−2}(F, U) ⟶ 0
↓  ↓
\begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), W ⊗ C_{K}) ⟶ \begin{matrix}lim \\ ⟵ \\ K \end{matrix} H^{0}(Gal(K/F), V ⊗ C_{K}) ⟶ Q^{1}(F, A) ⟶ 0

Le groupe C_{K} est le groupe des classes d'idèles.

La ligne en haut est évidente et le carré à gauche se construit comme pour un corps local. La première flèche en bas est évidente. Soit L une extension finie de sorte que V et W soient des Gal(L/F)-modules et soit C_{L}^{0} le groupe des classe de norme 1. Puisque

𝔞 = (V ⊗ C_{L})^{Gal(L/F)}/Im(W ⊗ C_{L})^{Gal(L/F)} = (V ⊗ C_{L}^{0})^{Gal(L/F)}/Im(W ⊗ C_{L}^{0})^{Gal(L/F)}

est compact on a un homomorphisme surjectif

𝔞 → \underleftarrow{lim} H^{0}(Gal(K/F), V ⊗ C_{K})/Im \underleftarrow{lim} H^{0}(Gal(K/F)W ⊗ C_{K}).

Si l'ordre de chaque élément de 𝔞 divise n alors 𝔞 est annihilé par n. Mais le noyau de cet homomorphisme est divisible. En effet si α ∈ (V ⊗C_{L})^{Gal(K/F)} représente un élément du noyau alors pour chaque extension K de L galoisienne sur F il y a des éléments β_{K} ∈ V ⊗C_{K} et γ_{K} ∈ (W ⊗C_{K})^{Gal(K/F)} d'image γ̄_{K} ∈ (V ⊗C_{K})^{Gal(K/F)} tels que

α = (Nm_{K/F} β_{K})γ̄_{K}.

On peut même supposer que γ_{K} est dans W ⊗ C_{K}^{0}, que β_{K} est dans V ⊗ C_{K}^{0}, et que

γ = lim_{K} γ_{K}

existe. Si K ⊆ K′ alors

α = (Nm_{K/F} Nm_{K′/K}β_{K′})ᾱ_{K′}

et Nm_{K/F} (V ⊗ C_{K}) est ouvert dans (V ⊗ C_{L})^{Gal(L/F)}. On peut donc prendre γ_{K} = γ pour tout K. Soit

δ_{K} = Nm_{K/L}β_{K}.

On peut aussi supposer que

δ = lim_{K} δ_{K}

existe, et alors δ est dans l'intersection de tous les sous-groupes ouverts et d'indice fini dans V ⊗ C_{L}, un groupe divisible [1]. Par conséquent, si m est un entier donné il existe ε tel que ε^{m} = δ et

ε = Nm_{K/L}ε_{K}, ε_{K} ∈ V ⊗ C_{K}.

L'élément η = Nm_{L/F} ε est dans le noyau et

α = η^{m}γ̄.

Donc le noyau est trivial et l'homomorphisme est un isomorphisme. Il s'agit alors de définir un isomorphisme

𝔞 ≃ Q^{1}(F, A).

Soit s un élément invariant dans V ⊗ C_{L}. Il existe t ∈ S_{V} (A_{L}) = V ⊗ I_{L} qui s'applique sur s. Nous posons

γ = σ(t)t^{−1} ∈ S_{V} (L), σ ∈ Gal(L/F).

Il y a une extension fini K telle que chaque γ_{σ} se relève en δ_{σ} dans S_{W} (K). Posons

ε_{ρ,σ} = δ_{ρ̄σ̄}ρ(δσ̄)^{−1}δ−1 ; ρ̄,

où ρ, σ ∈ Gal(K/F) ont pour images ρ̄, σ̄ ∈ Gal(L/F).

D'autre part t = Π_{v} t(v) et t(v) se relève en η(v) dans S_{W} (K′_{v}) où K′_{v} est une extension finie de F_{v}, non ramifiée pour presque tout v. On peut supposer que K ⊆ K′_{v}. Nous posons

β_{σ′}(v) = δ−1 ; σ̄σ′(η(v))η(v)^{−1} σ′ ∈ Gal(K′_{v}/F_{v}), σ′ → σ̄.

L'image de β_{σ′}(v) dans S_{V} est

γ−1 ; σ̄σ(t(v))t(v)^{−1} = 1.

Donc β_{σ′}(v) ∈ A(K′_{v}). De plus

ρ′(β_{σ′}(v))β_{ρ′}(v)β_{ρ′σ′}(v)^{−1} = ε_{ρ,σ}.

Il en résulte que les β_{σ′}(v) définissent un élément de Q_{1}(F, A). Il est facile de vérifier qu'on obtient de cette façon un homomorphisme bien défini et injectif de 𝔞 dans Q^{1}(F, A).

Il reste à démonter la surjectivité. Supposons qu'on a des données {β_{σ′}(v)} et {ε_{ρ,σ}}. Si on plonge A dans S_{W} alors {ε_{ρ,σ}} définit un 2-cocycle de Gal(K/F) à valeurs dans S_{W} (K). Le module W est un Gal(L/F)-module induit. Donc on a

i) (voir Prop. 5 de Chap 7 de [26]). Si L_{v} ⊆ K_{v} ⊆ K′_{v} alors
H^{2}(Gal(K_{v}/F_{v}), S_{W} (K_{v})) → H^{2}(Gal(K′_{v}/F_{v}), S_{W} (K′_{v}))

est injectif.

ii) (voir Chap 7.3 de [1]). Si L ⊂ K l'application

H^{2}(Gal(K/F), S_{W} (K)) → ∐_{v} H^{2}(Gal(K_{v}/F_{v}), S_{W} (K_{v}))

est injective.

Puisque {ε_{ρ,σ}} définit la classe triviale dans H^{2}(Gal(K′_{v}/F_{v}), A(K′_{v})) il définit la classe triviale dans H^{2}(Gal(K′_{v}/F_{v}), S_{W} (K′_{v})) et par conséquent {ε_{ρ,σ}} définit la classe triviale dans S_{W} (K).

Soit

ε_{ρ,σ} = δ_{ρσ}ρ(δ_{σ})^{−1}δ_{ρ}^{−1}

dans S_{W} (K). Localement β_{σ′}(v)δ_{σ}^{−1}, σ′ → σ est un 1-cocycle dans S_{W} (K′_{v}) et donc un bord. On pose

β_{σ′}(v)δ_{σ}^{−1} = σ′(η(v))η(v)^{−1}, σ′ ∈ Gal(K′_{v}/F_{v}).

Puisque K′_{v} est non-ramifié presque partout on peut même supposer que η(v) est dans le sous-groupe compact maximal de S_{W} (K′_{v}) pour presque tout v. Donc si t(v) est l'image de η(v) dans S_{V} (K′_{v}) alors t(v) ∈ K_{v} et t = ∏_{v} t(v) ∈ S_{V} (A_{k}). L'image s de t dans V ⊗ C_{K} est contenue dans

(V ⊗ C_{K})^{Gal(K/F)} = (V ⊗ C_{L})^{Gal(L/F)}.

La surjectivité en résulte.

La commutativité du lemme 7.3 provient des définitions. Parce que nous en aurons besoin j'observe que l'existence d'une suite exacte

P^{1}(F, A) → Q^{1}(F, A) → H^{2}(F, A) → ∐ H^{2}(F, A)

est évidente. L'élément définit par {β_{σ′}(v)} et {ε_{ρ,σ}} s'envoie sur la classe de {ε_{ρ,σ}}.

On peut en partie expliciter l'isomorphisme Q^{1}(F, A) → H^{−2}(F, U) et nous aurons besoin de la formule qu'on obtient. Soit K/F une extension galoisienne finie et soit {α_{σ,τ} } un représentant de la classe fondamentale dans C_{K}, le groupe des classes d'idèles. Nous relevons α_{σ,τ} en α̃_{σ,τ} dans I_{K}. Alors

ρ \binom{}{α̃_{σ,τ}} α̃_{ρσ,τ}^{−1} α̃_{ρ,στ} α̃_{ρ,σ}^{−1} = ζ_{ρ,σ,τ}

est le cocycle de Teichmüller.

Il nous faut prendre des racines n-ièmes d'idèles. En général ce ne sont pas des idèles. Mais on peut néanmoins construire facilement un groupe dans lequel elles sont contenues.

Supposons qu'on ait pour chaque place v de F une extension finie K′(v) ⊆ F̄. On peut introduire un produit direct restreint

∏ ∐_{v} ∏_{w|w} K′(v)_{w}^{×}.

Le produit intèrieur porte sur les places de K′ qui divisent v. C'est un module sur Gal(F̄/F). Si K′(v) ⊆ K′′(v) pour chaque v alors

∏ ∐_{v} ∏_{w|v} K′(v)_{w}^{×} ↪ ∏ ∐_{v} ∏_{w|v} K′′(v)_{w}^{×}.

Prenons alors la limite inductive. Les racines d'idèles qui interviennent dans la suite sont prises dans elle. Soit α̃_{σ,τ} (v) la composante de α̃_{σ,τ} à la place v et soit γ_{σ,τ} (v) une racine n-ième de α̃_{σ,τ} (v). Nous posons

ξ_{ρ,σ,τ} (v) = ρ(γ_{σ,τ} (v))γ_{ρσ,τ}^{−1} (v)γ_{ρ,στ} (v)γ_{ρ,σ}^{−1}(v), ρ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}).

Soit ^{1}ξ_{ρ,σ,τ} une racine n-ième de ζ_{ρ,σ,τ} dans F̄. Puisque ξ_{ρ,σ,τ}^{n} (v) = ζ_{ρ,σ,τ′} on a

ξ_{ρ,σ,τ} (v) = ^{1}ξ_{ρ,σ,τ}^{2}ξ_{ρ,σ,τ} (v),

où ^{2}ξ_{ρ,σ,τ} (v) est une racine n-ième de l'unité dans F̄_{v}^{×}. Nous posons enfin

η_{ρ,σ,τ,ε} = ρ (^{1}ξ_{σ,τ,ε}) ^{1}ξ_{ρσ,τ,ε}^{−1} ^{1}ξ_{ρ,στ,ε} ^{1}ξ_{ρ,σ,τε}^{−1} ^{1}ξ_{ρ,σ,τ} .

Lemme 7.4: Supposons que {u_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} ⊆ U définisse une classe dans le groupe H^{−2}(Gal(K/F), U). Alors

β_{ρ}(v) = ∏_{σ,τ∈Gal(K/F)}^{2}ξ_{ρ,σ,τ} (v)^{ρσu_{τ}} ,  ρ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}),

et

ε_{ρ,σ} = ∏_{τ,ε∈Gal(K/F)} η_{ρ,σ,τ,ε}^{−ρστu_{ε}},  ρ, σ ∈ Gal(F̄/F),

définissent un élément de Q^{1}(F, A) dont l'image dans H^{−1}(F, U) a pour projection {u_{σ}} dans H^{−2}(Gal(K/F), U).

Pour simplifier les notations nous avons pris ρ et σ tantôt dans Gal(F̄_{v}/F_{v}) tantôt dans Gal(F̄/F), mais il est entendu qu'il s'agit de fonctions localement constantes.

Il existe λ_{σ} ∈ V dont l'image dans U est u_{σ} et tel que

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ^{−1}λ_{σ} = ∑_{σ∈Gal(K/F)} λ_{σ}.

Les Débuts d’une Formule des Traces Stables 89 Alors

s = ∏_{σ,τ∈Gal(K/F)} α_{σ,τ}^{αλ_{τ}}

est un élément invariant dans V ⊗ C_{K} dont un relèvement à S_{V} (A_{K}L) est

t = ∏_{σ,τ} ᾱ_{σ,τ}^{σλ_{τ}}

et

γ_{ρ} = ρ(t)t^{−1} = ∏_{σ,τ} ζ_{ρ,σ,τ}^{ρσμ_{τ}} .

Soit μ_{τ} = nλ_{τ}. Alors un relèvement de γ_{ρ} à S_{W} (F̄) est

δ_{ρ} = ∏_{σ,τ∈Gal(K/F)}^{1}ξ_{ρ,σ,τ}^{ρσμ_{τ}}

et

ε_{ρ,σ} = δ_{ρσ}ρ(δ_{σ}^{−1})δ_{ρ}^{−1}

= ∏_{τ,ε} η_{ρ,σ,τ,ε}^{−ρστμ_{ε}}.

Un relèvement de t(v) à S_{W} (F̄) est

η(v) = ∏_{σ,τ∈Gal(K/F)} γ_{σ,τ} (v)^{σμ_{τ}}

et

β_{ρ}(v) = δ_{ρ}^{−1}ρ(η(v))η(v)^{−1}, ρ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}),

est égal à

∏_{σ,τ} ^{2}ξ_{ρ,σ,τ} (v)^{ρσμτ} = ∏_{σ,τ} ^{2}ξ_{ρ,σ,τ}^{ρσu_{τ}} (v).

3. Un lemme important Nous fixons une fois pour toutes un diagramme global.

E^{0}: \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}^{0}} & T_{G^{∗}}^{0} \\ ↑ & ψ_{T{0 \atop G},T{0 \atop G^{∗}}} \\ & & T_{G}^{0} \end{aligned}

Il nous fournit un diagramme local en chaque place v, ainsi qu'un cocycle global {t_{σ}}, où

σ (φ_{T_{G}^{0},T_{G^{∗}}^{0}} ) φ_{T_{G}^{0},T_{G^{∗}}^{0}} = ad t_{σ}^{0},

et la classe de {t_{σ}^{0}} est bien définie.

Supposons que σ → t_{σ}^{0} soit en fait une fonction sur Gal(K/F). Alors {t_{σ}^{0}} définit des cocycles locaux {t_{σ}^{0}|σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v})} qui correspondent à λ^{0}(v) ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}}^{0}) avec

∑_{σ∈Gal(K_{v}/F_{v})} σλ^{0}(v) = 0.

La classe locale est triviale pour presque tout v et nous fixons les λ^{0}(v) de façon que λ^{0}(v) = 0 pour presque tout v. Ils nous serviront comme repères.

Soient maintenant E et E′ deux diagrammes globaux. Nous choisissons les λ(v) et λ′(v) de sorte que λ(v) − λ^{0}(v) et λ′(v) − λ^{0}(v) soient dans X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}^{0}). Nous faisons usage des identifications permises par les diagrammes. Si K ⊆ F̄ est suffisamment grand les invariants

ν_{σ}(E, λ(v); E′, λ′(v)) = ν_{σ}(v), σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v})

sont définis.

Lemme 7.5: Supposons que λ(v) et λ′(v) soient nuls pour presque tout v. On peut choisir une extension galoisienne globale K suffisamment grande et les y_{σ}(v), c(v), et d(v) de sorte que ε_{σ}(v) soit un cocycle sur Gal(K_{v}/F_{v}) et ν_{σ}(v) un cycle sur le même groupe et tels que de plus ε_{σ}(v) = 1 et ν_{σ}(v) = 0 pour presque tout v et tout σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}).

Puisque les ε_{σ}(v) et ν_{σ}(v) sont de toute façon des fonctions sur Gal(F̄_{v}/F_{v}) localement constantes même la première affirmation du lemme n'est à vérifier que presque partout et résulte alors de la deuxième. La deuxième suit du lemme 6.10 et des résultats standards ([37]).

Des plongements F̄ ↪ F̄_{v} sont donnés une fois pour toutes de sorte que les sous groupes Gal(K_{v}/F_{v}) ⊆ Gal(K/F) sont fixés. Nous posons

ν_{σ} = ∑_{σ∈Gal(K_{v}/F_{v})} ν_{σ}(v), σ ∈ Gal(K/F).

D'autre part selon une propriété connue de la dualité globale de Tate-Nakayama il existe η_{σ} et η′_{σ} dans X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) tels que

\begin{aligned}∑_{v} λ(v) & = ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} − η_{σ} \\ ∑_{v} λ′(v) & = ∑_{σ∈Gal(K/V)} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} η′_{σ} − η′_{σ}. \end{aligned}

Avant de définir l'invariant il faut vérifier le lemme suivant, qui est donc de quelque importance.

Lemme 7.6: Supposons que G_{ad}^{∗} vérifie le principe de Hasse. Alors il existe {ω_{σ}} et {ω′_{σ}} dans X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}) tels que

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ} = ∑_{σ∈Gal(K/F)} ω_{σ},

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ω′_{σ} = ∑_{σ∈Gal(K/F)} ω′_{σ},

et

ν_{σ} ≡ η_{σ} − η′_{σ} + ω_{σ} − ω′_{σ} (mod X_{∗}(T′_{G_{sc}^{∗}})).

Nous pouvons supposer que G est simplement connexe. Il y a quelques lemmes préliminaires à vérifier. Supposons que h soit contenu dans 𝔄(T_{G^{∗}}/F). Alors {a_{σ}} = {σ(h)h^{−1}} est un cocycle à valeurs dans

T_{G^{∗}}(F̄). Comme dans le cas local nous pouvons construire le diagramme adjoint Ē.

Le cocycle globale {a_{σ}} définit des cocycles locaux auxquels sont attachés des invariants μ(v) ∈ X_{∗}(T_{G^{∗}}). On peut supposer que presque tous ces invariants sont nuls. Selon la théorie globale de Tate-Nikayama

∑_{v} μ(v) = ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ} − ω_{σ}

avec ωσ ∈ X_{∗}(T_{G^{∗}}). Comme nous avons vu dans le lemme 6.8 on peut prendre λ̄(v) = λ(v) − μ(v) et puis

ν_{σ}(Ē, λ̄(v); E′, λ′(v)) = ν_{σ}(E, λ(v); E′, λ′(v)).

Nous en déduisons le lemme suivant:

Lemme 7.7: Si le Lemme 7.6 est valable pour les diagrammes E′, Ē et les λ̄(v) alors il est valable pour E′, E et les λ(v).

Supposons de le même façon que h ∈ 𝔄(T′_{G}/F) et construisons le diagramme adjoint Ē′. On peut prendre λ̄′(v) = λ̄′(v) + μ(v) et

ν_{σ}(E, λ(v); Ē′, λ̄′(v)) = ν_{σ}(E, λ(v); E′, λ′(v)).

Lemme 7.8: Si le Lemme 7.6 est valable pour les diagrammes E, Ē′ et les λ̄′(v) alors il l'est aussi pour E, E′ et les λ′(v).

Supposons que les deux cocycles {t_{σ}} et {t̄_{σ}} de Gal(K/F) à valeurs dans T_{G_{ad}^{∗}}(K) définissent la même classe dans H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{ad}^{∗}}(A_{K})). Alors le principe de Hasse implique l'existence de h ∈ G^{∗}(K) tel que

t̄_{σ} = ad(hσ(h^{−1}))t_{σ}.

Donc en remplaçant E par le diagramme adjoint Ē défini par h nous pouvons remplacer t_{σ} par t̄_{σ}, ou plutôt son image dans T̄_{G^{∗}}, parce que

σ(ad h^{−1} ∘ φ) ∘ φ^{−1} ∘ ad h = ad h^{−1}(ad(hσ(h^{−1}))t_{σ}).

De la même façon le principe de Hasse nous permet de remplacer {s_{σ}} par un cocycle convenable {s̄_{σ}}.

Pour construire {s̄_{σ}} et {t̄_{σ}} nous nous rappelons la relation entre la classe fondamentale de l'extension globale K/F et la classe fondamentale de l'extension locale K_{v}/F_{v} ([1]). Celle de K_{v}/F est contenue dans K_{v}^{×}; celle de K/F est contenue dans le groupe C_{K} des classes d'idèles, et il y a un plongement K_{v}^{×} ↪ C_{K} qui s'étend en un plongement W_{K_{v}/F_{v}} ↪ W_{K/F}.

Soit {α_{σ,τ} (v)|σ, τ ∈ Gal(K_{v}/F_{v})} un représentant donné de la classe fondamentale de K_{v}/F_{v} et soient {σ_{i}} des représentants à droite dans Gal(K/F) suivant Gal(K_{v}/F_{v}). Nous supposons que 1 ∈ {σ_{i}}. Il existe un représentant {α_{σ,τ} (v)|σ, τ ∈ Gal(K/F)} de la classe fondamentale globale tel que

i) Pour σ, τ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}), α_{σ,τ} (v) est l'élément donné dans K_{v}^{×}. ii) Si τ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}) alors α_{σ_{i}^{−1},τ} = 1.

Pour σ, τ ∈ Gal(K_{v}.F_{v}) soit β_{σ,τ} (v) la racine n-ième de α_{σ,τ} (v) choisie dans le chapitre VI. En général soit β_{σ,τ} (v), σ, τ ∈ Gal(K/F) une racine n-ième de α_{σ,τ} (v). Nous posons

δ_{ρ,σ,τ} (v) = ρ(β_{σ,τ} (v))β_{ρσ,τ}^{−1} (v)β_{ρ,στ} (v)β_{ρ,σ}^{−1}(v),

où ρ ∈ Gal(F̄/F). Puisque δ_{ρ,σ,τ}^{n} (v) ∈ F̄^{×} nous pouvons écrire

δ_{ρ,σ,τ} (v) = ^{1}δ_{ρ,σ,τ} (v) ^{2}δ_{ρ,σ,τ} (v),

où ^{1}δ_{ρ,σ,τ} est contenu dans F̄^{x} et ^{2}δ_{ρ,σ,τ} est un élément dont la n-ième puissance est 1. Nous prenons β_{σ_{i}^{−1},τ} (v) = 1, τ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}).

Soit v une place donné de F. Nous construisons d'abord un cocycle de Gal(K/F) à valeurs dans T_{G_{ad}^{∗}}(A_{K}) dont l'invariant local est λ(v) en v et zéro ailleurs. Le groups T_{G_{ad}^{∗}}(A_{K}) est un produit restreint sur tout v des groupes

∏_{w|v} T_{G_{ad}^{∗}}(K_{w}) = ( ∏_{w|v} K_{w}^{×}) ⊗ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}).

Comme module galoisien sur Gal(K/F) ce module est induit et isomorphe à

Ind(Gal(K/F), Gal(K_{v}/F_{v}), K_{v}^{×} ⊗ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}})).

Soit

σ_{i}σ = u_{i}(σ)σ_{j}, u_{i}(σ) ∈ Gal(K_{v}/F_{v}).

Le lemme de Shapiro nous donne un isomorphisme

H^{1}(Gal(K_{v}/F_{v}), T_{G_{ad}^{∗}}(K_{v})) = H^{1}(Gal(K/F), ∏_{w|v} T_{G_{ad}^{∗}}(K_{w}))

qui s'explicite facilement. La classe du cycle {γ_{σ}|σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v})} s'envoie sur la classe du cycle {δ_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)}, où la valeur de δ_{σ} en σ_{i} est γ_{u_{i}(σ)}.

Prenons par exemple le cocycle

γ_{σ}(v) = ∏_{τ∈Gal(K_{v}/F_{v})} α_{σ,τ}^{στλ(v)}

attaché à λ(v). Il nous donne

δ_{σ}(v): σ_{i} → ∏_{τ∈Gal(K_{v}/F_{v})} α_{u_{i}(σ),τ} (v)^{u_{i}(σ)τλ(v)}.

La composition des deux flèches

K_{v}^{×} → ∏_{w|v} K_{w}^{×} = Ind(Gal(K/F), Gal(K_{v}/F_{v}), K_{v}^{×}) → A_{K}

nous donne le plongement de K_{v}^{×} dans A_{K} et puis le plongement de T_{G_{ad}^{∗}}(K_{v}) dans T_{G_{ad}^{∗}}(A_{K}). Donc δ_{σ}(v) s'écrit

∏_{i} σ_{i}^{−1}( ∏_{τ∈Gal(K_{v}/F_{v})} α_{u_{i}(σ),τ} (v)^{u_{i}(σ)τλ(v)}).

Dans cette expression α_{u_{i}(σ),τ} (v) est un élément de K_{v}^{×}; donc un élément de Ind(Gal(K/F), Gal(K_{v}/F_{v}), K_{v}^{×}) dont la valeur en 1 est α_{u_{i}(σ),τ} (v) et dont la valeur en dehors de Gal(K_{v}/F_{v}) est 1.

L'image δ̄_{σ}(v) de δ_{σ}(v) dans C_{K} ⊗ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) est

∏_{i,τ} σ_{i}^{−1}(α_{u_{i}(σ),τ} (v))^{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τλ(v)}.

Mais

σ_{i}^{−1}u_{i}(σ) = σσ_{j}^{−1}

Les Débuts d’une Formule des Traces Stables 94 et

σ_{i}^{−1}(α_{u_{i}(σ),τ} (v)) = α_{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ),τ} (v)α_{σ_{i}^{−1},u_{i}(σ)τ}^{−1} (v)α_{σ_{i}^{−1},u_{i}(σ)}(v)
= α_{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ),τ} (v)
= σ(α_{σ_{j}^{−1},τ} (v))α_{σ,σ_{j}^{−1}τ} (v)α_{σ,σ_{j}^{−1}}^{−1}(v)
= α_{σ,σ_{j}^{−1}τ} (v)α_{σ,σ_{j}^{−1}}^{−1}(v).

Puisque

∑_{τ} τλ(v) = 0,

on a

δ̄_{σ}(v) = ∏_{τ∈Gal(K/F)} α_{σ,τ} (v)^{στλ(v)}.

Choisissons aussi un représentant fixé {α_{σ,τ} } de la classe globale qui ne dépend pas de v. Alors α_{σ,τ} (v) = α_{σ,τ} σ(θ_{τ} (v))θ_{σ}(v)θ_{στ} (v)^{−1}.

Si on pose

θ(v) = ∏_{τ∈Gal(K/F)} θ_{τ} (v)^{τλ(v)}

alors

∏_{τ} α_{σ,τ} (v)^{στλ(v)} = {∏_{τ} α_{σ,τ}^{στλ(v)}}{σ(θ(v))θ(v)^{−1}}.

Puisque δ_{σ}(v) = 1 pour presque tout v et tout σ le produit

∏_{v} δ_{σ}(v)

définit un cocycle à valeurs dans T_{G_{ad}^{∗}}(A_{K}) d'invariants λ(v). Si θ = ∏_{v} θ(v) son image dans C_{K} ⊗ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) est

∏_{v} δ̄_{σ}(v) = {∏_{τ} α_{σ,τ}^{στλ}} {σ(θ)θ^{−1}}.

On a posé

λ = ∑_{v} λ(v) = ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} − η_{σ}.

Si on pose

α = ∏_{τ,ε} α_{τ,ε}^{−τη_{ε}}

on a

∏_{τ} α_{σ,τ}^{στλ} = σ(α)α^{−1}.

Nous choisissons un relèvement ξ_{τ} (v) de θ_{τ} (v) à I_{K} et nous posons

ξ = ∏_{v} ∏_{τ∈Gal(K/F)} ξ_{τ} (v)^{τλ(v)}.

Soit en plus

β = ∏_{τ,ε} α̃_{τ,ε}^{−τη_{ε}}

où α̃_{τ,ε} est défini comme dans le lemme 7.4.

Alors les

t̄_{σ} = ∏_{v} δ_{σ}(v)σ(ξ^{−1}β^{−1})ξβ

définissent une classe dans H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{ad}^{∗}}(K)) avec invariants locaux λ(v). Nous construisons {s̄_{σ}} de la même façon sauf que λ(v) est remplacé par λ′(v). Les lemmes 7.7 et 7.8 nous permettent de supposer que s_{σ} = s̄_{σ} et t_{σ} = t̄_{σ}.

Nous construisons maintenant un relèvement y_{σ} de t_{σ} à ∏_{v} ∏_{w|v} T_{G^{∗}}(K′(v)_{w}) où K′(v) est une extension finie de K′ et où le produit intérieur porte sur les places de K′(v) divisant v. Si on projette Y_{σ}, σ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}), sur T_{G^{∗}}(K′(v)_{v}) on obtient y_{σ}(v), aui doit avoir la forme prescrite.

Posons μ(v) = nλ(v). On relève δ_{σ}(v) en

d_{σ}(v) = ∏_{i} ∏_{τ∈Gal(K_{v}/F_{v})} σ_{k}^{−1}(β_{u_{i}(σ),τ} (v))^{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τμ(v)}.

Soit e_{τ} (v) une racine n-ième de α_{σ,τ} dont les composantes en v sont les γ_{σ,τ} (v) du lemme 7.4. Si χ_{ε} = nη_{ε} soit

b = ∏_{τ,ε} γ_{τ,ε}^{−τχ_{ε}},

Nous posons

y_{σ} = ∏_{v} d_{σ}(v)σ(e^{−1}b^{−1})eb.

C'est le relèvement cherché.

Nous construisons un relèvement x̄_{σ} de s_{σ} de la même façon. Si x_{σ} = σ(g)y_{σ}g^{−1} alors

x_{σ} = x̄_{σ}ε_{σ}

avec

ε_{σ} ∈ ∏_{v} ∏_{w|v} A(K′(v)_{w})

et ε_{σ}(v), σ ∈ Gal(F̄_{v}/F_{v}), s'obtient en projetant ε_{σ} sur A(K′(v)_{v}).

Nous allons écrire y_{σ} = ^{1}Y_{σ}^{2}Y_{σ} et x̄_{σ} = ^{1}X_{σ}^{2}X_{σ} avec ^{1}Y_{σ}, ^{1}X_{σ} dans T_{G}(F̄) et ^{2}Y_{σ}, ^{2}X_{σ} dans

∏_{v} ∏_{w|v} A(K′(v)_{w}). Donc

x_{σ} = σ(g)(^{1}Y_{σ})g^{−1}(^{2}Y_{σ})

et

ε_{σ} ≡ ^{2}Y_{σ}^{2}X_{σ}^{−1} (mod A(F̄)).

Puisque {^{2}Y_{σ}^{2}X_{σ}^{−1}} définira un élément de Q^{1}(F, A) il nous suffira de calculer l'invariant qui lui est attaché. Considérons d'abord d_{σ}(v). puisqu'on a posé β_{σ_{i}^{−1},τ} (v) = 1, τ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}), il est égal à

{∏_{i,τ} β_{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ),τ} (v)^{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τμ(v)}}{∏_{i,τ} δ_{σ_{i}^{−1},u_{i}(σ),τ} (v)^{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τμ(v)}}.

Le premier facteur s'écrit comme le produit de

∏_{i,τ} σ(β_{σ_{j}^{−1},τ} (v))^{σσ_{j}^{−1}τμ(v)}β_{σ,σ_{j}^{−1}}^{σσ_{j}^{−1}τμ(v)}

et

∏_{ikτ} δ_{σ,σ_{j}^{−1},τ}^{−σσ_{j}^{−1}τμ(v)}.

Puisque β_{σ_{j}^{−1},τ} (v) = 1 et ∑_{τ} τμ(v) = 0 la première expression est égale à

(7.2)  ∏_{τ∈Gal(K/F)} β_{σ,τ} (v)^{στμ(v)}.

Nous posons

kA_{σ}(v) = ∏_{i,τ}^{k}δ_{σ_{i}^{−1},u_{i}(σ),τ} (v)^{σ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τμ(v)}^{k}δ_{σ,σ_{j}^{−1},τ} (v)^{−σσ_{j}^{−1}τμ(v)}

pour k = 1, 2. Alors ^{1}A_{σ}(v) ∈ T_{G^{∗}}(F̄) et

2A_{σ}(v) ∈ ∏_{v} ∏_{w|v} A(K′(v)_{w}).

La puissance n-ième de

β_{σ,τ} (v)γ_{σ,τ}^{−1}σ(e_{τ} (v))^{−1}e_{σ}(v)^{−1}e_{στ} (v)

est contenue dans F̄^{×}. Donc l'expression est un produit

1b_{σ,τ} (v)^{2}b_{σ,τ} (v)

où ^{1}b_{σ,τ} (v) ∈ F̄^{×} et

2b_{σ,τ} (v) ∈ ∏_{v} ∏_{w} K′(v)_{w}^{×}

est une racine n-ième de l'unité.

Le produit (7.2) est égal à

{ ∏_{τ∈Gal(K/F)} γ_{σ,τ}^{στμ(v)}}{∏_{τ}(σ(e_{τ} (v))e_{σ}(v)e_{στ} (v)^{−1})^{στμ(v)} ^{1}B_{σ}(v) ^{2}B_{σ}(v)},

où

kB_{σ}(v) = ∏_{τ}^{k}b_{σ,τ} (v)^{στμ(v)}.

Les Débuts d’une Formule des Traces Stables 97

Donc le produit

{∏_{v} d_{σ}(v)}σ(e^{−1})e

est égal à

{ ∏_{τ∈Gal(K/F)} γ_{σ,τ}^{στμ}}^{1}A_{σ}^{1}B_{σ}^{2}A_{σ}^{2}B_{σ}.

Nous avons posé

μ = ∑_{v} μ(v); ^{k}A_{σ} = ∏_{v}^{k}A_{σ}(v); ^{k}B_{σ} = ∏_{v}^{k}B_{σ}(v).

La somme est finit et les produits le sont aussi.

Si χ_{σ} = nη_{σ} alors

μ = ∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ξ_{σ} − ξ_{σ}

et

∏_{τ∈Gal(K/F)} γ_{σ,τ}^{στμ}

est égal à

∏_{τ,ε} γ_{σ,τ}^{στε^{−1}χ_{ε}}γ_{σ,τ}^{−στχ_{ε}} = σ(b)b^{−1} ∏_{τ,ε} ξ_{σ,τ,ε}^{στχ_{ε}}.

On a posé

ξ_{σ,τ,ε} = σ(γ_{τ,ε})γ_{στ,ε}^{−1}γ_{σ,τε}γ_{σ,τ}^{−1}

et on a

ξ_{σ,τ,ε} = ^{1}ξ_{σ,τ,ε}^{2}ξ_{σ,τ,ε}.

Si

kC_{σ} = ∏_{τ,ε}^{k}ξ_{σ,τ,ε}^{στχ_{ε}}

et

kY_{σ} = ^{k}A_{σ}^{k}B_{σ}^{k}C_{σ},

alors Y_{σ} = ^{1}Y_{σ}^{2}Y_{σ}. Nous construisons ^{k}X_{σ} de la même façon sauf que μ′(v) et χ′_{ε} remplacent μ(v) et χ_{ε}.

Nous calculons ^{2}Y_{σ}^{2}X_{σ}^{−1}. Si ^{2}X_{σ} = ^{2}Ā_{σ}^{2}B̄_{σ}^{2}C̄_{σ} on a

2Y_{σ}^{2}X_{σ}^{−1} = (^{2}A_{σ}^{2}Ā_{σ}^{−1})(^{2}B_{σ}^{2}B̄_{σ}^{−1})(^{2}C_{σ}^{2}C̄_{σ}^{−1}).

On observe d'abord que

2A_{σ}^{2}Ā_{σ}^{−1} = ∏_{v}^{2}A_{σ}(v)^{2}Ā_{σ}(v)^{−1}

et que ^{2}A_{σ}(v)^{2}Ā_{σ}(v)^{−1} est égal à

∏_{i,τ}^{2}δ_{σ_{i}^{−1},u_{i}(σ),τ} (v)^{nσ_{i}^{−1}u_{i}(σ)τ(λ(v)−λ′(v))} ^{2}δ_{σ,σ_{j}^{−1}τ} (v)^{−nσσ_{j}^{−1}τ(λ(v)−λ′(v))} = 1,

parce que ^{2}δ_{ρ,σ,τ} est une racine n-ième de l'unité. Un calcul semblable nous donne

2B_{σ}^{2}B̄_{σ}^{−1} = 1.

Enfin

2C_{σ}^{2}C̄_{σ}^{−1} = ∏_{τ,ε}^{k}ξ_{σ,τ,ε}^{στ(χ_{ε}−χ′_{ε})}

Il résulte du lemme 7.3 d'une part que l'invariant attaché à {ε_{σ}} dans H^{−2}(Gal(K/F), U) est {ν_{σ} (mod X_{∗}(T′_{G}))} et du lemma 7.4 d'autre part que cet invariant est {η_{σ} − η′_{σ} (mod X_{∗}(T′_{G}))}, et le lemme 7.6 est démontré.

4. Un invariant global Dans la suite nous ne considérons que des groupes tels que G_{ad}^{∗} satisfasse le principe de Hasse. Supposons

que nous ayons un groupe endoscopique global H et un diagramme global

D^{∗}: T_{H} ⟶^{ν}T_{H} ⟶ T_{G^{∗}} ⟵^{η_{∗}} T_{G^{∗}}.

Un diagramme pseudo-global D sera un ensemble de diagrammes locaux D(v), un pour chaque place v.

D(v): \begin{aligned}T_{H} & ⟶^{η} & T_{H} & ⟶ & T_{G^{∗}} & ⟶^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} \\ & & & & & & T_{G}^{0} \end{aligned}

On suppose de plus que pour presque tout v le diagramme local E(v) obtenu en omettant T_{H} et T_{H} satisfait les conditions du Lemme 6.10. Les λ^{0}(v) étaient fixés dans le paragraphe ci-dessus. Nous choisissons l'invariant λ(v) attaché à E(v) de sorte que λ(v) − λ^{0}(v) ∈ X_{∗}(T_{G}).

La donnée endoscopique s définit un caractère de X_{∗}(T_{H}) et au moyen de D un caractère κ = κ(D) de X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}). Si μ_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G^{∗}}), σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}), et si

λ = ∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} μ_{σ} − μ_{0} ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}})

alors κ(λ) = 1. De plus κ est invariant sous le groupe de Galois Gal(K/F).

Nous avons défini 𝔎(T_{G^{∗}}/F) dans le chapître II. Soit 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F) ⊆ 𝔎(T_{G^{∗}}/F) l'ensemble des caractères κ tels que κ(λ) = 1 si il existe une place v telle que:

∑_{Gal(K_{v}/F_{v})} σ_{T_{G^{∗}}} λ = 0.

Soit Z(D) = Z(D^{∗}) l'ensemble des {μ_{σ}|σ ∈ Gal(K/F)} ⊆ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) tels que

μ = ∑_{Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)μ_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}})

et κ(μ) = 1 si κ = κ(D). Deux diagrammes D et D′ seront dits congruents si Z(D) = Z(D′). C'est évidemment une relation d'équivalence.

Lemme 7.9: Si une des deux conditions suivantes est satisfaite alors les diagrammes D et D′ sont congruents.

a) Les données endoscopiques qui interviennent dans D et D′ sont les mêmes.

b) Les sous-groupes de Cartan T_{G^{∗}} et T′_{G^{∗}} sont égaux et κ′κ^{−1} ∈ 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F).

Comme d'habitude les diagrammes nous permettent d'identifier X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) et X_{∗}(T′_{G_{ad}^{∗}}). De toute façon

σ_{T′_{G^{∗}}} = σ_{T_{G^{∗}}} ω(σ)

avec ω(σ) dans le groupe de Weyl. Donc μ − μ′ ou

∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)μ_{σ} − ∑(σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} − 1)μ_{σ} = ∑(ω(σ)^{−1} − 1)σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} μ_{σ}

est toujours dans X_{∗}(T′_{G_{sc}^{∗}}).

Si la condition (a) est satisfaite alors κ = κ′ et ω(σ) est contenu dans le groupe de Weyl de H. Donc κ(μ − μ′) = 0 et

κ(μ) = κ(μ′) = κ′(μ′).

Si la condition (b) est satisfaite alors μ = μ′. Si κ′ = κκ^{0} on a

κ′(μ′) = κ(μ)κ^{0}(μ).

Il résulte du lemme 7.1 et de la définition de 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F) que κ^{0}(μ) = 1.

Si D et D′ sont congruents et si on prend ν_{σ}(E(v), λ(v); E′(v), λ′(v)) comme dans le lemme 6.3 si σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}) et égal à 0 sinon, alors

{ν_{σ}(D, D′)} = {∑_{v} ν_{σ}(E(v), λ(v); E′(v), λ′(v))}

est bien défini modulo Z(D) = Z(D′).

Fixons une classe de congruence D et supposons qu'elle contienne un diagramme global D̄. Soit

λ̄ = ∑ λ̄(v) = ∑ σ−1 ; T̄_{G^{∗}} η_{σ}(D̄) − η_{σ}(D̄)

avec η_{σ}(D̄) ∈ X_{∗}(T̄_{G_{ad}^{∗}}). Si D est dans D nous posons

η_{σ}(D) = ν_{σ}(D, D̄) + η_{σ}(D̄).

Ici σ ∈ Gal(K/F) et K est une extension galoisienne finie mais suffisamment grande.

Lemme 7.10:

(a) Si D et D′ sont contenus dans D alors

{η_{σ}(D) − η_{σ}(D′)} ≡ {ν_{σ}(D, D′)} (mod Z(D)).

(b) Si D dans D est un diagramme global et si

∑_{v} λ(v) = ∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ} − η_{σ}

alors

{η_{σ}} ≡ {η_{σ}(D)} (mod Z(D)).

Il résulte des lemmes 6.6 et 6.7 que

\begin{aligned}\{ν_{σ}(D, D′)\} & ≡ \{ν_{σ}(D, D̄) − ν_{σ}(D′, D̄)\} (mod Z(D)) \\ & = \{η_{σ}(D) − η_{σ}(D′)\}, \end{aligned}

et la première affirmation est vérifiée.

Si D est global et {η_{σ}} est défini comme dans (b) le Lemme 7.6 implique que

{η_{σ} − η_{σ}(D̄)} ≡ {ν_{σ}(D, D̄)} ≡ {η_{σ}(D) − η_{σ}(D̄)} (mod Z(D)),

ce qui vérifie la deuxième affirmation.

Nous attachons à D ∈ D l'invariant

ε(D) = ∑_{v} λ(v) − ∑_{σ∈Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)η_{σ}(D).

Soit N(D) le noyau de κ dans X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}).

Lemme 7.11:

a) l'invariant ε(D) est contenu dans X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) et est défini à un élément de N(D) près.

b) Si D est un diagramme global alors ε(D) est contenu dans N(D).

D'après la définition ε(D̄) = 0. D'ailleurs

ε(D) − ε(D̄) = ∑_{v}(λ(v) − λ̄(v)) − ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)η_{σ}(D) + ∑(σ−1 ; T̄_{G^{∗}} − 1)η_{σ}(D̄)

≡ − ∑(σ−1 ; T̄_{G^{∗}} − 1)ν_{σ}(D, D̄)

≡ 0 (mod X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}})).

Si D est global

ε(D) − ε(D̄) ≡ ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)(η_{σ} − η_{σ}(D)) (mod N(D)).

Donc l'affirmation (b) résulte du lemma 7.10.

Lemme 7.12: L'invariant ε(D), qui est pris modulo N(D), ne dépend pas du choix des λ^{0}(v), λ̄(v), et λ(v).

Nous vérifions ce lemme en faisant usage du lemme 6.4. Supposons que λ̄(v) soit remplacé par

λ̄(v) + ∑_{Gal(K_{v}/F_{v})} σ−1 ; T̄_{G^{∗}} ξ̄_{σ}(v) − ξ̄_{σ}(v)

et λ(v) par

λ(v) + ∑_{Gal(K_{v}/F_{v})} σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ξ_{σ}(v) − ξ_{σ}(v)

où

∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ξ_{σ}(v) − ξ_{σ}(v) ≡ ∑ σ−1 ; T̄_{G^{∗}} ξ̄_{σ}(v) − ξ̄_{σ}(v).

Nous posons ξ_{σ}(v) = ξ̄(v) = 0 si σ ∉ Gal(K_{v}/F_{v}) et

ξ_{σ} = ∑_{v} ξ_{σ}(v), ξ̄_{σ} = ∑_{V} ξ̄_{σ}(v).

Il résulte du lemme 6.4 que η_{σ}(D) est remplacé par

η_{σ}(D) + ξ_{σ}

parce que η_{σ}(D̄) est remplacé par η_{σ}(D̄) + ξ̄_{σ} et ν_{σ}(D, D̄) par

ν_{σ}(D, D̄) + ξ_{σ} − ξ̄_{σ}

Puisque ∑_{v} λ(v) est remplacé par

∑_{v} λ(v) + ∑(σ_{T_{G}}^{−1} − 1)ξ_{σ}

l'invariant ε ne se change pas. Lemme 7.13: Supposons que les groupes endoscopiques qui interviennent dans D et D′ soient égaux, de sorte que N(D) = N(D′). Alors

ε(D) − ε(D′) ≡ ∑_{v} θ(E(v), E′(v)) (mod N(D)).

Dans la somme à droite θ(E(v), E′(v)) est nul pour presque tout v. Cette somme est égale à

∑_{v}(λ(v) − λ′(v) − ∑_{σ∈Gal(K_{v}/F_{v})} σ_{T′_{G^{∗}}}^{−1} ν_{σ}(v) − ν_{σ}(v)),

qui est congruent à

∑ λ(v) − ∑ λ′(v) − ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)(η_{σ}(D) − η_{σ}(D′))

modulo N(D). Puisque

∑(σ_{T′_{G}}^{−1} − 1)η_{σ}(D) ≡ ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)η_{σ}(D) (mod N(D))

le lemme en résulte.

5. Les tores qui relèvent de G Nous avons fixé G et l'isomorphisme φ: G → G^{∗} défini sur F̄. Nous disons qu'un sous-groupue de

Cartan T_{G^{∗}} sur F relève de G globalement ou sur F s'il y a un T_{G} sur F et un g ∈ G^{∗}(F̄) tel que la restriction ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} de adg ∘ φ à T_{G} l'envoie sur T_{G^{∗}} et est définie sur F. Donc T_{G^{∗}} relève de G si et seulement si un diagramme global

E: \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵ & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ^{T_{G},T_{G^{∗}}} \\ & & T_{G} \end{aligned}

existe.

Soit E^{0} un diagramme global donné et soient λ^{0}(v) les repères introduits ci-dessus. Nous disons que T_{G^{∗}} sur F relève de G localement partout ou sur chaque F_{v} s'il existe pour chaque v un diagramme

E(v): \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ^{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} \\ & & T_{G}(v) \end{aligned}

Puisque le cocycle {σ(φ)φ^{−1}} est trivial presque partout les diagrammes E(v) existent de toute façon presque partout et on peut même les supposer non-ramifiés.

Nous avons attaché à E(v) des invariants λ(v) et ν_{σ}(E^{0}(v), λ^{0}(v); E(v); λ(v)), σ ∈ Gal(K_{v}/F_{v}), qui sont presque tous nuls. Si σ ∈ Gal(K/F) mais σ ∉ Gal(K_{v}/F_{v}) nous posons ν_{σ}(E^{0}(v), λ^{0}(v); E(v), λ(v)) = 0. Soient

∑_{v} λ^{0}(v) = ∑_{Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}^{0}}^{−1} η_{σ}^{0} − η_{σ}^{0}

et

ν_{σ} = ∑_{v}(E^{0}(v), λ^{0}(v); E(v), λ(v)).

Nous posons

θ = ∑_{σ∈Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)(η_{σ}^{0} − ν_{σ}) − ∑_{v} λ(v).

Soit enfin ξ_{2} l'homomorphisme de lemme 7.1.

Lemme 7.14: On a θ ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) et

∑_{σ∈Gal(K/F)} σ_{T_{G^{∗}}} θ = 0.

De plus la classe θ̄ de θ suivant l'image de ξ_{2} ne dépend que de T_{G^{∗}}.

Il est évident que la norme de θ est nulle. Selon les définitioins

∑ λ^{0}(v) − ∑ λ(v) − ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)ν_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}})

et

0 = ∑ λ^{0}(v) − ∑ σ_{T_{G^{∗}}^{0}}^{−1} η_{σ}^{0} − η_{σ}^{0} ≡ ∑ λ^{0}(v) − ∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} η_{σ}^{0} − η_{σ}^{0} (mod (X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}))).

Donc θ ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}).

Il résulte des lemmes 6.3 et 7.1 que pour des E(v), λ^{0}(v), et λ(v) donnés θ̄ ne dépend pas du choix de η_{σ}^{0} ou de ν_{σ}(E^{0}(v), λ^{0}(v); E(v), λ(v)). Les lemmes 6.4 et 7.1 impliquent que θ̄ ne dépend pas du choix de λ^{0}(v) et λ(v).

Si on a deux suites de diagrammes {E(v)} et {E′(v)} alors il existe des h_{v} ∈ 𝔄(T_{G}(v)/F_{v}) tels que E′(v) est adjoint à E(v) relativement à h_{v}. Il y a un invariant μ(v) ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}}) = X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) attaché à {σ(h_{v})h_{v}^{−1}}. Selon le lemme 6.9

θ′ − θ = − ∑ μ(v),

et l'expression à droite est évidemment dans l'image de ξ_{2}. On lvait de plus qu'en remplaçant les E(v) par des diagrammes adjoints on peut remplacer θ par θ −∑ μ(v), pourvu que μ(v) soit pour chaque v l'invariant attaché à un élément de ϑ(T_{G}(v)/F_{v}).

Supposons enfin que E^{1} soit un autre diagramme global. Nous choisissons les λ^{1}(v) de sorte que

λ^{1}(v) − λ^{0}(v) ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}).

Les lemmes 6.6, 6.7, et 7.1 impliquent que

θ − θ^{1} ≡ ∑(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)(η_{σ}^{0} − η_{σ}^{1} − ν_{σ}^{0,1}) (mod Im ξ_{2}),

où

ν_{σ}^{0,1} = ∑_{v}(E^{0}(v), λ^{0}(v); E^{1}(v), λ^{1}(v)).

Il résulte des lemmes 7.1 et 7.6 que θ − θ^{1} ∈ Im ξ_{2}. Je souligne qu'en vertu du lemme 7.1 on a

∑ σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} ω_{σ} − ω_{σ} ∈ Im ξ_{2}

si, par exemple, ω_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}) et

∑ σ_{T_{G^{∗}}^{0}}^{−1} ω_{σ} − ω_{σ} = 0.

Lemme 7.15: Supposons que G_{ad} vérifie le principe de Hasse. On a θ ∈ Im ξ_{2} si et seulement si le sousgroupe de Cartan T_{G^{∗}} relève de G globalement.

Si T_{G^{∗}} relève globalement de G on définit θ au moyen de E^{0} = E où E est un diagramme global contenant T_{G^{∗}}. Cela donne θ = 0.

Si θ̄ = 0 on peut trouver pour chaque place v un μ(v) ∈ X_{∗}(T_{G_{sc}^{∗}}) à norme nulle et tel que

∑_{v}(λ(v) + μ(v)) = ∑_{Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)ω_{σ},

avec ω_{σ} ∈ X_{∗}(T_{G_{ad}^{∗}}). Il résulte de la théorie de Tate-Nakayama qu'il y a une classe globale δ, c'est-à-dire dans H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{ad}^{∗}}(K)), avec invariants locaux λ(v) + μ(v). Soit γ(v) la classe dans H^{1}(Gal(K_{v}/F_{v}), T_{G_{ad}^{∗}}(V_{v})) définie par σ(φ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}})φ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}}^{−1} . Son invariant est λ(v).

Nous avons besoin du lemme suivant, la preuve duquel nous différons.

Lemme 7.16: Soit T un tore sur le corps global F qui se déploie sur l'extension finie K. Alors l'homomorphisme

H^{1}(Gal(K/F), T (K)) → H^{1}(Gal(K/F), T (K ⊗_{ℚ} R))

est surjectif.

Autrement dit on peut trouver une classe globale ayant des invariants donnés aux places infinies. Soit ε une classe globale dans H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{sc}^{∗}}(K)) d'invariants μ(v) aux places infinies et soit η son image dans H^{1}(Gal(K/F), T_{G_{sc}^{∗}}(K)). Nous pouvons remplacer δ par γ′η^{−1} pour supposer que δ(v) ∼ γ(v) aux places infinies.

Soit G′ la forme tordue de G^{∗} définie par δ. C'est aussi une forme tordue de G. La classe qui la définit localement est l'image de ψ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}}^{−1} (γ(v)δ^{−1}(v)) dans H^{1}(F_{v}, G_{ad}(F̄_{v})). Donc cette classe est triviale aux places infinies. Mais γ(v)δ^{−1}(v) provient à chaque place d'une classe dans H^{1}(Gal(K_{v}/F_{v}), T_{sc}^{∗}(K_{v})). Donc la classe dans H^{1}(F_{v}, G_{ad}(F̄_{v})) qui définit G′ provient de H^{1}(F_{v}, G_{sc}(F̄_{v})). Il résulte d'un théorème bien connu qu'elle est triviale à chaque place finie, et le principe de Hasse implique alors que le cocycle global, {σ(φ)^{−1}δ_{σ}φ)}, définissant G′ est trivial.

Si

σ(φ^{−1})δ_{σ}φ = σ(g)g^{−1}, g ∈ G_{ad}(F̄)

alors T_{G^{∗}} relève de

T_{G} = ad g^{−1} ∘ φ^{−1}(T_{G})

au moyen de

ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} = φ ∘ ad g.

Nous revenons à la démonstration du Lemme 7.16. Supposons que les invariants μ(v) soient donnés aux places infinies. Il suffit de vérifier que l'on peut trouver des invariants μ(v) aux places finies tels que presque tous les μ(v) soient nuls et

∑_{v} μ(v) = ∑_{σ∈Gal(K/f)} σ_{T}^{−1}η_{σ} − η_{σ}

η_{σ} ∈ X_{∗}(T).

Si v est complexe μ(v) = 0. Si v est réel, G(K_{v}/F_{v}) ne contient que deux éléments 1 et σ_{v}. A chaque réel v nous attachons une place finie v′ non-ramifiée dans K et telle que le Frobenius dans Gal(K_{v′}/F_{v′}) soit conjugué à σ_{v},

Φ_{v′} = τ_{v}σ_{v}τ_{v}^{−1}.

Nous posons μ(v′) = −τ_{v}μ(v) et nous posons μ(w) = 0 si w est une place finie attachée à aucune place réelle. On a

∑ μ(v) = ∑ ; v réele μ(v) − τ_{v}μ(v).

6. Une observation sur le principe de Hasse D'habitude le principe de Hasse s'énonce pour les groupes simplement connexes, soit comme théorème

soit comme conjecture. Donc pour soulager le lecteur et pour le convaincre que l'hypothèse que G_{ad} satisfait le principe de Hasse, une hypothèse que mous faisons désormais, n'est pas très ennuyeuse nous vérifions le lemme facile suivant, qui semble être bien connu mais que je n'ai trouvénulle part.

Lemme 7.17: Si le principe de Hasse est valable pour G_{sc} il l'est aussi pour G_{ad}.

Pour simplifier la notation nous prenons G simplement connexe. Le lemme de Shapiro nous ramène immédiatement au cas où G est absolument simple.

La suite

1 → A → G → G_{ad} → 1

nous donne un diagamme commutatif à lignes exactes:

H^{1}(F, A) ⟶ H^{1}(F, G) ⟶ H^{1}(F, G_{ad}) ⟶ H^{2}(F, A)
↓ ↓ ↓ ↓^{φ}
∏ ∐_{v} H^{1}(F_{v}, A) ⟶ ∐_{v} H^{1}(F_{v}, G) ⟶ ∐_{v} H^{1}(F_{v}, G_{ad}) ⟶ ∐_{v} H^{2}(F_{v}, A)

Le symbole ∐_{v} dénote une somme directe d'ensembles et le symbole ∏ ∐_{v} un produit direct restreint.

Puisque le principe de Hasse pour G est tenu pour acquis, il suffit de vérifier les deux affirmations suivantes: i) Soit V_{∞} l'ensemble des places infinies. Alors l'homomorphisme

η: H^{1}(F, A) → ∐_{v∈V_{∞}} H^{1}(F_{v}, A)

et surjectif. ii) L'homomorphisme φ du diagramme est injectif.

Le groupe A est défini par un module galoisien fini U et l'action sur A se factorise par Gal(K/F), où K est une extension finie. Nous pouvons supposer que toutes les places infinies de K sont complexes. Nous introduisons encore une suite exacte,

0 → V̂ → Ŵ → Û → 0,

où Ŵ est un module induit sur Gal(K/F) et un module libre sur Z. Celà nous donne une suite exacte,

1 → A → S_{W} → W_{V} → 1,

si W = Hom(Ŵ , Z), V = Hom(V̂ , Z).

Utilisant le théorème 90 de Hilbert on a

S_{V} (K)  ⟶  H^{1}(Gal(K/F), A(K))  ⟶ 0
↓^{ζ}  ↓
∐_{v∈V_{∞}} S_{W} (K_{v}) ⟶^{ξ} ∐_{v∈V_{∞}} S_{V} (K_{v}) ⟶ ∐_{v∈V_{∞}} H^{1}(Gal(K_{v}/F_{v}), A(K_{v})) ⟶ 0

L'image de ξ est ouverte d'indice fini. Donc pour vérifier la surjectivité il suffit de vérifier le lemme suivant. Lemme 7.18: (Serre [27]) Soit T un tore sur F et K une extension finie de F. Alors T (K) est dense dans T (K ×_{ℚ} R).

Nous pouvons supposer que F = K. Choisissons une suite exacte de tores déployés sur une extension finie L,

1 → R → S → T → 1,

où X_{∗}(S) et induit. Alors S(F) est dense dans S(F ⊗_{ℚ} R) parce que L^{×} est dense dans (L ⊗_{ℚ} R)^{×}.

Nous avons un diagramme à lignes exactes:

R(F)  ⟶  S(F)  ⟶  T (F)
↓  ↓  ↓
R(F ⊗_{ℚ} R) ⟶ S(F ⊗_{ℚ} R) ⟶ T (F ⊗_{ℚ} R)

Supposons que t soit dans T (F ⊗_{ℚ} R). Choisissons un relèvement s dans S(L ⊗_{ℚ} R). Alors s définit un cocycle α_{σ} = σ(s)s^{−1} à valeurs dans R(L ⊗_{ℚ} R). Selon le lemme 7.16 nous pouvons supposer que α_{σ} prend ses valeurs dans R(L). C'est un bord dans S(L). Donc α_{σ} = σ(s_{1})s_{1}^{−1} et l'image t_{1} de s_{1} dans T (L) est contenu dans T (F). Nous remplaçons t par tt_{1}^{−1} et supposons que s ∈ S(F ⊗_{ℚ} R). Mais il est alors approché par s′ dans S(F) et t par l'image t′ de s′.

Pour vérifier la deuxième affirmation nous utilisons un résultat de Poitou-Tate (voir [28]). Nous omettons la démonstration.

Lemme 7.19: Le noyau de φ: H^{2}(F, A) → ∐_{v} H^{2}(F_{v}, A), qui est un groupe fini, est dual au noyau de

ψ: H^{1}(F, Û) → ∏ ∐_{v} H^{1}(F_{v}, Û).

Soit Gal(F̄/K) le groupe des éléments qui agissent trivialement sur Û. Alors Gal(K/F) y agit fidèlement. Puisque

H^{1}(K, Û) = Hom(Gal(F̄/K), Û)

il résulte du théorème de densité de Tchebotareff que le noyau de

H^{1}(K, Û) → ∏_{w} H^{1}(K_{w}, Û)

est trivial. Le produit se prend sur les places de K. Donc le noyau de φ est contenu dans H^{1}(Gal(K/F), Û). Il suffit de vérifier que le noyau de

H^{1}(Gal(K/F), Û) → ∏_{v} H^{1}(Gal(K_{v}/F_{v}), Û)

est trivial. En ne considérant que les composantes p-primaires du module à gauche et en remplaçant F par une extension convenable, nous ramenons le problème au cas où Gal(K/F) est un p-groupe.

Mais Gal(K/F) est un sous-groupe du groupe d'automorphismes d'un graphe de Dynkin connexe. Ces groupes sont assez petits, c'est-à-dire soit triviaux, soit un des grouupes Z_{2} ou S_{3}, et en particulier ne contiennent que des p-groupes cycliques. Il existe par conséquent un v tel que Gal(K_{v}/F_{v}) = Gal(K/F). Le lemme en résulte.

7. Une hypothèse globale Soit T_{G^{∗}} un sous-groupe de Cartan de G^{∗} défini sur F et soit κ ∈ 𝔎(T_{G^{∗}}/F), le groupe de caractères

introduit dans III.3. Nous y avons vu comment on attache à T_{G^{∗}} et κ des données endoscopiques et un diagramme

D^{∗}: T_{H} ⟶^{ν}T_{H} ⟶ T_{G^{∗}} ⟵^{η_{∗}} T_{G^{∗}}.

Supposons de plus que T_{G^{∗}} relève de G localement partout. On a alors des diagrammes locaux

D(v): \begin{aligned}T_{H} & ⟶^{ν} & T_{H} & ⟶ & T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ^{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} \\ & & & & & & T_{G}(v) \end{aligned}

Leur ensemble est un diagramme pseudo-global D = D(κ). Le nombre κ(ε(D(κ))) est bien définie si D(κ) est congruent à un diagramme global.

Lemme 7.20: Soit κ̄ un élément donné de 𝔎(T_{G^{∗}}/F). Supposons, ce qui est évidemment possible, que les ψ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} qui interviennent dans D(κ), κ ≡ κ̄ (mod 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F)) ne dépendent pas de κ. Supposons que D(κ) soit congruent à un diagramme global. Alors

∑_{κ≡κ̄ (mod 𝔎^{0}(T_{G^{∗}} /F))} κ(ε(D(κ))) = |𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F)|κ̄(ε(D(κ̄)))

si T_{G^{∗}} relève de G globalement et 0 autrement.

Il résulte de la définition que ε(D(κ)) = ε(D(κ̄)) si κ ≡ κ̄ (mod 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F)). Donc l'égalité se ramène à l'égalité

∑_{κ∈𝔎^{0}(T_{G^{∗}} /F)} κ(ε(D(κ̄))) = |𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F)|

si T_{G^{∗}} relève de G globalement et 0 sinon.

Selon le lemme 7.14, la valeur κ(θ) est bien définie si κ ∈ 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F). Le lemma 7.15 implique que la somme

∑_{κ∈𝔎^{0}(T_{G^{∗}} /F)} κ(θ)

est |𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F)| ou 0 suivant que T_{G^{∗}} relève de G ou non.

Considérons la somme ε(D)+θ, où D = D(κ̄). On peut supposer que le diagramme global E^{0} définissant θ fait partie d'un diagramme D^{0} congruent à D. La somme est égale à

− ∑_{σ∈Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)η_{σ}(D) + ∑_{σ∈Gal(K/F)}(σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} − 1)(η_{σ}^{0} − ν_{σ}),

où ν_{σ} = ν_{σ}(D^{0}, D). Il résulte des lemmes 7.1 et 7.10 que

κ(ε(D) + θ) = 1

si κ ∈ 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F), ce qui implique le lemme.

Dans la suite nous admettrons l'hypothèse suivante, qui nous permettra d'utiliser le lemme que nous venons de démontrer. Pour chaque donnée endoscopique globale nous pouvons trouver des facteurs de transfert Δ(γ, D(v), ϕ_{H}) tels que pour chaque diagramme pseudoglobal D congruents à un diagramme global et chaque γ ∈ T_{H}(F) régulier dans G la valeur Δ(γ, D(v), ϕ_{H}) est 1 pour presque toute place v et

∏_{v} Δ(γ, D(v), ϕ_{H}) = κ(ε(D)).

Pour rendre cette hypothèse un peu plus plausible nous vérifions deux lemmes simples.

Lemme 7.21: Supposons que D soit un diagramme pseudo-global et que pour chaque v l'élément h_{v} soit dans 𝔄(T_{G}(v)/F_{v}). On suppose que h_{v} est trivial pour presque tout v. Soit D′ = {D′(v)} le diagramme adjoint défini par les h_{v}. Alors l'égalité

∏_{v} Δ(γ, D(v), ϕ_{H}) = κ(ε(D)), γ ∈ T_{H}(F),

implique l'égalité

∏_{v} Δ(γ, D′(v), ϕ_{H}) = κ(ε(D′))′ γ ∈ T_{H}(F).

Selon le lemme 3.1

Φ_{T_{G}(v)}^{κ}(γ, f_{v}) = κ(h_{v})Φ_{T′_{G}(v)}^{κ′}(γ′, f_{v})

si γ′ = ad a^{−1}(γ). Par conséquent

Δ(γ′, D′(v), ϕ_{H}) = κ(h_{v})Δ(γ, D(v), ϕ_{H})

et

∏_{v} Δ(γ′, D′(v), ϕ_{H}) = {∏_{v} κ(h_{v})}{∏_{v} Δ(γ, D(v), ϕ_{H})}.

Mais l'égalité

∏_{v} κ(h_{v}) = κ′(ε(D′))κ(ε(D))^{−1}

résulte des lemmes 6.9 et 7.13.

Lemme 7.22: Supposons que l'hypothèse locale soit vérifiée. Alors si l'hypothèse globale est vérifiée pour G^{∗} elle l'est aussi pour G.

Les facteurs Δ(γ, D^{∗}(v), ϕ_{H}) sont fixés en sorte que l'hypothèse globale est vérifiée. Supposons que H soit défini par des données endoscopiques globales. Il y a deux possibilités:

(a) Les diagrammes pseudo-globaux de la forme D = {D(v)} où

D(v): \begin{aligned}T_{H} & ⟶^{ν} & T_{H} & ⟶ & T_{G^{∗}} & ⟵^{η_{∗}} & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ^{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} \\ & & & & & & T_{G}(v) \end{aligned}

sont tous congruents à un diagramme global.

(b) Aucun de ces diagrammes n'est congruent à un diagramme global.

Dans le deuxième cas il n'y a rien à vérifier. Dans le premier cas on fixe un diagramme D̄ et on pose Δ(γ, D̄(v), ϕ_{H}) = c_{v}Δ(γ^{∗}, D̄^{∗}(v), ϕ_{H}), D̄^{∗}(v) = D̄^{∗},

si γ ∈ T_{G}(v) et γ^{∗} = ψ_{T_{G}(v),T_{G^{∗}}} (γ). Les c_{v} sont des constantes, presque toutes égales à 1 et telles que

∏ c_{v} = κ̄(ε(D̄)).

Donce si γ provient d'un élément de T_{H}(F)

∏_{v} Δ(γ, D̄(v), ϕ_{H}) = κ̄(ε(D̄)) ∏_{v} Δ(γ^{∗}, D̄^{∗}(v), ϕ_{H}) = κ̄(ε(D̄))

parce que

κ̄(ε(D̄^{∗})) = κ̄^{∗}(ε(D̄^{∗})) = 1.

Selon l'hypothèse locale on a en général

Δ(γ, D(v), ϕ_{H}) = c_{v}κ(θ(D(v), D̄(v)))Δ(γ, D^{∗}(v), ϕ_{H}).

Puisque κ = κ̄ le lemme 7.13 implique l'égalité

∏_{v}(γ, D(v), ϕ_{H}) = κ(ε(D̄))κ(ε(D) − ε(D̄)) = κ(ε(D)).

Dans le prochain chapître nous tirerons quelques conséquences de l'hypothèse et du lemme 7.20.

VIII. Stabilisation Partielle

Je n'ai pas visé dans ces notes la vérification d'une formule des traces stable. Mon seul but est de montrer qu'en manipulant les termes elliptiques réguliers on peut arriver à une approximation convaincante de la formule (2.2). La stabilisation complète n'est achevée que dans quelques cas particuliers (voir [13], [25]).

1. Une première réduction Nous employons les noations de II.2. Le terme elliptique régulier de la formule des traces s'écrit

(8.1)  ∑_{{λ}} δ(γ)^{−1}mes(_{o}ZG_{γ}(G)\G_{γ}(A_{F})) ∫_{G_{γ}(A)\G(A)} f(g^{−1}γg)dg.

Chaque terme dans la somme est fini et elle converge absolument. Donc nous pouvons la manier à notre grè. La somme porte sur un ensemble de représentants des classes elliptiques régulières relativement à l'équivalence

γ_{1} ∼ γ_{2} ⟺ γ_{2} = zε^{−1}γ_{1}ε, ε ∈ G(F), z ∈ _{0}Z ∩ Z(F).

Nous disons, bien que ce ne soit pas la définition habituelle, que γ est elliptique régulier si son centralisateur G_{γ} est un sous-groupe de Cartan anisotrope modulo le centre Z. L'entier δ(γ) est égal au nombre de z ∈ _{0}Z ∩ Z(F) tel que zγ = ε^{−1}γε pour un ε ∈ G(F).

Soit 𝒯 un ensemble de représentants pour les classes de connjugaison sur F de sous-groupes de Cartan elliptiques et soit 𝒯_{st} un ensemble de représentants pour les classes de conjugaisons stables. Si T est un sous-groupe de Cartan arbitraire sur F soit Ω_{F}^{0} (T, G) le quotient du normalisateur N^{0}(T) de T dans G(F) par T (F); et soit Ω_{F} (T, G) le groupe des éléments du groupe de Weyl absolu dont l'action sur T est définie sur F. Il est évident que Ω_{F}^{0} (T, G) ⊆ Ω_{F} (T, G). Nous réécrivons (8.1) comme

(8.2)  ∑_{𝒯} \frac{mes(_{o}ZT (F)\T (A))}{|Ω_{F}^{0} (T, G)} ∑_{_{o}Z(F)\T (F)} ∫_{T (A)\G(A)} f(g^{−1}γg)dg.

La somme intérieure parcourt l'ensemble des éléments γ dans T (F) dont le centralisateur est T. Nous avons posé A = A_{F} et _{o}Z(F) = _{o}Z ∩ Z(F).

Pour justifier ce changement nous observons d'abord que dans la somme (8.1) on peut supposer que chaque γ est contenu dans un T de 𝒯. Nous pourrons alors essayer de faire la sommation sur tout T et tout γ dans T (F) et régulier. La comme continue à converger parce que chaque classe intervient au plus |Ω_{F}^{0} (T, G)| fois. En effet, si onpose

Ω_{F}^{0} (T, G)_{γ} = {ω ∈ Ω_{F}^{0} (T, G) | γ^{ω} ≡ γ (mod _{o}Z(F))}

la classe de γ intervient avec la multiplicité

\frac{|Ω_{F}^{0} (T, G)|}{|Ω_{F}^{0} (T, G)_{γ}|}.

On obtient (8.2) en observant que

δ(γ) = |Ω_{F}^{0} (T, G)_{γ}|.

Comme pour les corps locaux on pose

Φ_{T} (γ, f) = ∫_{T (A)\G(A)} f(g^{−1}γg)dg

et si δ ∈ ϑ(T/F) est représenté par a ∈ 𝔄(T/F) on pose

Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}, f) = Φ_{T^{a}}(γ^{a}, f).

Nous remplaçons (8.2) par

(8.3)  ∑_{𝒯_{st}} \frac{mes(_{o}ZT (F)\T (A))}{|Ω_{F} (T, G)|} ∑_{_{o}Z(F)\T (F)} ∑_{ϑ(T/F)} Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}, f).

Puisqu'il est évident que chaque T′ ∈ 𝒯 est un T^{a} avec a ∈ 𝔄(T/F) et T ∈ 𝒯_{st} le seul problème est de compenser le superflu.

Supposons que T et h ∈ 𝔄(T/F) soient donnès. Le nombre de δ ∈ ϑ(T/F) tels que T^{h} et T^{g}, où g représente δ, sont conjugués est égal au nombre de δ dans 𝔄(T^{h}/F) tels que T^{h} et T^{hg} sont conjugués, où g représente maintenant le nouveau δ, car g → hg donne une bijection: ϑ(T^{h}/F) → ϑ(T/F). Ce nombre est égal à

|T^{h}(F̄)N(T^{h})\N^{0}(T^{h})| = |T^{h}(F)N^{0}(T^{h})\N(T^{h})|,

où N(T^{h}) est le normalisateur de T^{h} dans 𝔄(T^{h}/F). L'ordre du quotient à droite est

\frac{|Ω_{F} (T^{h}, G)|}{|Ω_{F}^{0} (T^{h}, G)|}.

Puisque

Ω_{F} (T^{h}, G) ≃ Ω_{F} (T, G),

on obtient la formule.

2. Une deuxième réduction Nous fixerons T et un γ dans T (F) régulier et considérerons

(8.4)  ∑_{ϑ(T/F)} Φ_{T^{δ}}(γ^{δ}, f).

Mais pour cela il nous faut des considérations préalables; nous y reviendrons dans le Lemme 8.5. Nous avons introduit dans II.3 les groups ℰ(T/F) et ℰ(T/F_{v}). Soient

\begin{aligned}ℰ(T/A) & = ⊕_{v}ℰ(T/F_{v}), \\ ϑ(T/A) & = ⊕_{v}ϑ(T/F_{v}) ⊆ ℰ(T/A). \end{aligned}

On observe que ϑ(T/A) n'est pas un groupe en général. Il y a une application

φ_{T/F}: ℰ(T/F) → ℰ(T/A).

Lemme 8.1: Supposons que G_{sc} vérifie le principe de Hasse. Soit δ ∈ ℰ(T/F). Alors δ ∈ ϑ(T/F) si et seulement si φ_{T/F} (δ) ∈ ϑ(T/A).

Il est évident que l'image de ϑ(T/F) est contenue dans ϑ(T/A). Supposons que δ soit contenu dans ℰ(T/F) et φ_{T/F} (δ) dans ϑ(T/A).

Nous nous rappelons qu'on a construit dans [18] un diagramme 1 ↓ A ↓

1 → G_{sc} → G̃ → D → 1

↓ G ↓ 1

Le groups A est un tore et X_{∗}(A) est un module induit de sorte que H^{1}(F, A) = {1}. Le diagramme correspondant de sous-groupes de Cartan est

1 ↓ A ↓

1 → T_{sc} → T̃ → D → 1

↓ T ↓ Les applications ϑ(T̃/F) → ϑ(T/F) et ϑ(T̃/A) → ϑ(T/A) sont injectives. Remplaçant G par G̃ nous supposons qu'on a une suite exacte

1 → T_{sc} → T → D → 1,

dans laquelle D est un tore. Si L est une extension galoisienne finie qui déploie T alors

1 → T_{sc}(L) → T (L) → D(L) → 1

est exacte.

Soit {δ_{σ} | σ ∈ Gal(L/F)} un cocycle à valeurs dans T_{sc}(L) qui représente δ. Nous avons supposé qu'il y a un cocycle {γ_{σ} | σ ∈ Gal(L/F)} à valeurs dans T_{sc}(L ⊗_{ℚ} R) qui est un bord dans G_{sc}(L ⊗_{ℚ} R) et qui satisfait l'équation

(8.5)  γ_{σ}^{−1}δ_{σ} = σ(α)α^{−1}

avec α ∈ T (L ⊗_{ℚ} R). Nous voulons en déduire que δ_{σ} est cohomologue dans T (L) à un cocycle β_{σ} à valeurs dans T_{sc}(L) qui est un bord dans G_{sc}(L ⊗_{ℚ} R). Selon un théorème bien connu il est forcément un bord dans G_{sc}(L ⊗_{ℚ} Q_{p}) pour chaque nombre premier p, et le principe de Hasse implique alors qu'il est un bord dans G_{sc}(L). Nous concluons que δ est contenu dans ϑ(T/F).

Nous avons besoin d'un lemme.

Lemme 8.2: Soient F un corps local de caractéristique zéro, L une extension finie galoisienne de F, et G un groupe algébrique sur F. Soit {γ_{σ}} un cocycle de Gal(L/F) à valeurs dans G(L) et supposons que {γ_{σ}} soit un bord. Alors chaque cocycle {β_{σ}} tel que β_{σ} est suffisamment proche de γ_{σ} pour tout σ est aussi un bord.

Admettons ce lemme et terminons la démonstration du Lemme 8.1. Soit ᾱ l'image de α dans (L ⊗_{ℚ} R). L'égalité (8.5) implique qu'il est contenu dans D(F ⊗_{ℚ} R). Selon le lemme 7.18 il y a un ε̄ dans D(F) qui lui est proche. Le théorème 90 de Hilbert implique de plus que ε̄ est l'image d'un ε dans T (L). Puisque σ(ε)ε^{−1} ∈ T_{sc}(L) pour tout σ, nous pouvons remplacer δ_{σ} par σ(ε)ε^{−1}δ_{σ} et supposer que ᾱ est proche de l'identité. On a α = α_{1}α_{2} vec α_{2} proche de l'identité et α_{1} dans T_{sc}(L⊗_{ℚ} R). On choisit une approximation ε_{1} de α_{1} dans T_{sc}(L) et puis on remplace δ_{σ} par σ(ε_{1})^{−1}ε_{1}δ_{σ}. En effet on peut enfin supposer que δ_{σ} est proche à γ_{σ} pour tout σ; et alors selon le lemme 8.2 il suffit de prendre {β_{σ}} = {δ_{σ}}.

Revenant au Lemme 8.2 lui-même nous supposons pour la durée de sa démonstration, d'ailleurs très courte, que F est local. On tord G en remplaçant l'action du groupe de Galois par σ′: g → γ_{σ}^{−1}σ(g)γ_{σ}, ce qui donne un nouveau groupe G′ sur F. Si β_{σ} est un autre cocycle à valeurs dans G(L) alors γ_{σ}^{−1}β_{σ} = β′_{σ} est un cocycle à valeurs dans G′(L). C'est un bord si et seulement si {β_{σ}} et {γ_{σ}} sont cohomologues. Donc en passant à G′ au besoin on peut supposer que γ_{σ} ≡ 1.

Le groupe Gal(L/F) est résoluble et la démonstration se fait par induction sur son ordre. On vérifie que si chaque β_{σ} est près de l'identité alors β_{σ} = σ(α)α^{−1} avec α près de l'identité.

Supposons que F ⫋ E ⫋ L et que E/F est galoisien. Selon l'hypothèse inductive, il existe α près de l'identité tel que β_{σ} = σ(α)α^{−1} pour σ ∈ Gal(L/E). On remplace β_{σ} par σ(α)^{−1}β_{σ}α et on passe à l'extension E/F.

Si E n'existe pas le groupe Gal(L/F) est cyclique d'ordre premier ℓ. Soit σ un générateur. Si β = β_{σ} alors

σ^{ℓ−1}(β) … σ(β)β = 1.

Les ensembles G(L) et G(F) sont des variétés analytiques sur F. Choisissons dans un voisinage de l'identité dans G(L) une sous-variété V complémentaire à G(F). Le jacobien de l'application

(u, v) → σ(v)^{−1}uv, u ∈ G(F), v ∈ V,

au point (1, 1) n'est pas nul et donc l'image de cette application contient un voisinage de l'identité, et l'équation

β = σ(v)^{−1}uv

a une solution avec u et v près de 1. Mais alors u^{ℓ} = 1.

Soit maintenant T_{G^{∗}} un sous-groupe de Cartan de G^{∗} qui est défini sur F et qui relève localement partout de G. Soit E = {E(v)},

E(v): \begin{aligned}T_{G^{∗}} & ⟵ & T_{G^{∗}} \\ ↑ & ψ^{T_{G},T_{G^{∗}}} \\ & & T_{G} \end{aligned}

un ensemble de diagrammes locaux. Donc pour chaque v on choisit E(v) et on exige que E(v) soit non-ramifié pour presque tout v.

Les diagrammes attachent à chaque δ_{∗} ∈ ℰ(T_{G^{∗}}/A) des δ(v) ∈ ℰ(T_{G}(v)/F_{v}). Soit γ_{∗} dans T_{G^{∗}}(A) aux composantes γ_{∗}(v) et soit γ_{∗}(v) l'image de γ(v) dans T_{G}(v)(F_{v}). Nous posons

Φ(γ_{∗}, f_{v}; E(v), δ_{∗}) = Φ_{T_{G}(v)^{δ(v)}}(γ(v)^{δ(v)}, f_{v})

si δ(v) ∈ ϑ(T_{G}(v)/F_{v}) et

Φ(γ_{∗}, f_{v}; E(v), δ_{∗}) = 0

sinon.

Pour presque tout v le groupe G est quasi-déployé sur F_{v} et déployé sur une extension non-ramifiée L_{v}. D'ailleurs pour presque tout v la fonction f_{v} est le quotient de la fonction caractéristique d'un sous-groupe compact hyperspécial par sa mesure. Il est par conséquent évident que pour un tel v

Φ(γ_{∗}, f_{v}; E(v), δ_{∗}) = 0

si γ_{∗}(v) n'est pas dans le sous-groupe compact maximal de T_{G^{∗}}(F_{v}). En particulier il n'y a qu'un nombre fini de γ_{∗} réguliers dans T_{G^{∗}}(F) qui sont tels que

Φ(γ_{∗}, f_{v}; E(v), δ_{∗}) ≠ 0

pour au moins un δ_{∗} et tout v.

Nous allons vérifier maintenant que pour un γ_{∗} donné régulier dans T_{G^{∗}}(F) il n'y a qu'un nombre fini de δ_{∗} tels que

Φ(γ_{∗}, f_{v}; E(v), δ_{∗}) ≠ 0

pour tout v. En plus presque toutes les composantes locales d'un tel δ_{∗} sont triviales. C'est en effet une conséquence du lemme suivant.

Lemme 8.3: Soit T = T_{G}(v) et supposons que:

i) le diagramme E(v) soit nonm-ramifié relativement aux sous-groupes compacts hyperspéciaux U_{v} et U_{v}^{∗}; ii) la fonction f_{v} soit la fonction caractéristique du sous-groupe U_{v}; iii) l'élément γ de T (F_{v}) soit contenu dans T_{G^{∗}}(F_{v}) ∩ U_{v} et α(γ) ne soit congru à 1 modulo 𝔤_{v} pour aucune

racine α.

Soit a ∈ 𝔄(T_{G}(v)/F_{v}). La fonction g → f_{v}(g^{−1}γ^{a}g) sur G(F_{v}) est identiquement nulle sauf quand la classe δ dans ξ(T_{G}(v)/F_{v}) attachée à a est triviale. Alors elle est la fonction caractéristique de a^{−1}T (F̄_{v})U_{v} ∩G(F_{v}).

Puisque E(v) est non-ramifié relativement à U_{v} le point x dans 𝔛, l'immeuble de Bruhat-Tits de G(L_{v}), qui définit U_{v} est contenu dans l'appartement A de T (L_{v}). Nous pouvons supposer que a ∈ G(L_{v}). Selon l'hypothèse (iii) et (3.6i) de [37] l'ensemble de points fixes de γ dans 𝔛 est contenu dans A.

Donc f_{v}(g^{−1}γ^{a}g) est 1 ou 0 suivant que agx soit contenu dans A ou non. Si A contient agx alors agx = tx, t ∈ T (L_{v}) et h = t^{−1}ag stabilise x. Les arguments habituels impliquent que h = σ(k^{−1})k, où k stabilise x. Il en résulte que δ est trivial, et le lemme est vérifié.

Il nous permet de poser

Φ(γ_{∗}, f, E, δ_{∗}) = ∏_{v} Φ(γ_{∗}, f_{v}, E(v), δ_{∗})

et

Φ(γ_{∗}, f, E, κ) = ∑_{δ_{∗}∈ϑ(T_{G^{∗}} /A)} κ(δ_{∗})Φ(γ_{∗}, f, E, δ_{∗})

si κ ∈ 𝔎(T_{G^{∗}}/F).

Le caractère κ définit un diagramme D^{∗} et les diagrammes D^{∗} et E définissent ensemble un diagramme D. Nous posons

Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f) = 0

si D n'est congruent à aucun diagramme global. Si D est congruent à un diagramme global nous posons

Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f) = κ(ε(D))Φ(γ_{∗}, f, E, κ).

Lemme 8.4: La valeur Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f) ne dépend pas du choix de E. Si a ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F), si T′_{G^{∗}} = T_{G^{∗}}^{a}, γ′_{∗} = γ_{∗}^{a}, et si κ′ s'obtient de κ par transport de structure alors

Φ_{T′_{G^{∗}}}^{κ′} (γ′, f) = Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ, f).

Tout autre choix de E se déduit d'un E donné en prenant les diagrammes adjoints des E(v) relatifs à des h_{v} ∈ 𝔄(T_{G}(v)/F_{v}). Cela multiplie Φ(γ_{∗}, f, E, κ) par ∏_{v} κ_{v}(h_{v})^{−1}, où le caractère κ_{v} est l'image de κ dans 𝔎(T_{G^{∗}}/F_{v}). Mais selon les lemmes 6.9 et 7.13

κ′(ε(D′)) = κ(ε(D′)) = κ(ε(D)) ∏_{v} κ_{v}(θ(E′(v), E(v)))

et

κ_{v}(θ(E′(v), E(v))) = κ_{v}(h_{v}).

Si a ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F) alors a ∈ 𝔄(T_{G^{∗}}/F_{v}) pour chaque v et ∏_{v} κ_{v}(a) = 1, ce qui donne la seconde affirmation. Le noyau de ℰ(T_{G^{∗}}/F) → ℰ(T_{G^{∗}}/A) est fini, et le groupe 𝔎(T_{G^{∗}}/F) l'est aussi. Leurs ordres soient

ι_{1}(F, T_{G^{∗}}, G^{∗}) = ι_{1}(F, T_{G^{∗}}) et ι_{2}(F, T_{G^{∗}}, G^{∗}) = ι_{2}(F, T_{G^{∗}}). Nous posons

ι(F, T_{G^{∗}}, G^{∗}) = ι(F, T_{G^{∗}}) = \frac{ι_{1}(F, T_{G^{∗}})}{ι_{2}(F, T_{G^{∗}})}.

Lemme 8.5: Soit γ^{∗} ∈ T_{G^{∗}}(F) régulier. Considérons

ι(F, T_{G^{∗}}) ∑_{κ∈𝔎(T_{G^{∗}} /F)} Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f).

a) Si T_{G^{∗}} ne relève pas de G globalement cette expression est égale à zéro.

b) Si T_{G^{∗}} relève de T_{G} alors elle est égale à

∑_{δ∈ϑ(T_{G}/F)} Φ(γ^{δ}, f)

si γ_{∗} = ψ_{T_{G},T_{G^{∗}}} (γ).

On observe qu'il s'agit ici de la somme (8.4) avec T = T_{G}.

Nous vérifions la deuxième affirmation d'abord. Puisque la classe de conjugaison stable du γ qui y intervient est bien définie la somme est aussi bien définie. Si on définit Φ_{T_{G^{∗}}} (γ_{∗}, f) à partir d'un diagramme global contenant T_{G} nous obtenons

Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f) = ∑ κ(δ) ∏_{v} Φ_{T_{G}^{δ(v)}}(γ^{δ(v)}, f_{v})

parce que κ(ε(D)) = 1. La somme parcourt ℰ(T_{G}/A) = ℰ(T_{G^{∗}}/A). Il résulte de la théorie de Tate-Nakayama que δ est dans le noyau de tout κ ∈ 𝔎(T_{G^{∗}}/F) si et seulement s'il est dans l'image de ℰ(T/F). Donc en sommant sur κ nous obtenons

ι_{2}(F, T_{G^{∗}}) ∑_{Image ℰ(T/F)} ∏_{v} Φ_{T_{G}^{δ(v)}}(γ^{δ(v)}, f_{v}).

Tenant compte du lemme 8.1, des définitions et de l'égalité

Φ_{T_{G}^{δ}}(γ^{δ}, f) = ∏_{v} Φ_{T_{G}^{δ(v)}}(γ^{δ(v)}, f_{v}),

où δ ∈ ℰ(T_{G}/F) a pour image {δ(v)}, nous obtenons l'énoncé.

Pour vérifier la premièr partie il suffit de montrer que pour chaque κ donné

∑_{κ^{0}∈𝔎^{0}(T_{G^{∗}} /F)} Φ_{T_{G^{∗}}}^{κκ^{0}} (γ_{∗}, f) = 0.

Si les diagrammes attachés à T_{G^{∗}} et les κκ^{0} ne sont pas congruents à un diagramme global c'est une conséquence immédiate de la définition.

Si au contraire ils sont congruents à un diagramme global nous fixons un E = {E(v)} et l'utilisons pour construire des diagrammes pseudo-globaux D(κκ^{0}). Notre somme est égale à

∑_{κ^{0}} κκ^{0}(ε(D(κκ^{0}))) ∑_{δ_{∗}} κ(δ_{∗})κ^{0}(δ_{∗})Φ(γ_{∗}, f, E, δ_{∗}).

Mais 𝔎^{0}(T_{G^{∗}}/F) est précisément le groupe de tous les éléments κ^{0} dans 𝔎(T_{G^{∗}}/F) tels que

κ^{0}(δ_{∗}) = ∏_{v} κ_{v}^{0}(δ_{∗}(v)) = 1

pour tout δ_{∗} ∈ ℰ(T_{G^{∗}}/A).

Il en résulte que la somme intérieure ne dépend pas de κ^{0}. L'égalité

∑ κκ^{0}(ε(D(κκ^{0}))) = 0

est vérifiée dans le lemme 7.20.

Le terms elliptique régulier de la formule des traces s'écrit maintenant

(8.6)  ∑_{𝒯_{st}^{∗}} \frac{mes(_{o}ZT^{∗}(F)\T^{∗}(A))ι(F, T^{∗})}{|Ω_{F} (T^{∗}, G^{∗})|} ∑_{_{o}Z(F)\T^{∗}(F)} ∑_{κ} Φ_{T^{∗}}^{κ}(γ_{∗}, f).

Dans cette expression 𝒯_{st}^{∗} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison stable de sous-groupes de Cartan elliptiques de G^{∗}. La somme au milieu ne parcourt que les éléments réguliers de_{o}Z(F)\T^{∗}(F). On consideère _{o}Z et Z(F) somme des sous-groupes de G^{∗}(A) et on a utilisé l'égalité |Ω_{F} (T, G)| = |Ω_{F} (T^{∗}, G^{∗})| qui est valable si T^{∗} relève de T.

La somme converge dans l'ordre donné, mais il n'est pas encore démontré qu'elle converge absolument. C'est une question à laquelle nous reviendrons, cependant sans la résoudre. Pour l'instant nous admettons qu'elle converge absolument.

3. Utilisation de l'hypothèse globale Nous avons attaché dans II.5 à un couple T^{∗}, κ des données endoscopiques et un diagramme D^{∗}. Si

T^{∗} = T_{G^{∗}} et si D^{∗} est congruent à un diagramme global alors

Φ_{T_{G^{∗}}}^{κ} (γ_{∗}, f) = κ(ε(D)) ∏_{v} Φ_{T_{G}(v)}^{κ_{v}}(γ(v), f_{v}) .

L'hypothèse globale nous permet de réecrire l'expression à droite. Elle est égale à

(8.7)  ∏_{v} Δ(γ, D(v), Φ_{H})Φ_{T_{G}(v)}^{κ_{v}}(γ(v), f_{v}) = ∏_{v} Φ_{T_{H}}^{st} (γ, f_{v}^{H})

si γ dans T_{H} correspond à γ_{∗} dans T_{G^{∗}}. Si on pose f^{H} = 0 quand D^{∗} n'est pas congruent à un diagramme global on obtient la même égalité en général.

Si on a des connées endoscopiques (s,^{L}H^{0},^{L}B_{H}^{0},^{L}T_{H}^{0}, {γ_{α^{v}}}, ρ) on peut introduire le groupe Λ de g dans ad(^{L}G^{0}) tel que

LH_{0} = g(^{L}H^{0}),^{L}B_{H}^{0} = g(^{L}B_{H}^{0}),^{L}T_{H}^{0} = g(^{L}T_{H}^{0})
Y_{gα^{v}} = g(Y_{α^{v}})

et

(8.8)  g(s) = zs

avec z dans le produit du centre de ^{L}G^{0} avec la composante connexe du centre de ^{L}H. Il est isomorphe à un sous-groupe du groupe de Weyl absolu et donc fini. Son ordre est un invariant de la classe 𝔖 des données; on le note λ(𝔖).

Nous disons que 𝔖 est elliptique si la composante connexe du centre de ^{L}H est contenu dans le centre de ^{L}G^{0}, ce qui est évidemment le cas si 𝔖 est défini par (T, κ) avec un T elliptique. Pour des données elliptiques le z qui intervient dans (8.8) est dans le centre de ^{L}G^{0}.

Supposons que l'on ait une classe 𝔖 elliptique et un diagramme partiel

T_{H} ⟶^{ν}T_{H}⟶T_{G^{∗}}

ainsi qu'un γ ∈ T_{H}(F). Il y a alors au moins un diagramme

T_{H} ⟶^{ν}T_{H}⟶T_{G^{∗}} ⟵^{η}T_{G^{∗}}

dans laquelle la classe stable de T_{G^{∗}} est déterminée par celle de T_{H} et qui nous donne γ_{∗} ∈ T_{G^{∗}}(F), l'image de γ. Puisque un s qui définit la classe est contenu dans ^{L}T_{H}^{0} qui s'identifie avec Hom(X_{∗}(T_{G^{∗}}, C^{×}), cet s définit, en le transportant à T_{G^{∗}}, un élément κ dans 𝔎(T_{G^{∗}}/F). En se souvenant que 𝔖 est elliptique on voit que κ est bien défini et ne dépend pas du choix de s.

Nous nous demandons combien de couples (γ_{∗}, κ) on obtient de cette façon, mais en supposant que les γ que l'on obtient sont réguliers dans G^{∗}. Si on a deux diagrammes, définis par η et η̄, alors η̄ = η ∘ ω avec ω ∈ Ω_{F} (T_{G^{∗}}, G^{∗}). Donc le nombre de couples est |Ω_{F} (T_{G^{∗}}, G^{∗})|.

Si l'on prend pour T_{G^{∗}} un des groupes T^{∗} intervenant dans 8.6 alors, comme nous avons vu dans (8.7) la valeur de Φ_{T^{∗}}^{κ}(γ_{∗}, f) ne dépend pas de couple (γ_{∗}, κ) et est égale à Φ_{T_{H}}^{st} (γ, f^{H}). Pour simplifier ce qui suit nous notons cette valeur commune Φ. La contribution de ces |Ω_{F} (T_{G^{∗}}, G^{∗})| couples à (8.6) est

mes(_{0}ZT^{∗}(F)\T^{∗}(A))ι(F, T^{∗})Φ. (8.9) On observe que

mes(_{0}ZT^{∗}(F)\T^{∗}(A)) = mes(_{0}ZT_{H}(F)\T_{H}(A)),

les gruupes eux-mêmes étant égaux.

Pour obtenir notre approxiamtion à la formule (2.2) il faut remarquer que plus d'une classe stable de sous-groupes de Cartan de H ou plus d'un γ dans T_{H}(F) peut donner le même ensemble de (γ_{∗}, κ), bien que la classe de données endoscopiques soit déterminée par cet ensemble.

Si γ ∈ T_{H}(F) et γ̄ ∈ T̄_{H}(F) définissent le même couple alors il y a un diagramme commutatif

(8.10)

Le flèche en haut et la flèche en bas sont définies sur F. Les deux flèches ω et μ sont induites par des automorphismes intérieurs de G^{∗} et H, et en plus ω fixe κ.

Si γ est donné la flèche en haut définit γ_{∗} et l'inverse de celle en bas définit γ̄, qui est alors l'image de γ_{∗}. Le morphisme ω est donné par un élément du groupe de Weyl absolu. Il n'est pas nécessairement défini sur F, mais en utilisant le diagramme pour identifier T_{H} et T_{G^{∗}} aussi bien que T̄_{H} et T_{G^{∗}} on a

ωσ(ω^{−1}) = ωσ_{T_{G^{∗}}} ω^{−1}σ_{T_{G^{∗}}}^{−1} = μσT̄_{H} μ^{−1}σ_{T_{H}} = μσ(μ^{−1}),

ce qui implique que ωσ(ω^{−1}) ∈ Ω(T_{H}, H) pour tout σ dans le groupe de Galois.

Inversement si un ω donné satisfait à cette condition alors selon un théorème bien connu de Steinberg [34] on peut trouver un T̄_{H} et un μ tel que ωσ(ω^{−1}) = μσ(μ^{−1}) pour tout σ, ce qui nous permet de construire un diagramme (8.10).

Le diagramme

T_{H} ⟶^{ν}T_{H}⟶T_{G^{∗}} ⟶^{η}T_{G^{∗}}

étant donné, soit Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗}) l'ensemble des ω dans Ω(T_{G^{∗}}, G^{∗}) qui fixent κ et sont tels que ωσ(ω^{−1}) est dans Ω(T_{H}, H) pour tout σ dans le groupe de Galois. On vient de voir qu'il est possible d'attacher à chaque ω dans Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗}) un μ = μ(ω) et un T̄_{H}. Deux éléments ω et ω_{1} définissent la même classe stable de sous-groupe de Cartan de H si et seulement si

ω_{1}σ(ω_{1}^{−1}) ≡ ζωσ(ω^{−1})σ(ζ^{−1}), σ ∈ Gal(F̄/F)

avec ζ ∈ Ω(T_{H}, H). Donc les classes stables qui apparaissent sont paramètrisée par les classes doubles

(8.11)  Ω(T_{H}, H)\Ω^{∗}(T_{G^{∗}}, G^{∗})/Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗}).

Nous vons posé

Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗}) = Ω_{F} (T_{G^{∗}}, G^{∗}) ∩ Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗}).

Nous vérifions que pour un ensemble donné de (γ_{∗}, κ) la somme

∑ \frac{1}{|Ω_{F} (T̄_{H}, H)|}

qui est étendue aux classes stables T̄_{H} et aux γ̄ ∈ T̄_{H}(F) intervenant dans (8.10) est égale à λ(𝔖).

Nous vérifions d'abord que pour un T̄_{H} donné le nombre de γ̄ qui interviennent est égale à |Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗})|. Pour ceci on peut supposer que T̄_{H} = T_{H} et que μ est l'identité. Mais alors ω ∈ Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗}).

Donc la somme s'écrit comme une somme sur les classes doubles (8.11) de

(8.12)  \frac{|Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗})|}{|Ω_{F} (T̄_{H}, H)|}

L'isomorphisme μ nous permet d'identifier Ω(T_{H}, H) et Ω(T̄_{H}, H), au moyen de α ↔ μ^{−1}αμ. Puisque

σ(μ^{−1}αμ) = μ^{−1}(μσ(μ^{−1}σ(α)σ(μ)μ^{−1})μ = μ^{−1}(ωσ(ω^{−1})σ(α)σ(ω)ω^{−1}),

on a

Ω_{F} (T̄_{H}, H) = ω^{−1}Ω(T_{H}, H)ω ∩ Ω_{F}^{κ} (T_{G^{∗}}, G^{∗}).

Par conséquent le quotient (8.12) est le nombre de classes à droite suivant Ω_{F} (T_{H}, H) dans la classe double et la somme est égale à

\frac{|Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗})|}{Ω(T_{H}, H)}.

Nous vérifions enfin que le groupe Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗})/Ω(T_{H}, H) est isomorphe à Λ(𝔖). La flèche T_{G^{∗}} → T_{G^{∗}} nous permet d'identifier Ω(T_{G^{∗}}, G^{∗}) et Ω(^{L}T^{0},^{L}G^{0}). Nous pouvons supposer que le s qui définit ^{L}H est dans ^{L}T^{0} et que ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0}, ^{L}B_{H}^{0} = ^{L}B^{0}. Alors Λ(𝔖) est isomorphe au sous-groupe des éléments de Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗}) qui fixent l'ensemble des racines de ^{L}T_{H}^{0} positives par rapport à ^{L}B_{H}^{0}. Mais Ω^{κ}(T_{G^{∗}}, G^{∗}) est le produit semi-direct de ce groupe et Ω(T_{H}, H).

Puisque Φst ; T̄_{H} (γ̄, f^{H}) est égal à Φ pour tous les T̄_{H} et γ̄ qui interviennent nous déduisons que

∑ \frac{ι(F, T_{G^{∗}})}{ι(F, T_{H})} \frac{1}{λ(𝔖)}mes(_{0}ZT^{∗}(F)\T^{∗}(A))ι(F, T_{H})Φst ; T̄_{H} (γ̄, f^{H})

est égal à (8.9).

Pour obtenir le remaniement cherché de la formule des traces il nous faut le lemme suivant

Lemme 8.6: Supposons que T_{H} et T_{G^{∗}} et T′_{H} et T′_{G^{∗}} sont liés par des diagrammes D et D′ correspondant à la même classe de données endoscopiques et que T_{G^{∗}} et T′_{G} sont anisotropes modulo le centre. Alors

\frac{ι(F, T_{G^{∗}})}{ι(F, T_{H})} = \frac{ι(F, T′_{G^{∗}})}{ι(F, T′_{H})}.

Soit α la valeur commune de ces quotients. Nous posons

ι(G, H) = ι(𝔖) = \frac{α}{λ(𝔖)}.

Alors en supposant que la somme (8.6) converge absolument nous déduisons du lemme qu'elle est égale à la somme sur les classes elliptiques de données endoscopiques du produit de ι(G, H) et de

(8.13)  ∑_{𝒯_{st}(H)} ∑_{γ∈T_{H}(F)} \frac{mes(_{0}ZT_{H})\T_{H}(A))ι(F, T_{H})Φ_{T_{H}}^{st} (γ, f^{H})}{|Ω_{F} (T_{H}, H)|}

La somme intérieure parcourt des γ dont l'image dans T_{G^{∗}}(F) est régulière.

Si on admet que la trace stable pour le groupe quasi-déployé a pour terme elliptique régulier

∑_{𝒯_{st}(G)} \begin{matrix}∑ & ′ \\ γ∈T_{G∗} (F) \end{matrix} \frac{mes(_{0}ZT_{G^{∗}}(F)\T_{G^{∗}}(A))ι(F, T_{G^{∗}})Φ_{T_{G∗}}^{st} (γ, f^{G^{∗}})}{|Ω_{F} (T_{G^{∗}}, G^{∗})|}

alors la somme (8.13) est presque le terme elliptique pour le groupe H et la fonction f^{H}, et nous avons une forme approximative de la formule (2.2), les termes correctifs n'intervenant pas à notre niveau d'approximation sauf pour les groupes endoscopiques non elliptiques où ils absorbent tout.

4. Vérification du dernier lemme cohomologique Il s'agit du Lemme 8.6. Sa preuve est assez longue. Shelstad m'a fait remarquer que pour un groupe

simplement connexe le nombre ι(F, T_{G^{∗}}) n'est, selon un théorème bien connu d'Ono, que l'inverse du nombre de Tamagawa de T_{G^{∗}}, mais je n'ai pas su utiliser cette observation pour simplifier la démonstration.

Pour la commencer nous nous délestons de toute notation superflue. Nous supposons surtout que G est déjà quasi-déployé, ce qui nous permet de supprimer tout astérisque. Nous posons

T = T_{G}, T′ = T′_{G}, S = T_{H}, S′ = T′_{H},

et nous nous souvenons que le centre de ^{L}G^{0} est supposé connexe et donc que l'homomoprhisme G_{sc} → G est un plongement. Le lemme étant trivial pour H = G, nous supposons que la dimension de H est strictement plus petite que celle de G. Le diagramme D nous donne un isomorphisme entre S et T et puisque X_{∗}(S_{sc}) ⊆ X_{∗}(T_{sc}) nous avons un homomorphisme φ: S_{sc} → T_{sc}.

Lemme 8.7: Soit L une extension galoisienne fini de F qui déploie T. Alors le noyau de

H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(L)) → H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(A_{L}))

est contenu dans l'image de

H^{1}(Gal(L/F), S_{sc}(L)) → H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(L)).

On ne perd rien dans ce lemme en supposant G simplement connexe. S'il se décompose, alors T_{sc} et S_{sc} se décomposent aussi, de sorte qu'on peut supposer G simple. Enfin en utilisant le lemme de Shapiro on peut supposer qu'il est absolument simple.

Nous posons

Y = QX_{∗}(S_{sc}) ∩ X_{∗}(T_{sc})

et définissons Z et U par l'exactitude des diagrammes

0 → Y → X_{∗}(T_{sc}) → Z → 0 (8.14) 0 → X_{∗}(S_{sc}) → Y → U → 0. (8.15)

Il y a deux actions du groupe de Galois sur ces modules. L'une qui apparaît dans l'énoncé du lemmes et dans ces diagrammes est celle définie par l'action naturelle sur X_{∗}(T). On la dénotera μ → σμ, σ ∈ Gal(F̄/F). Pour obtenir l'autre, notée μ → σ̄μ, on choisit un ensemble de racines simples de ^{L}T^{0} dans ^{L}H^{0} comme dans [18] (p.708) et on écrit σ = ω(σ)σ̄ où ω(σ) dans le groupe de Weyl de ^{L}T^{0} relatif à ^{L}H^{0} est choisi en sorte que \overline{σ} fixe cet ensemble de racines simples. Si on travaille modulo X_{∗}(S_{sc}) les deux actions sont identiques.

Nous vérifions ensuite que

H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Z) → H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Z)

est injectif. Le groupe I_{L} est le groupe de classes d'idèles de L.

Puisque le groupe T est anisotrope le caractère κ est d'ordre fini et nous pouvons attacher un graphe à (T, κ) comme dans [18], (pages 708–709). Si ce graphe était ordinaire et pas complété alors ^{L}H^{0} serait un facteur de Levi d'un sous-groupe parabolique P de ^{L}G^{0} où l'ensemble de racines de ^{L}T^{0} relatif à P serait invariant sous l'action (avec ou sans barre) du groupe de Galois. La somme de ces racines, qui n'est pas zéro, serait invariante sous le groupe de Galois, ce qui contredit l'hypothèse que T_{sc} est anisotrope.

Donc nous avons à considérer un graphe complété. L'action avec barre du groupe de Galois permute les racines du graphe qui ne sont pas des racines de ^{L}H^{0}, et le Z-module libre V sur ces racines est donc aussi un module galoisien. Il y a un homomorphisme naturel V → Z. Nous vérifions que le noyau est le module galoisien trivial Z de sorte que l'on a une suite exacte de modules galoisiens:

(8.16)  0 → Z → V → Z → 0.

En effet, puisque le graphe est complété l'ensemble de sommets est la réunion d'une base α1^{∨}, …, αℓ^{∨} et l'opposé α^{∨} de la plus grande racine. La relation définissant Z s'obtient en enlevant les racines de ^{L}H^{0} de la relation

α^{∨} + ∑_{i=1}^{ℓ} a_{i}αi^{∨} = 0.

On se souvient que les a_{i} sont des entiers positifs. Si α^{∨} n'est pas une racine de ^{L}H^{0} cette relation est alors

α^{∨} + ∑_{i=k+1}^{ℓ} a′_{i}αi^{∨} = 0,

où a_{i} = aa′_{i}, a étant le plus grand diviseur commun des a_{i}, k + 1 ≤ i ≤ ℓ. Puisque l'action du groupe de Galois permute les sommets du graphe, il est maintenant évident que le noyau de V → Z est le module galoisien trivial Z.

La suite exacte (8.16) nous donne un diagramme

H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ V) → H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Z) → H^{2}(Gal(L/F), L^{×})
↓ ↓ ↓
H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ V) → H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Z) → H^{2}(Gal(L/F), I_{L})

Le théorème 90 de Hilbert implique que les deux groupes à gauche sont zéro, et la théorie du corps de classe que la flèche à droite est injective. Il en résulte que la flèche au centre est aussi injective.

Le suites (8.14) et (8.15) nous donnent deux diagrammes commutatifs, les lignes du premier étant exactes:

H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Y) → H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(L)) → H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Z)
↓_{η} ↓ ^{∩} ↓
H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Y) → H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(A_{L})) → H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Z)

H^{1}(Gal(L/F), S_{sc}(L)) ⟶^{φ} H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Y)
↓_{ζ} ↓^{η}
H^{1}(Gal(L/F)_{,}S_{sc}(A_{L})) ⟶_{ψ} H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Y)

Pour vérifier le lemme 8.7 il suffit, vu l'injectivité de la flèche à gauche dans le premier diagramme, d'établir que le noyau de λ est contenu dans l'image de φ. Donc que Ker λ ⊆ Im φ. Pour commencer nous montrons que

(8.17)  Ker ν ⊆ Im ψ.

On se souvient que

H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Y) ≃ ⊗_{v}H^{−1}(Gal(L_{v}, F_{v}), Y);

la somme parcourt les places de F et L_{v} est la complétion de L par rapport à une place de L au-dessus de v. L'élément ⊕λ_{v}, presque tous les λ_{v} étant zéro, est contenu dans le noyau de ν, ou plutôt représente un élément de ce noyau, si et seulement si pour chaque v

(8.18)  λ_{v} = ∑_{σ∈Gal(L_{v}/F_{v})} σμ_{v}(σ) − μ_{v}(σ)

avec μ_{v}(σ) ∈ X_{∗}(T_{sc}).

Nous exploitons encore le graphe de (T, κ). Si α^{∨} n'est pas une racine de ^{L}H^{0} alors X_{∗}(S_{sc}) = Y et il n'y a rien à vérifier. Sinon la seule relation entre αk+1^{∨}, …, αℓ^{∨} modulo Y est

∑_{i=k+1}^{ℓ} a′_{i}αi^{∨} = 0.

Il est important de remarquer que les a′_{i} sont positifs, parce que nous allons utiliser ce fait pour vérifier que s'il y a une famille μ(σ), σ ∈ Gal(L/F), avec μ(σ) ∈ X_{∗}(T_{sc}) et telle que la somme

∑_{σ∈Gal(L/F)} μσ(σ) − μ(σ) ∈ Y,

alors elle est déjà contenue dans X_{∗}(S_{sc}). Il en résulte que tous les λ_{v} de (8.18) sont dans X_{∗}(S_{sc}), ce qui implique (8.17).

En effet chaque μ dans X_{∗}(T_{sc}) s'écrit comme

∑_{i=1}^{ℓ} b_{i}αi^{∨}

avec des entiers b_{i}. Par conséquent

σμ − μ ≡ σ̄μ − μ ≡ ∑_{i=k+1}^{ℓ} b_{i}(σ̄αi^{∨} − αi^{∨}) ≡ ∑_{i=k+1}^{ℓ} c_{i}αi^{∨} (mod X_{∗}(S_{sc}))

avec

∑_{i=k+1}^{ℓ} c_{i} = 0.

Plus généralement

∑ σμ(σ) − μ(σ) ≡ ∑_{i=k+1}^{ℓ} c_{i}αi^{∨} (mod X_{∗}(S_{sc}))

avec ∑ c_{i} = 0. Mais si l'expression à gauche et donc celle à droite est dans Y on a c_{i} = ca′_{i} et

0 = c ∑ a′_{i},

ce qui implique que c = 0.

Le fait que nous venons de vérifier peut s'énoncer comme un lemme. Lemme 8.8: Les flèches

H^{−2}(Gal(L/F), X_{∗}(S_{sc})\X_{∗}(T_{sc})) → H^{−2}(Gal(L/F), Z)
H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(S_{sc})\X_{∗}(T_{sc})) → H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z)

sont surjectives.

Nous montrons ensuite que

Im ψ ∩ Im η ⊆ Im χ;

l'inclusion opposé est évidente. D'abord, un petit lemme. Lemme 8.9: L'action du groupe de Galois sur U est triviale.

Les deux actions sont les mêmes et nous considérons celle à barre. Nous pouvons supposer que α^{∨} est une racine dans ^{L}H^{0}, sinon U = 0. L'action permute les racines α^{∨}, α1^{∨}, …, αℓ^{∨} et les racines αk+1^{∨}, …, αℓ^{∨} et fixe la relation

α^{∨} + ∑_{i=1}^{ℓ} a_{i}αi^{∨} = 0.

Par conséquent elle fixe les éléments

∑_{i=k+1}^{ℓ} a_{k}αk^{∨}

et

∑_{i=k+1}^{ℓ} a′_{k}αk^{∨}.

Puisque cet élèment engendre Y modulo X_{∗}(S_{sc}) le lemme est vérifié.

Un élément dans l'image de ψ s'écrit

⊕λ_{v}, λ_{v} ∈ X_{∗}(S_{sc}).

S'il est aussi dans l'image de η il satisfait à l'équation

∑ λ_{v} = ∑_{σ∈Gal(L/F)} σμ(σ) − μ(σ),

μ(σ) ∈ Y.

Choisissons pour chaque σ ∈ Gal(L/F) une place v(σ) et un τ(σ) dans Gal(L_{v(σ)}/F_{v(σ)}) en sorte que σ et τ(σ) sont conjugués

σ = ρ^{−1}(σ)τ(σ)ρ(σ), ρ(σ) ∈ Gal(L/F).

Soit

ν(σ) = τ(σ)ρ(σ)μ(σ) − ρ(σ)μ(σ)

de sorte que

σμ(σ) − μ(σ) = ν(σ) + ρ^{−1}(σ)ν(σ) − ν(σ).

D'après le lemme on a ν(σ) ∈ X_{∗}(S_{sc}).

Nous pouvons remplacer λ_{v} par

λ′_{v} = λ_{v} − ∑_{v=v(σ)} ν(σ)

sans changer la classe dans H^{1}(Gal(L/F), I_{L} ⊗ Y) attachée à ⊕λ_{v}. Puisque

∑ λ′_{v} = ∑ λ_{v} − ∑_{σ} ν(σ) = ∑ ρ^{−1}(σ)ν(σ) − ν(σ)

et ν(σ) ∈ X_{∗}(S_{sc}) cette classe est l'image d'un élément de H^{1}(Gal(L/F), S_{sc}(L)).

Si α est un élément de H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Y) et si λ(α) = 0 alors η(α) est contenu dans le noyau de ν et donc dans l'image de ψ. Choisissons β de sorte que η(α) = χ(β) et posons α′ = α − φ(β). Alors η(α′) = 0. Donc pour vérifier le lemme 8.7 il suffit de vérifier que Ker η ⊆ Im φ.

Soit η_{v} l'homomorphisme naturel

H^{1}(Gal(L/F), L^{×} ⊗ Y) → H^{1}(Gal(L_{v}/F_{v}), L_{v}^{×} ⊗ Y).

Il faut vérifier que si η_{v}(α) = 0 pour tout v alors α est dans l'image de φ. Puisque il s'agit de cohomologie de degré 1 nous pouvons remplacer L par F̄.

0 → W → F̄^{×} ⊗ X_{∗}(S_{sc}) → F̄^{×} ⊗ Y → 0

avec

W = Ext(U, F̄^{×}).

Mais U étant donné par la suite exacte

(8.19)  0 ⟶ Z⟶^{a}Z ⟶ U ⟶ 0,

le groupe W est le groupe des racines a-ièmes l'unité.

Nous considérons les diagrammes commutatifs:

H^{1}(Gal(F̄/F), S_{sc}(F̄)) ⟶^{φ} H^{1}(Gal(F̄/F), F̄^{×} ⊗ Y) ⟶ H^{2}(Gal(F̄/F), W)
↓ ↓^{Θ_{v}}
H^{1}(Gal(F̄_{v}/F), F̄_{v}^{×} ⊗ Y) ⟶ H^{2}(Gal(F̄_{v}/F_{v}), W)

Si α s'envoie sur β dans H^{2}(Gal(F̄/F), W) alors θ_{v}(β) = 0 pour tout v et la théorie du corps de classe implique que β = 0 de sorte que α est contenu dans l'image de φ.

La preuve du lemme 8.7 étant terminée la notation qui y était utilisée est libérée pour l'énoncé d'un autre lemme. Lemme 8.10: Soit L une extension galoisienne finie de F que déploie T et soit C_{L} le groupe des classes d'idèles de L. Considérons le diagramme

(8.20)

H^{1}(Gal(L/F), S_{sc}(A_{L}))  ⟶^{φ}  H^{1}(Gal(L/F), T_{sc}(A_{L}))
↓^{η}
H^{1}(Gal(L/F), C_{L} ⊗ X_{∗}(S_{sc})) ⟶_{ψ} H^{1}(Gal(L/F), C_{L} ⊗ X_{∗}(T_{sc}))

L'image sous η du noyau de φ est le noyau de ψ.

Il suffit encore de vérifier le lemme pour un groupe absolument irréductible. Nous définissons M par la suite exacte:

0 → X_{∗}(S_{sc}) → X_{∗}(T_{sc}) → M → 0.

On a le diagramme commutatif (8.21) suivant dans lequel les flèches verticales sont obtenues d'une corestriction suivie d'une sommation.

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), M) → ⊕H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(S_{sc})) → ⊕H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(T_{sc}))
↓_{ζ} ↓ ↓
H^{−2}(Gal(L/F), M) → H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(S_{sc})) → H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc}))

Il a été remarqué à la fin de l'appendice à [19] que les théorèmes de Tate-Nakayama nous permettent d'identifier le carré (8.20) avec le carré à droite de (8.21). Donc pour vérifier le lemme il suffit de montrer que ζ est surjectif.

Les modules Z et U définis par (8.14) et (8.15) font partie d'une suite exacte

0 ⟶ U ⟶ M ⟶ Z ⟶ 0.

Nous utilisons la suite exacte (8.16) pour montrer d'abord que

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z) → H^{−2}(Gal(L/F), Z)

est surjectif.

Puisque la cohomologie de Z en degré −1 est triviale on a un diagramme à lignes exactes:

⊕H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), V) ⟶ ⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z) ⟶ 0
↓ ↓
H^{−2}(Gal(L/F), V) ⟶ H^{−2}(Gal(L/F), Z) ⟶ 0

La surjectivité de la flèche verticale à droite résulte de celle de la flèche à gauche.

Puisque le groupe de Galois agit sur V en permutant les éléments de la base le lemme de Shapiro nous permet de ramener la preuve de cette surjectivité à celle de

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z) ⟶ H^{−2}(Gal(L/F), Z),

où F est un corps de nombres arbitraires. Puisque H^{−1} à coefficients dans Z est le groupe de Galois rendu abélien, c'est une conséquence du théorème de Tchebotareff.

Considérons maintenant le diagramme

(8.22)

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), U) → ⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), M) → ⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z)
↓^{ζ} ↓ ↓
H^{−2}(Gal(L/F), U) → H^{−2}(Gal(L/F), M) → H^{−2}(Gal(L/F), Z)

Selon le lemme 8.8 les flèches horizontales à droite sont surjectives. Puisque la flèche verticale à droite est surjective la surjectivité de ζ résultera de la surjectivité de la flèche à gauche.

La présentation (8.19) nous donne un diagramme à lignes exactes:

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), Z) ⟶ ⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), U) ⟶ 0
↓ ↓
H^{−2}(Gal(L/F), Z) ⟶ H^{−2}(Gal(L/F), U) ⟶ 0

Mais la surjectivité de la flèche verticales à droite résulte de celle de la flèche à gauche, et celle-ci est, comme nous avons déjà vu, une conséquence du théorème de Tchebotareff.

Nous revenons maintenant au lemme 8.6. Il faut vérifier que

\frac{ι(F, T)}{ι(F, S)} = \frac{ι(F, T′)}{ι(F, S′)}.

Nous introduisons deux modules galoisiens N et X_{∗}(D) par les suites exactes:

\begin{matrix}0 → X_{∗}(S_{sc}) → X_{∗}(T) → N → 0 \\ 0 → X_{∗}(T_{sc}) → X_{∗}(T) → X_{∗}(D) → 0. \end{matrix}

Le groupe D est le quotient de T par T_{sc}.

Soit L une extensison galoisienne finie de F qui déploie T. Le groupe H^{−2}(Gal(L/F), X_{∗}(D)) est fini. Soit ρ l'homomorphisme naturel

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(D)) ⟶ H^{−2}(Gal(L/F), X_{∗}(D)).

Alors

⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(D))/Ker ρ

est fini. Soit π l'homomorphisme

⊕H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), M) ⟶ ⊕H^{−1}(Gal(L_{v}/F_{v}), N).

La suite exacte

0 ⟶ M ⟶ N ⟶ X_{∗}(D) ⟶ 0

nous donne une surjection

β: ⊕H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(D)) ⟶ Ker π

et

Ker π/β(Ker ρ)

est fini.

Puisque M, N et X_{∗}(D) ne change pas si S et T sont remplacés par S′ et T′ il suffit d'établir la formule suivante.

Lemme 8.11:

\frac{ι(F, T)}{ι(F, S)} = |H^{−1}(Gal(L/F), M)| |Ker π/β(Ker ρ)

Pour la preuve nous utilisons le diagramme (8.23) à la fin du chapitre et les notations qui y apparaissent. Le quotient

\frac{ι_{1}(F, T)}{ι_{1}(F, S)}

est, par sa définition même, égal à

|Im ε ∩ ker ξ/Im χ ∩ Ker ξ|.

Puisque Ker ζ ⊆ Im ν cet ordre est celui de

(Im ζ ∩ Ker θ)/(ζ(Ker ε) + (Im ζν ∩ Ker θ)).

Le groupe

J(T) = Im ζ ∩ Ker θ

est un quotient du module des ⊕λ_{v}, où les λ_{v} sont contenus dans X_{∗}(T_{sc}), presque tous égaux à 0, et satisfont aux conditions:

(8.24)  ∑_{v} λ_{v} = ∑_{σ∈Gal(L/F)} σ^{−1}μ(σ) − μ(σ), μ(σ) ∈ X_{∗}(T_{sc}),
(8.25)  λ_{v} = ∑_{σ∈Gal(L_{v}/F_{v})} σ^{−1}μ_{v}(σ) − μ_{v}(σ), μ_{v}(σ) ∈ X_{∗}(T).

On divise par le groupe des ⊕λ_{v} pour lesquels on peut trouver des μ_{v}(σ) dans X_{∗}(T_{sc}) qui satisfont à (8.25). Un élément de J(T) est contenu dans le sous-groupe

J′(T) = Im ζν ∩ Ker Θ

si'il existe un représentant ⊕λ_{v} tel que les μ(σ) qui figurent dans (8.24) peuvent être choisis dans X_{∗}(S_{sc}). Les λ_{v} eux-même sont alors forcément dans X_{∗}(S_{sc}).

Le groupe ζ(Ker ε) est l'image de ζλ ou de μκ. L'image de κ est le noyau de

H^{0}(Gal(L/F), D(A_{L})) → H^{0}(Gal(L/F), C_{L} ⊗ X_{∗}(D)).

Le théorème de Tate-Nakayama et l'observation à la fin de [19] nous permettent de représenter ce noyau comme quotient du module des ⊕μ_{v}, où μ_{v} est une fonction sur Gal(L_{v}/F_{v}) à valeurs dans X_{∗}(T) qui est zéro pour presque tout v et qui satisfait à

λ_{v} = ∑_{Gal(L_{v}/F_{v})} σ^{−1}μ_{v}(σ) − μ_{v}(σ) ∈ X_{∗}(T_{sc}) (8.26)

(8.27)  ∑_{{v|σ∈Gal(L_{v}/F_{v})}} μ_{v}(σ) ≡ ∑_{τ∈Gal(L/F)} τ^{−1}b(τ, σ) − b(τ^{−1}, σ) + b(σ, τ) (mod X_{∗}(T_{sc}))

Ici b(ρ, σ) est une fonction sur Gal(L/F) × Gal(L/F) à valeurs dans X_{∗}(T). On divise par les ⊕μ_{v} qui sont des bords locaux:

μ_{v}(σ) ≡ ∑_{τ∈Gal(L_{v}/F_{v})} τ^{−1}b_{v}(τ, σ) − b_{v}(τ^{−1}, τσ) + b_{v}(σ, τ) (mod X_{∗}(T_{sc})).

L'homomorphisme μ de (8.23) envoie ⊕μ_{v} sur ⊕λ_{v}, où λ_{v} est donné par (8.26).

Nous posons

I(T) = ω(Ker Θ)

et nous définissons K(T) de la même façon que nous avons défini J(T) sauf que nous omettons la condition (8.24). Alors

I(T) ≃ K(T)/J(T)

et

|J(T)/(Im ζλ + J′(T))| = \frac{|K(T)/(Im ζλ + J′(T))|}{|I(T)|}.

Nous définissons J(S) et K(S) de la même façon que nous avons défini J(T) et k(T) mais en remplaçant X_{∗}(T_{sc}) par X_{∗}(S_{sc}). Soit par ailleurs K′(T) le groupe des éléments dans K(T) admettant un représentant ⊕λ_{v} où λ_{v} est dans X_{∗}(S_{sc}). Les groupes J(S) et K(S) sont des sous-groupes de H^{1}(Gal(L/F), S_{sc}(A_{L})) et φ envoie J(S) sur J′(T) et K(S) sur K′(T).

L'ordre

|K(T)/Im ζλ + J′(T)|

est égal au produit

(8.28)  |K(T)/Im ζλ + K′(T)| |Im ζλ + K′(T)/Im ζλ + J′(T)|.

En utilisant le théorème de Tate-Nakayama on obtient au moyen de l'homomorphisme ⊕μ_{v} → ⊕λ_{v} défini par (8.25) un isomorphisme

K(T) ≃ ⊕_{v}H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(D))/H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(T))

ainsi au'unisomoprhisme

K′(T) ≃ ⊕_{v}H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), N)/H^{−2}(Gal(L_{v}/F_{v}), X_{∗}(T)).

Donc le quotient K(T)/K′(T) est isomorphe au noyau de π et

K(T)/(Im ζλ + K′(T)) ≃ Ker π/β(Ker ρ),

car la condition (8.27) exprime que l'élément μ_{v} est dans le noyau de ρ.

Soit φ_{0} la restriction de φ à K(S). alors le deuxième facteur de (8.28) est égal à

|(K(S) + φ_{0}^{−1}(Im ζη))/(J(S) + φ_{0}^{−1}(Im ζλ))|

ou plutôt à

|K(S)/(J(S) + φ_{0}^{−1}(Im ζλ))|

qui est un quotient

\frac{|K(S)/J(S)|}{|(J(S) + φ_{0}^{−1}(Im ζλ))/J(S)|}

Nous posons

I(S) = K(S)/J(S).

C'est un groupe fini.

Le groupe

(J(S) + φ_{0}^{−1}(Im ζλ))/J(S)

est isomorphe à

η(φ_{0}^{−1}(ζ(Ker ε))).

Ce groupe contient η(Ker φ) et est contenu dans Ker ψ. Mais selon le lemme 8.10 ces deux groupes sont égaux. Donc

\frac{ι_{1}(F, T)}{ι_{1}(F, S)} = \frac{|I(S)|}{|I(T)|} \frac{|Ker π/β(Ker ρ)|}{|Ker ψ|}

D'autre côté selon les définitions même

ι_{2}(F, T) = \frac{|H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc})|}{|I(T)|}

ι_{2}(F, S) = \frac{|H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(S_{sc})|}{|I(S)|}.

Donc

\frac{ι(F, T)}{ι(F, S)} = |Ker π/β(Ker ρ)| |H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc})/Im ψ|^{−1}.

Puisque

H^{0}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc})) = 0

on a

H^{−1}(Gal(L/F), X_{∗}(T_{sc}))/Im ψ ≃ H^{−1}(Gal(L/F), M)

et le lemme 8.11 est vérifié.

5. Le problème de convergence Dans notre remaniement de la formule des traces nous avons supposé que (8.6) ou, ce qui est équivalent,

(8.13) converge absolument. Mais nous n'avons pas pu le vérifier. En effet la preuve de convergence semble dépendre d'une propriété des fonctions f^{H}, dont l'existence même reste problématique.

Le groupe G est non ramifié en v s'il est quasi-déployé sur F_{v} et déployé sur une extension non ramifiée de F_{v}. On dit que des données endoscopiques sont non ramifiées en v si le groupe G est non ramifié en v et si la restriction de ρ au groupe de décomposition est également non ramifiée.

L'hypothèse dont nous avons besoin pour vérifier la convergence est la suivante:

Supposons que G soit non ramifié en v mais que les données endoscopiques dans la classe 𝔎 soient ramifiées en v. Supposons de plus que la fonction f est dans l'algèbre de Hecke de G(F_{v}) relative à un sousgroupe compact hyperspécial. Alors on peut prendre f^{H} = 0, c'est-à-dire, pour tout couple (T, κ) attaché à 𝔎 on a

Φ_{T}^{κ} (γ, f) ≡ 0.

La convergence est une conséquence de cette hypothèse et du lemme simple suivant.

Lemme 8.12: Soit V un ensemble fini de places de F contenant toutes les places archimédiennes. Alors le nombre de classes de données endoscopiques non ramifiées en dehors de V est fini.

Chaque classe contient un représentant pour lequel ^{L}T_{H}^{0} = ^{L}T^{0}. Si ^{L}T_{H}^{0} est ainsi fixé il n'y a qu'un nombre fini de possibilitiés pour ^{L}H^{0} et ^{L}B_{H}^{0}. Nous fixons ^{L}H^{0}, ^{L}B_{H}^{0}, et ^{L}T_{H}^{0}. Puisque nous ne considérons que les classes de données nous pouvons fixer l'ensemble {Y_{α^{∨}}} aussi. Si tout cela est fixé il n'y a qu'un nombre fini de possibilités pour l'image ρ(Gal(F̄/F)), et cette image étant donnée il n'y a qu'un nombre fini de possibilités pour s modulo le produit du centre ^{L}G^{0} et la composante connexe du centre de ^{L}H.

Donc le lemme résulte du lemme bien connu suivant.

Lemme 8.13: Soit 𝔊 un groupe fini donné et V en ensemble fini de places de F contenant toutes les places archimédiennes. Alors il n'y a qu'un nombre fini d'homomorphismes de Gal(F̄/F) sur 𝔊 qui sont non ramifiés en dehors de V.

Ce lemme est une conséquence du fait qu'il n'y a qu'un nombre fini d'extensions à discriminant donné et de la théorie locale du corps de classe.

Nous revenons au problème de la convergence absolue. L'hypothèse et le lemme 8.12 le ramènent au problème de la convergence absolue de (8.13). Par induction nous pouvons supposer que (8.13) converge absolument si H ≠ G^{∗}.

En vérifiant la convergence pour H = G^{∗} nous pouvons supposer que G = G^{∗} et que f = f^{G^{∗}}. Si f′ est positif et si f′(g) ≥ |f(g)| pour tout g alors

Φ_{T}^{1} (γ, f′) ≥ |Φ_{T^{∗}}^{1}(γ, f)|.

Donc en remplaçant au besoin f par f′ nous pouvons supposer que f est positif.

Ces changements faits la somme (8.13) avec H = G^{∗} converge absolument si et seulement si elle est finie. Supposons qu'elle soit infinie. Alors en prenant les contributions des autres classes endoscopiques, en les sommant toutes, et en poursuivant notre remaniement dans le sens inverse nous parvenons à une somme qui diverge. Mais c'est le terme elliptique régulier de la formule des traces et par conséquent une somme convergente. Cette contradiction montre que la somme (8.13) est finie aussi pour H = G^{∗}.

(8.23)

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